1、5整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，是后续学习中进行运算、解决问题的基础在代数式中，我们把那些含相同的字母，并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起称为合并同类项，整式的加减就是合并同类项代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代人，而关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用工具问题解决例 1 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为 元的商品，甲超市连续两次降价 ；乙超市一次m20%性降价 ；丙
2、超市第一次降价 ，第二次降价 ，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市40%30%10是_试一试用 的式子分别表示三家超市降价后的价格m例 2 下列四个数中可以写成 个连续自然数之和的是（ ）1A B C D167389524567893579469258170试一试用字母表示数，从揭示 个连续自然数之和的规律人手0例 3 已知关于 的二次多项式 ，当 时的值为 ，求当x3223axbxx时该多项式的值2x试一试设法求出 、 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念隐含的关于 、ab a的等式b例 4 有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数例如， 就
3、是29这样的两位数，因为 ，请你找出所有这样的两位数229 1试一试设原数为 ，发现 的特点是解本例的出发点_ab_ba例 5 如图，是用棋子摆成盼图案，摆第 个图案需要 枚棋子，摆第 个图案需要 枚棋子，摆第721个图案需要 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 个图案需要_枚棋子，摆第 个图案337 6n需要_枚棋子解法一 列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想图形序号 12345棋子总数 7961916a；2；312823猜想 ，23461nann再将 代入该代数式得 67解法二数形结合，分解图形，感悟从部分研究整体的思想问题中“按照这样的方式摆下去” ，何种方式并没有明确的界定
4、，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成三个平行四边形如图，图的序列号： ， ， ， ， ，12345图中的点的数目： ， ， ， ， ，79619；1723a；29；34；465；513a猜想2131nn整体思考整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向，例 6（1）已知当 时， 的值为 ，则当 时， 的值为_1x2axb32x28axb（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图 1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ，cm宽为 ）的盒子底部（如图 2） ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用
5、阴影表示，则图中两块阴影部cmn分的周长和是（ ）A B C D44cncmn4cmn1 mn2（3）记 ，令 ，称 为 ， ， ， 这列数的“理想数” ，12nnSa12nSTnT1a2na已知 ， ， ， 的“理想数”为 ，求 ， ， ， 的理想数12500481250试一试整体思考具体体现为：整体观察、整体变形、整体代入对子（1） ，能求出 、 的值吗？对b于（2） ，为表示图中相关量，还需知道什么？对于（3） ，从理解“理想数”的意义人手，导出 与nT， ， ， 的关系，要求的是 的值1ana501T数学冲浪知识技能广场1 （1）若 与 的和是单项式，则 _523mxy3n nm（2）
6、有一组单项式： ， ， ， ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出 个2a34a5 10单项式为_2 （1）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含 的等式表示第 个正方形点阵中的规律是_nn1=1+3=23+6=32 6+10=42（2）如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 个图案中阴影n小三角形的个数是_（用含 的代数式表示） n3数学翻译牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨） 、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心
7、沥血写成的光辉著作自然哲学的数学原理 ，照亮了人类科学文明的大道牛顿在他的普遍的算术一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了 ”下表是由牛顿给出，的 个例子改写、简化而成的，请将表的空1白补上（不必求出问题的最后答案） 日常语言 代数语言一个商人有一笔钱 x第一年他花去了 镑10 10补进去余额的 341003xx第二年他又花去了 镑 47又补进去余额的131结果他的钱数正好是原来的钱数 24 （1）已知 ，则 的值是_25ab2103ab（2）若 、 互为倒数，则 的值为_mn2mn5小王第一周每小时工资为 元，工作 小时第二周每小时工资
8、增加 ，工作总时间减少 ，10%10%则第二周工资总额与第一周工资总额相比（ ）A增加 B减少 C减少 D不变 1%11.5%6已知有理数 、 、 在数轴上的位置如图b0ca所示，且 ，则代数式abc ab的值为（ ）acA B C D2022abc7如果 ，那么代数式 的值为（ ）1x37xA B C D 68688已知多项式 的和等于 ，则这个多项式是（ ）239x241A B C D5 x9已知多项式 35ayby（1）若多项式的值与字母 的取值无关，求 、 的值_；ab（2）在（l）的条件下，求多项式 的值；222ab（3）在（1）的条件下，求 2111398ba ba10如图所示，
9、年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成 个大小不同1925 0的正方形如果图中标注的、正方形边长分别是 ， ，那么你能计算出其他 个正方形的边长xy吗？ 思维方法天地11已知多项式 是二次多项式，则43243432510121axxxbx=_2ab12已知 ， ，当 时， 恒成立，则 的值为_38PyQy27PQy13 （1）若 ，则 的值等于_0mnp11nppmn（2）已知 ， ， ，则 的值为_24ab205c207cdacbd14如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 个图中阴影部分小正方形的个数是_12315当 时，代数式 的值为 ，那么，代数式 =
10、（ ）x38axb1962baA B C D288216关于 的正整数 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 ， ，1m353791，若 分裂后，其中有一个奇数是 ，则 的值是（ ）34579,3 201mA B C D454617有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克 元和 元根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果ab千克与乙种糖果 千克的比例混合，取得了较好的销售效果现在糖果价格有了调整：甲种糖果单mn价上涨 ，乙种糖果单价下跌 ，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么 等于（ ）%c%d nA B C Dabddbcabc18若一个两位数恰等于它的各位数字之和的 倍，则这个两位数称为“巧
11、数” ，则不是“巧数”的4两位数的个数是（ ）A B C D8248619有一张纸，第 次把它分割成 片，第 次把其中的 片分割成 片，以后每一次都把前面所得的14214其中一片分割成 片，如此进行下去，试问：（1）经 次分割后，共得到多少张纸片？5（2）经 次分割后，共得到多少张纸片？n（3）能否经若干次分割后共得到 张纸片？为什么？0320已知： 是最小的正整数且 、 、 满足 ，试回答问题babc250ab（1）求 ， ， 的值；ac（2） 、 、 所对应的点分别为 、 、 ，点 为一动点，其对应的数为 ，点 在 到 之间ABCPxP12运动时（即 时） ，请化简式子： ；2x 1xx（
12、3）在（1） 、 （2）的条件下，点 、 、 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向A左运动，同时，点 和点 分别以每秒 个单位长度和 个单位长度的速度向右运动，假设 秒钟过BC25t后，若点 与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 请问： 的值BCAB是否随着时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值t应用探究乐园21 一条公交线路上从起点到终点有 个站，一辆公交车从起点站出发，前 站上车 人，前 站8 6107下车 人问从前 站上车而在终点站下车的乘客有多少人？80622在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数 （ 、 、 依次是这个数的百位、十
13、位、abcc个位数字） ，并请这个人算出 个数 ， 、 、 与 的和 ，把 告诉魔术师，于是魔5acbN术师就可以说出这个人所想的数 现在设 ，请你当魔术师，求出数 来3194N自然数的排序把自然数 ， ， ， 按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵丰富的排序问题，融知识2n性与趣味性于一体解这类问题的关键是：通过观察能发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置数的规律等例 1 将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对 表示第 排、第 个数，比如,nmnm表示的数是 ，则 表示的数是_4,397,2第 排1第 排2第 排563第 排7804分析与解弄清题意是前提，找准规律
14、是关键，正确表达尤重要，对于本例，最明显也对解题最有指导价值的规律是：第 排有 个数，要求 只需知道它是这个数中的第 个数即可n,nmn前 6 排共有 个数，即第 排最后一个数是 ，故 表示的数123456216217,是 例 2 正整数按如图所示的规律排列，请写出第二十行第二十一列的数字：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 017第二行 4368第三行 987129第四行 165430第五行 2221试一试这个自然数表的特点可从以下方面观察：第 行的第一个数，第一行第 个数，每行或每列数nn的增减性例 3 将正偶数按下表排列 列5第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 24
15、68第二行 1610第三行 824根据上面排规律，则 应在（ ）0A第 行，第 列 B第 行，第 列255C第 行，第 列 D第 行，第 列010试一试注意到每一行排 个数，奇数行空第一列，偶数行空第五列，只要计算出 是第几个数即4 20可例 4 将自然数按如图所示的顺序排列，在这样的排列下，数字 排在第二行第一列， 排在第三行313第三列问： 排在第几行第几列？9312671563580试一试从斜行方向上看，奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增例 5 将正整数从 开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中， 在第一个拐弯处， 在第二个拐弯1 23处， 在第三个拐弯处， 在第四个
16、拐弯处问：在第 个拐弯处的数是多少707试一试用 表示第 次拐弯时所对应的数，从寻求 与 之间的关系入手na na123456789101121314151617181920212练一练1已知一列数： ， ， ， ， ， ， ，将这列数排成下列形式：234567第 1 行 第 2 行 第 3 行 456第 4 行 78910第 5 行 2345按照上述规律排下去，那么第 行从左边数第 个数等于_52将正奇数按下表排列：第 列1第 列 第 列 第 列 第 列第 行 37第 行 519第 行3723第 行41295根据表中的排列规律，数 应排在第_行，第_列03自然数 ， ， ， ，按下表规律排列
17、：横排为行，记数据 ， ， ， 的那一行为第一行，依31234次记下面的各行分别是 行，第 行， 试问 位于该表的第_行，并对应于“启智杯竞赛3201有趣”中的汉字：_启 智 杯 竟 赛 有 趣12476589104325784小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：12689013457920234由上，我们可知第 行的最后一个数是_5奇数宝塔东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异，数学中的宝塔更是千变万化、不计其数从 开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：1第几行 行中各数的和1131352279343421255353166观察行中各数的规律：前 行的各数之和 ；23215前 行的各数之
18、和 ；3 332791 6前 行的各数之和 ；4 410前 行的各数之和 ；533325因此，可推知前 行的各数之和 _；6 335456根据以上规律，猜想： =_3312n6如图，数表是由从 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答123457890145162023456 36（1）表中第 行的最后一个数是_，它是自然数_的平方，第 行共有_ 个数8 8（2）用含 的代数式表示：第 行的第一个数是_，最后一个数是_，第 行共有_个nn n数（3）求第 行各数之和7自然数按右表的规律排列：（1）求上起第十行、左起第十三列的数；（2）数 应在上起第几行、左起第几列？25242322120
19、19181716151413121109876543215整式的加减问题解决例 1 乙例 2A 设自然数从 开始，这 个连续自然数的和为1a01210aa05a例 3 原多项式整理得3235xbaxx由题意得 0从而 ，1b例 4aa因而 是 的倍数，即 ，且 是完全平方数，1bk由于 ， ，得 ， ， 9b 8从而 推得这样的两位数有 个： ， ， ， ， ， ， ， 1a 29384756748392例 6（1）由条件得 ，原式 ；23a（2）设小长方形的长为 ，宽为上面的阴影周长为： ，下面的阴影周长为：nma2mbn总周长为： 442b又 abm 2n故选 B（3）由定义得121231
20、2n nTaaa 即123n n 又 50 4950498aaa1234950498a故 ， ， ， 的“理想数”850为 501123495082Taaa2428数学冲浪1 （1） （2）410a2 （1）2nn（2）3 （1）14704703xx（2）4703xx4 （1） ； （2）515B 6A 7C 8A 9 （1） ， ； 3ab（2）原式（3）原式10的边长为、边长之和： ；xy的边长为、边长之和： ；2的边长为、边长之和： ；3y的边长为的边长加上与边长之差： ；4xy的边长为的边长减去边长： ；4y的边长为的边长减去与边长这客： x；3yx的边长为、边长之和： 3yx；74的
21、边长为、边长之和： 74x10yx11 由条件可得23ab210ab且 512 代入化简得 1xy20y13 （1） （2）30314 n15C 16C 分裂后的第一个数是 ，共有 个奇数，由3m1mm45198，得4612074517D 18C （个）98619 （1）共得到 张纸片；31（2）经 次分割，共得到 张纸片nn（3）若能分得 张纸片，则 ， ，无整数解，所以不可能经若干次分割后得2032002n到 张纸片020 （1） ， ，a1b5c（2）原式 x（3） ， ，ABt4Ct，不随时间 的改变而改变C21设前 站上车的乘客数量依次为 ， ， ， ， ， ， 人，71a234a5
22、67a从第 站到第 站下车的乘客数量依次为 ， ， ， ， ， ， 人，28bb8b则 134567aa2 8bb又 ， ，13456102345670即 ，780722将 也加到和 上，由于 、 、 在每一位上都恰好出现两次，acNabc所以 2abcNabc从而 ，103943194于是 518 因为 ， ，6258， 27002其中只有 满足要求，即能使成立，故 3 358abc自然数的排序例 2 第 行第一列数字为 ，第 列数字为 ，n2n12n故第二十行第二十一列的数字为 204例 3C 由 ，得 ，又050例 4 第 斜行中共有 个连续的自然数，其中最大的数是 ，nn12n第 斜行
23、的最大数是 ，62621953第 斜行的最大数是 ，3306因此， 位于第 斜行196又第 斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是 ，6 1954则 是位于第 斜行的由下向上数第 个位置的数，1930换数成原图中行和列是第 行、第 列34024例 5 ， ， ， ， ， ， ， ，12a5a750a67a821又 ， ， ，即后一拐弯数=前一拐弯数+后一拐弯次数353故 20720731520714418故第 个拐弯处的数是 0817练一练1 提示：前 行的数的个数和为 ，50923945故第 行数为 ， ， ， ， ， ，46495012 ， 参见例 33 ；杯 被 除得商 （为奇数）
24、，余数721784 第 行的最后一个数是0k2k5 ；22n6 （1） ； ；85（2） ； ；n21（3）设第 行各数之和为 ，S则2 2213nSn项2 221nn项221nn37提示：经观察可得这个自然表的排列特点：第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第 行的第一个数为 ；n2n第一行第 个数是 ；n21第 行中从第一个数至第 个数依次递减 ；1第 列中从第一个数至第 个数次递增 这样可求：（1）上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第 个数，10即 231954（2）数 满足关系式727162即 在左起十二列，上起第六行的位置1供应站的最佳位置的确定例
25、1 即在数轴上找出表示 的点，使它到表示 ， ， ， 各点距离之和最小，x12617当 时，原式的值最小，最小值是：309x23098309309631787151例 2 x6y 2351得 ，x 5y 故 的最大值为 ，最小值为 y63练一练1放 、 （含 、 ）之间任一处BC2 53 ， 由条件得 ，原式02x 2x4D 只要 ， ， 中至少有一个成立，则 ，3x1y4z229xyzxyz这与条件矛盾，从而得 ， ， ， ， ，31y4z314或 ， ，5B 各线段间的距离如图首先排除选择点 和 ，然后比较 点和 点ADCG212346 FECBAGD6A 原式111.554.5.6.53
26、793xxxx该式子可以看成数轴上的某点到 ， ， ， 各个点的距离乘以相应系数后积的和133因为 .2.4，所以该点在 和 之间时，和最小5.6197 （1） ；（2） 提示：当 时，500102x 原式有最小值，这个最小值为： 2401508最大值为 ，最小值为15乘方美谈练一练1略2 （1） 、 的个位数字分别与 、 的个位数字相同5208209 42089（2） 9 10113 4835 （1） 0725825（2） 1n（3） 986C 7A 8C 9B 10B 11 （1） 提示： 12nn（2）4912 （1）因为 ， ，204502304502所以 与 的个位数字分别与 、 的个位数字相同，02 3即 ， ，从而 的个位数字为 ，6202因此， 是 的位数20（2） 一定是 的倍数，原式41kn205 20520511nnn每个括号里的数都能被 整除，所以全式也能被 整除1013设金片数为 时的移动次数为 ， ，完成 片金片的转移总共需要的时间为na64（亿年） ，而太阳系的寿命是 亿 亿年，等到那时宇宙早已毁灭6458493520 105
