1、月月考三 立体几何、解析几何第 卷 (选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用斜二测画法画出的一图形的直观图是一个如图所示的面积为2 的等腰梯形 OAB C，则原图形的面积是( )A10 2B 8 2C 6 2D4 2答案：D解析：设等腰梯形的高为 h，则 OC h，原梯形的高 为22 h，面 积为 4 .2 22(2018连城一模 )已知平面 平面 ，l ，点A ， Al，直线 AB l，直线 ACl，直线 m，m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )AABm BACmC AB DAC
2、 答案：D解析：因为直线 m，m， l ，所以 ml ，所以 ABm正确，AC m 正确；根据线面平行的判定定理可得 AB 正确；当直线 AC 不在平面 内时，尽管 ACl， AC 与平面 可以平行，也可以相交( 不垂直 )，所以 AC 不一定成立故 选 D.3.如图，在三棱锥 DABC 中，ABC 90，平面 DAB平面ABC，DA ABDBBC，E 是 DC 的中点，则 AC 与 BE 所成角的余弦值为( )A. B.12 14C. D.1516 13答案：B解析：取 AD 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 DC 的中点，所以 EFAC ，则BEF 是 AC 与 BE 所成的角或
3、其补角，令DA ABDBBC 2，则 AC2 ，EF ，由平面 DAB平面2 2ABC，BCAB ，平面 DAB平面 ABCAB ，可得 BC平面 DAB，所以 DBBC ，则 BE ，又 BF ，在三角形 BEF 中，由余弦定理2 3可得 cos BEF .故选 B.2 2 3222 144(2018河北二模 )九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载， “堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )A50 B75C 25.5 D37.5答案：D解析：由题意及给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱
4、的基础上，截去一个四棱锥 C1MNB 1A1 所得的几何体，且三棱柱的底面是腰长为 5 的等腰直角三角形，高为 5.AM2，B 1C1平面 MNB1A1，所以截去后剩余的几何体的体积为 VV 三棱柱 V 四棱锥 555 35537.5，故选 D.12 135(2018黑龙江七台河模拟) 已知抛物线 C：y 28x 的焦点为F，直线 l：x 1，点 A 是 l 上的一动点，直线 AF 与抛物线 C 的一个交点为 B.若 3 ，则| AB|( )FA FB A20 B16C 10 D5答案：A解析：由抛物线 C：y28x，得 F(2,0)设 A(1，a)，B(m，n)，且 n28m. 3 ，123
5、( m2) ，解得FA FB m3， n2 .6a3n，a6 ，6|AB | 20.故选 A.1 32 26 6626(2017天津卷， 5)已知双曲线 1( a0，b0)的左焦x2a2 y2b2点为 F，离心率为 .若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的2一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y24 x28 y28C. 1 D. 1x24 y28 x28 y24答案：B解析：由 e 知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为2yx ，由 P(0,4)知左焦点 F 的坐标为( 4,0) ，所以 c4，则 a2b 2 8.选项 B 符合c227(2018湖南株洲
6、模拟) 设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. B.2 3C. D.3 12 5 12答案：D解析：设双曲线方程为 1(a0，b0)，则 F(c,0)，B(0，b)x2a2 y2b2直线 FB：bxcybc 0 与渐近线 y x 垂直，所以 1，ba bcba即 b2ac，则 c2a 2 ac，即 e2e10，解得 e 或 e1 52(舍去) 1 528(2018黑龙江虎林第一中学模拟) 已知点 M 是椭圆 y 21x24上一点，F 1，F 2 是椭圆的焦点，且满足 0，则MF 1F2 的MF1 MF2 面积
7、为( )A1 B. 3C 2 D4答案：A解析：因为 0，所以 ，故MF1 MF2 MF1 MF2 |MF1|2| MF2|212.由题意得|MF 1|MF 2|4，即|MF1|2| MF2|22|MF 1|MF2|16，即 122|MF 1|MF2|16，解得|MF1|MF2|2，所以MF 1F2 的面积 S |MF1|MF2|1.故选 A.129(2018合肥一模 )设圆 x2y 22x2y 2 0 的圆心为 C，直线 l 过(0,3)，且与圆 C 交于 A，B 两点，若| AB|2 ，则直线 l 的方3程为( )A3x4y120 或 4x3y90B 3x4y120 或 x0C 4x3y9
8、0 或 x0D3x4y120 或 4x3y90答案：B解析：当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0， 联立方程得Error!得Error!或Error!|AB| 2 ，符合 题意当直线 l 的斜率3存在时，设 直线 l 的方程为 ykx3， 圆 x2y 22x 2y20，即(x1) 2( y1) 24，其圆心为 C(1,1)，圆的半径 r2，圆心 C(1,1)到直线 ykx 3 的距离 d ，d 2 2r 2，|k 1 3|k2 1 |k 2|k2 1 (|AB|2)3 4，解得 k ，直线 l 的方程为 y x3，即k 22k2 1 34 343x4y120.综上，直线 l 的
9、方程为 3x4 y120 或 x0.故选 B.10点 A(1，1)，B(0,1)，若直线 axby 1 与线段 AB(包括端点) 有公共点，则 a2b 2 的最小值为( )A2 B.22C. D.212答案：D解析：由题意知点 A，B 位于直线 axby 1 的两侧，或一点位于直线 ax by1 上，或 A，B 两点位于直线 axby1 上，于是(a b1)(b1)0 Error!或Error!作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则 的最小值为 点 O(0,0)到可行域内的a2 b2点的距离的最小值，所以( )min ，所以(a 2b 2)min .a2 b2| 1|2 22 12
10、选 D.11(2018 惠州调研)已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASB SC 2，则三棱锥 SABC 的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( )A. B133C. D.3332答案：A解析：三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为 斜边的等腰直角三角形，SA SBSC2，S 在底面 ABC 内的射影为 AB 的中点 H，连接 SH，CH，SH平面 ABC，SH 上任意一点到 A，B，C 的距离相等SH ，CH1，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，交 SH3于点 O，交 SC 于点 M，则 O 为三棱锥 SABC 的外接球的球心SC 2，S
11、M1， OSM 30， SO ，OH ，O 到233 33平面 ABC 的距离为 ，故选 A.3312(2018 成都高中毕业第一次诊断) 已知双曲线 1( a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，双曲线上一点 Px2a2 y2b2满足 PF2 x 轴若|F 1F2|12，|PF 2|5，则该双曲线的离心率为( )A. B.1312 125C. D332答案：C解析：由双曲线的定义，知| PF1|PF 2|2a ，所以|PF1|2a|PF 2|2a5.在 RtPF 2F1 中，|PF 1|2|PF 2|2|F 1F2|2，即(2a 5)25 212 2，解得 a4.因为|F 1F2|12
12、，所以 c6，所以双曲线的离心率 e ，故选 C.ca 64 32第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在相应题号后的横线上13(2018 铜川一模)由直线 yx1 上的一点向圆(x 3)2y 21 引切线，则切线长的最小值为_答案： 7解析：设直线上一点为 P，切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即切线长，|MQ|为圆 M 的半径， 长 度为 1，|PQ| .要|PM|2 |MQ|2 |PM|2 1使|PQ| 最小，即求| PM|的最小值，此 题转化为求直线 yx1 上的点到圆心 M(3,0)的最小距离 设圆心到直线 yx 1 的距离
13、为 d，则d 2 ，所以| PM|的最小值为 2 .所以| PQ|3 0 1|12 12 2 2 .|PM|2 1 222 1 714(2017 山东卷，14)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a21( a0 ，b0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x22py( p0)交于y2b2A，B 两点若 |AF|BF |4|OF| ，则该双曲线的渐近线方程为_答案：y x22解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由Error!得 a2y22pb 2ya 2b20， y 1y 2 .2pb2a2又 |AF| |BF |4|OF| ， y 1 y 2 4 ，即 y1y 2p，p2 p2 p2
14、 p，即 ， ，2pb2a2 b2a2 12 ba 22 双曲线的渐近线方程为 y x.2215(2018 上海虹口区一模) 已知点 M(20,40)，抛物线y22px( p0)的焦点为 F.若对于抛物线上的任意点 P，| PM|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于_答案：42 或 22解析：过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 D，则| PF|PD|.当点 M(20,40)位于抛物线 内时，如 图(1) ，|PM| PF|PM|PD|.当点 M，P，D 共线时，| PM|PF|的值最小由最小值为 41，得 20 41，解得 p42.p2当点 M(20,40)位于抛物线外时，如 图(2)
15、，当点 P，M，F 共线时，|PM| PF|的值最小由最小值为 41，得 41，解得 p22 或 58.402 (20 p2)2当 p58 时，y 2116x，点 M(20,40)在抛物线内，故舍去综上，p42 或 22.16(2018 哈尔滨六中一模) 如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC 4，E 为 DC 边的中点，沿 AE 将ADE 折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为_ED 平面 ACD；CD平面 BED；BD平面ACD；AD平面 BED.答案：解析：因为在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，E 为 DC 边的中点，则在折起过程中， D 点在平面 BCE 上的投影为 O1O
16、2(如图)因为 DE 与AC 所成角不能为直角，所以 DE 不垂直于平面 ACD，故错；只有 D点投影位于 O2 位置时，即平面 AED 与平面 AEB 重合时，才有BECD ，此时 CD 不垂直于平面 AECB，故 CD 不垂直于平面 BED，故错；BD 与 AC 所成的角不能为直角，所以 BD 不垂直于平面ACD，故 错；因为 ADED，并且在折起过程中，有 ADBD，所以存在一个位置使 ADBE，所以在折起过程中 AD平面 BED 能成立，故正确三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)(2018江西南昌十所重点中学二模
17、) 四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且 PA ABAD CD，ABCD，ADC90.12(1)在侧棱 PC 上是否存在一点 Q，使 BQ平面 PAD？证明你的结论；(2)求证：平面 PBC平面 PCD.解析：(1) 解：当 Q 为侧 棱 PC 的中点时，有 BQ平面 PAD.证明如下：取 PD 的中点 E，连接 AE，EQ.Q 为 PC 的中点，则 EQ 为PCD 的中位 线，EQ CD 且 EQ CD.12ABCD 且 AB CD，EQAB 且 EQ AB，12四边形 ABQE 为平行四 边形，则 BQAE.BQ 平面 PAD，AE 平面 PAD，BQ平面 PAD.(2)证明：
18、PA底面 ABCD，PACD.AD CD，PAAD A，PA，AD平面 PAD，CD平面PAD.AE平面 PAD，CDAE.PAAD， E 为 PD 的中点，AE PD.CD PDD，AE平面 PCD.BQ AE， BQ 平面 PCD.BQ 平面 PBC，平面 PBC平面 PCD.18(本小题满分 12 分)(2018福建南平二模 )如图，直角梯形 ACDE 与等腰直角ABC 所在平面互相垂直，F 为 BC 的中点，BAC ACD90，AECD ， DCAC2AE2.(1)求证： AE平面 BDE；(2)求四面体 BCDE 的体积解析：(1) 证 明：取 BD 的中点 P，连接 EP，FP.B
19、CD 中，PF 为中位线，PFDC 且 PF DC.12又AECD，DC2AE，EADC 且 EA DC.12由此可得 PFEA ，且 PFEA.四边形 AFPE 是平行四边形，可得 AFEP.EP平面 BDE，AF平面 BDE，AF平面 BDE.(2)解： BAAC，平面 ABC平面 ACDE，平面 ABC平面ACDEAC ，BA平面 ACDE，即 BA 就是四面体 BCDE 的高，BA2.DC AC2AE2，AECD，S 梯形 ACDE (12)23，S ACE 121，12 12因此，CDE 的面积为 SCDE 312.四面体 BCDE 的体积VBCDE BASCDE 22 .13 13
20、 4319(本小题满分 12 分)(2018江苏南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x 2y 2b 2 经过椭圆 E： 1(00)与圆 O：x 2y 28 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2，过劣弧 AB 上动点 P(x0，y 0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于C， D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l 2，l 1 与 l2相交于点 M.(1)求抛物线 E 的方程；(2)求点 M 到直线 CD 距离的最大值解析：(1) 由 xA2 得 y 4，故 2pxA4，p1.2A于是，抛物线 E 的方程为 y2x .(2)设 C ，D
21、，切线 l1：yy 1k ，(y212，y1) (y22，y2) (x y212)代入 y22x 得 ky22y2y 1ky 0，由 0 解得 k ，211y1l 1 的方程为 y x ，同理 l2 的方程为 y x .1y1 y12 1y2 y22联立Error!解得Error!即M .(y1y22 ，y1 y22 )易得直线 CD 的方程为 x0xy 0y8，其中 x0，y0满足x y 8， x02,2 ，20 20 2联立方程Error!得 x0y22y 0y160，则Error!M (x，y)满足Error!即点 M 为 .( 8x0， y0x0)点 M 到直线 CD：x0xy 0y8
22、 的距离d ，| 8 y20x0 8|x20 y20y20x0 16228 x20x0 16228x0 x0 1622d 关于 x0单调递减，故当且 仅当 x02 时，d max .1822 92221(本小题满分 12 分)(2018武汉质检 )如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， BAD ，ABBC ADa， E 是 AD 的中点，O 是2 12AC 与 BE 的交点将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A 1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE .(1)证明： CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为36 ，求 a 的值2解
23、析：(1) 证 明：在题图 1 中，因为 ABBC ADa，E 是 AD 的中点，BAD ，ADBC ，12 2所以 BEAC，BE CD，即在题图 2 中，BEA 1O，BEOC，且 OA1OCC，从而 BE平面 A1OC，又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1) 知 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1 BCDE 的高由图 1 知，A 1O AB a，平行四边形 BCDE 的面积22 22SBC ABa 2.从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V SA1O a2 a13
24、13 22a3，由 a336 得 a36.26 26 222(本小题满分 12 分)(2018江西赣州寻乌中学第二次月考) 如图，椭圆的右焦点 F2 与抛物线 y2 4x 的焦点重合，过 F2 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于S，T ，与抛物线交于 C，D 两点，且| CD|2 |ST|.2(1)求椭圆的标准方程；(2)设 P 为椭圆上一点，若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆相交于不同两点 A， B，且满足 t (O 为坐标原点)，求实数 t 的取OA OB OP 值范围解析：(1) 设椭圆 的标准方程为 1( ab0)，由题意，抛物x2a2 y2b2线 y24x 的焦点为 F2(1,0)，
25、|CD|4.因为|CD|2 |ST|，所以|ST | .2 2又 S ，T ，|ST| ，(1，b2a) (1， b2a) 2b2a 2又 c21a 2b 2，所以 a ，b1.2所以椭圆的标准方程为 y 21.x22(2)由题 意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk (x2)由Error!消去 y，得(1 2k 2)x28k 2x8k 220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则( 8k2)24(12k 2)(8k22)0，即 2k21，且 x1x 2 ，由 t ，得Error!8k21 2k2 OA OB OP 若 t0，则点 P 可以是椭圆上任一点，符合题意若 t0，则Error!因为点 P(x0，y0)在椭圆上，所以2x 2y ，20 201t2( 8k21 2k2)2 32k21 2k22t2 1 .18 4k4 2k21 2k22 11 2k2再由得 0 t2 ，又 t0，所以 t(2,0)(0,2)18 12综上，t(2,2)
