1、高考大题专攻练 8.立体几何(B 组)大题集 训练，练就慧 眼和规范，占领高考制胜点！1.如图，已知四棱锥 P-ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点.(1)证明：CE平面 PAB.(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.【解题导引】(1)取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，证明四边形 BCEF为平行四边形，证明 CEBF，从而证明 CE平面 PAB. (2)取 BC，AD 的中点 M，N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ，证明MQCE，MQ 与平面 PBC 所成的角，就等于 CE 与
2、平面 PBC 所成的角.过 Q 作 QHPB，连接 MH，证明 MH 就是 MQ 在平面 PBC 内的射影，这样只要证明平面 PBN平面 PBC 即可.【解析】(1) 如 图， 设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 EF= AD， 又因为 BCAD，BC= AD，所以 EFBC 且 EF=BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF，因此 CE平面 PAB.(2)分别 取 BC，AD 的中点为 M，N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，
3、在平行四边形 BCEF 中，MQ CE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD. 由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么，平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面PBC 所成的角.设 CD=1.在PCD 中，由 PC=2，CD=1，PD= 得 CE= ，在PBN 中，由 PN=BN=1，PB= 得 QH= ，在 RtMQH 中， QH= ，MQ= ，所以 sinQMH= ，所以直线 CE与平面 PBC 所成角的
4、正弦值 是 .2.如图几何体是圆柱体的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G 为 的中点. 世纪金榜导学号 92494444(1)设 P 是 上一点，APBE，求CBP 的大小.(2)当 AD=2，AB=3，求二面角 E-AG-C 的大小.【解题导引】(1)由已知利用线面垂直的判定可得 BE平面 ABP，得到BEBP，结合 EBC=120求得CBP=30.(2)方法一：取 的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEHC 为菱形，取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，得到 EMAG，CMAG，说明EMC 为所求二面角的平面角 .求
5、解三角形得二面角 E-AG-C 的大小.方法二：以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.求出 A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面 AEG与平面 ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C 的大小.【解析】(1) 因 为 APBE，ABBE，AB，AP平面 ABP，ABAP=A， 所以 BE平面 ABP，又 BP平面 ABP，所以 BEBP，又 EBC=120.因此CBP=30.(2)方法一：取 的中点 H，连接 EH，GH，CH.因为EBC=120，所以四边形 BEHC 为菱形，所以 AE=GE=AC=GC= =
6、，取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EMAG，CMAG，所以EMC 为所求二面角的平面角 .又 AM=1，所以 EM=CM= =2 .在BEC 中，由于 EBC=120， 由余弦定理得 EC2=22+22-222cos120=12，所以 EC=2 ，因此 EMC 为等边三角形，故所求的角为 60.方 法二：以 B 为 坐标原点，分 别 以 BE，BP，BA 所在的直 线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则EBP=90，由题意得 A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1， ，3)，C(-1， ，0)，故 =(2，0，-3)， =(1， ，0)， =(2，0，3)，设 m=(x1，y1，z1)是平面 AEG 的一个法向量.由 可得取 z1=2，可得平面 AEG 的一个法向量 m=(3，- ，2).设 n=(x2，y2，z2)是平面 ACG 的一个法向量.由 可得取 z2=-2，可得平面 AC G 的一个法向量 n=(3，- ，-2).所以 cos= = .因此所求的角为 60.
