1、第 5 讲 圆锥曲线的常规问题例 6 已知双曲线 1(a1 ，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0) 和(0，b)，且点(1,0) 到直x2a2 y2b2线 l 的距离与点(1,0)到直线 l 的距离之和 s c，求双曲线的离心率 e 的取值范围45审题破题 用 a，b 表示 s 可得关于 a，b，c 的不等式，进而转化成关于 e 的不等式，求 e 的范围解 设直线 l 的方程为 1，即 bxayab0.xa yb由点到直线的距离公式，且 a1，得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ，ba 1a2 b2同理可得点(1,0)到直线 l 的距离为 d2 ，ba 1a2 b2于是 sd
2、1d 2 .2aba2 b2 2abc由 s c，得 c，即 5a 2c 2，45 2abc 45 c2 a2可得 5 2e 2，即 4e425e 2250，e2 1解得 e 25.54由于 e1，故所求 e 的取值范围是 .52，5构建答题模板第一步：提取从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；第四步：回顾反思根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线定义中的 a，b，c 的大小关系等对点训练 6 椭
3、圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，直线 l222与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且 3 .AP PB (1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，y2a2 x2b2设 c0，c 2a 2b 2，由题意，知 2b ， ，2ca 22所以 a1，bc .22故椭圆 C 的方程为 y2 1，即 y22x 21.x212(2)设直线 l 的方程为 ykx m(k0) ，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得(k 22)x 22km
4、x(m 21)0，(2km) 24( k22)(m 21) 4(k 22m 22)0，(*)x1x 2 ，x 1x2 . 2kmk2 2 m2 1k2 2因为 3 ，所以x 13 x2，AP PB 所以Error!所以 3(x1x 2)24x 1x20.所以 3 24 0.( 2kmk2 2) m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220，即 k2(4m21)(2m 22)0.当 m2 时，上式不成立；当 m2 时，k 2 ，14 14 2 2m24m2 1由(*)式，得 k22m22，又 k0，所以 k2 0.2 2m24m2 1解得1m 或 m1.12 12即所求 m 的取值范围为 .( 1， 12) (12，1)
