1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 y Asin(x )及y Acos(x )的周期.3.掌握函数 ysin x， ycos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考 1 如果函数 f(x)满足 f(x3) f(x)，那么 3 是 f(x)的周期吗？答案 不一定.必须满足当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x3) f(x)，才可以说 3是 f(x)的周期.思考 2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考 3 周期函数都有最小正周期
2、吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数 f(x) c(c 为常数， xR)，所有非零实数 T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理 函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考 1 证明函数 ysin x 和 ycos x 都是周期函数.答案 si
3、n( x2)sin x，cos( x2)cos x， ysin x 和 ycos x 都是周期函数，且 2 就是它们的一个周期.思考 2 证明函数 f(x) Asin(x )(或 f(x) Acos(x )(A 0)是周期函数.答案 由诱导公式一知，对任意 xR，都有 Asin(x )2 Asin(x )，所以 Asin Asin(x )，(x2 )即 f f(x)，(x2 )所以 f(x) Asin(x )( 0)是周期函数， 就是它的一个周期.2同理，函数 f(x) Acos(x )( 0)也是周期函数.梳理 由 sin(x2 k)sin x，cos( x2 k)cos x(kZ)知， y
4、sin x 与 ycos x 都是周期函数，2 k ( kZ 且 k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2.知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于 xR，sin( x)sin x，cos( x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于 ysin x， xR 恒有 sin( x)sin x，所以正弦函数 ysin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于 ycos x， xR 恒有 cos( x)cos x，所以余弦函数 ycos x 是偶函数，余弦曲线关于 y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例 1 求下列函数的最小正周期.(1)
5、ysin(2 x )(xR)； 3(2)y|sin x|(xR).解 (1)方法一 令 z2 x ，因为 xR，所以 zR. 3函数 f(x)sin z 的最小正周期是 2，即变量 z 只要且至少要增加到 z2，函数 f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.而 z22 x 22( x) ，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x，函数 3 3值才能重复取得，所以函数 f(x)sin (xR)的最小正周期是 .(2x 3)方法二 f(x)sin 的最小正周期为 .(2x 3) 22(2)因为 y|sin x|Error! (kZ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为 .反思与感悟 对于形
6、如函数 y Asin(x )， A 0 时的最小正周期的求法常直接利用T 来求解，对于 y| Asin x |的周期情况常结合图象法来求解.2| |跟踪训练 1 求下列函数的周期.(1)ysin ；(2) y|cos 2 x|.(12x 3)解 (1) T 4.2| 12|(2)T . 2类型二 三角函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)sin ；(12x 2)(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x) .1 sin x cos2x1 sin x解 (1)显然 xR， f(x)cos x，12 f( x)cos cos x f(x)，(12x) 1
7、2 f(x)是偶函数.(2)由Error! 得10， xR)的周期 T .22.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看 f( x)与 f(x)的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为 的是( ) 2A.ysin B.ysin 2 xx2C.ycos D.ycos(4 x)x4答案 D解析 T .2| 4| 22.函数 f(x)sin 的最小正周期为 ，其中 0，则 等于( )( x 6) 5A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知 aR，函数 f(x)sin x| a
8、|(xR)为奇函数，则 a 等于( )A.0 B.1 C.1 D.1答案 A解析 因为 f(x)为奇函数，所以 f( x)sin( x)| a| f(x)sin x| a|，所以| a|0，从而 a0，故选 A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是( )A.ycos|2 x| B.y|sin x|C.ysin D.ycos( 2 2x) (32 2x)答案 D解析 ycos|2 x|是偶函数， y|sin x|是偶函数， ysin cos 2x 是偶函数，( 2 2x)ycos sin 2 x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期 T.(32 2x)5.函数 ycos (k0)的最小
9、正周期不大于 2，则正整数 k 的最小值应是( )(k4x 3)A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 T 2，即 k4，2k4正整数 k 的最小值是 13.6.函数 y 的奇偶性为( )|sin x|1 sin x1 sin xA.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当 1sin x0，即 sin x1 时，y |sin x|，|sin x|1 sin x1 sin x所以函数的定义域为 x|x2 k ， kZ， 2由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数 f(x)3sin( x )是( )23 152A.周期为 3 的偶函数 B.周期为 2 的偶函数C.周期为 3 的奇函数 D.周期为 的偶函数43答案 A二、填空题8.若 00， 0)在闭区间0，1上至少出现 50 个最小值，求 的最小值.解 函数 y Asin x 的最小正周期为 ，因为在每一个周期内，函数 y Asin 2x (A0， 0)都只有一个最小值，要使函数 y Asin x 在闭区间0，1上至少出现 50个最小值，则 y 在区间0，1内至少含 49 个周期，即Error!解得 ，所以 的最34 1992小值为 .1992
