1、欢迎各位老师莅临指导,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三 角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系 重物的绳子正好经过三角板底边中点，就 说房梁是水平 的，你知道为 什么吗?,13.3.1 等腰三角形（1）,罗河初级中学 吴成明,下载图片,等腰三角形,你知道什么是等腰三角形吗?,A,B,C,等腰三角形:,有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,回顾,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的ABC有什么特点?,A,B,C,AB=AC,等腰三角
2、形,活动（一）：动手操作,上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？,A,B,C,D,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?,AB=AC,BD=CD,AD=AD,B=C,ADB=ADC,BAD=CAD,活动（二）：细心观察 大胆猜想,猜一猜,等腰ABC有哪些性质？,角: B = C BAD=CADADC= ADB=900,边: BD = CD, 两个底角相等 AD为顶角BAC的平分线 AD为底边BC上的高 AD为底边BC上的中线,结论: 等腰三角形是轴对称图形；,等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（
3、简写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）,猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,猜想,证明：,作顶角的平分线AD. 则有12 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) , BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC.求证： B= C.,1,2,证明：等腰三角形的两个底角相等,作顶角的平分线,D
4、,方法一,证明：,作底边中线AD则BD=CD 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) , BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC.求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底角相等,作底边中线,方法二,证明：,作底边高线AD.则有 ADBADC 90,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底
5、角相等,作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中，,方法三,D,如图，作ABC的中线AD.,D,如图， 作ABC 的高AD.,D,如图，作顶角的平分线AD.,等腰三角形常见辅助线,归纳总结,等腰三角形的性质,等腰三角形的两个底角相等。,性质1,(等边对等角),结论,符号语言在ABC中AB=ACB=C,例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且B=80 ，则C= _度，A=_度？,AB=AC（已知） B=C（等边对等角） B=80 （已知） C=80 又A+B+C=180 （三角形内角和为180 ） A=180 BCA=20,练习 1.在三角形ABC中，已知AB=AC，且 A=50 ，则B=度，
6、C=度？,AB=AC（已知） B=C（等边对等角） 又A+B+C=180 （三角形内角和为180 ）A=50 （已知） B=65C=65,2.等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,3.等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_.,4.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.,40 ,35 ，35 ,70,40或55,55,结论: 在等腰三角形中, 顶角度数+2底角度数=180, 0顶角度数180, 0底角度数90,性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（通常说成等腰三角形的“三线合一”）,性质2可分解成下面三个命题来理解：,1、等腰三角形的顶角的平分线，既
7、是底边上的中线，又是底边上的高。,2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。,3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。,A,B,C,D,2,1,BD=CD,ADB=ADC=90 ADBC （另外两个命题的证明课下自己完成）,D,1,2,等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。 已知：如图，ABC 中，AB =AC，AD 是BAC的平分线 求证：BD=CD，ADBC,等腰三角形的性质,性质2,结论,等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。 （等腰三角形的“三线合一”）,符号语言 在ABC中，,(1)AB=AC ADBC
8、, = ,= ; (2)AB=AC BD=CD， ， = ； （3 AB=AC BAD=CAD ， = 。,BAD,CAD,BD,CD,BAD,CAD,AD,BC,AD,BC,BD,CD,知一线得二线 “三线合一”可以帮助我 们解决线段的垂直、相等 以及角的相等问题。,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角 板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重 物的绳子正好经过三角板底边中点，就说 房梁是水平的，你现在知道为什么吗?,生活中的应用,只要铅锤线所在的直线过等腰直角三角板底边的中点，就说明平面是水平的。你知道其中的道理吗？,等腰三角形的性质定理,等腰三角形的两个底角相等,（简写成“等边对等角”）,等腰
9、三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合.,（简写成“三线合一”）,等腰三角形是轴对称图形（底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高所 在直线是对称轴）,例2、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,1、图中有哪几个等腰三角形？,A,B,C,D,ABC ABD BDC,2、有哪些相等的角？,ABC=ACB=BDC A=ABD,3、这两组相等的角之间还有什么关系？,BDC=2 A ABC+ACB+ A=180 ,例2、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,解：AB=AC，BD=BC=A
10、D， ABC=C=BDC，A=ABD （等边对等角) 设A=x,则BDC=A+ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180， 解得x=36， 在ABC中， A=36，ABC=C=72,1. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD BC，已知BD=2cm,求DC=_cm, BC=_cm？, AB=AC ,AD BC（已知） BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一） BD=2cm（已知） CD=2cm BC=4cm,2等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A30 B150
11、 C30或150 D120,C,3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。,解：相等，理由如下： 连接AD 在ABC中， AB=AC，D为C中点 AD平分BAC DEAB，DFAC DE=DF,等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 如图,DEAB,DFAC,垂足分别为E、F.将等腰三角 形ABC沿对称轴AD翻折,观察DE与DF的关系.,探究,A,D,C,F,DE=DF,（1）轴对称图形,（2）两个底角相等，简称“等边对等角”,（3)顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一”,等腰三角形,小 结,2、本节课学习了数学思想方法:分类讨论、方程思想、转化思想。,1、本节主要教学知识是等腰三角形的性质。,感谢各位莅临指导 谢谢！,课后作业:课本P81-82页习题13.3第1、2、4、6题,
