1、河北省衡水 2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， 或 ，则AkN|10k|2Bxn3,xN（ ）BA B C D6,93,691,690102. 若复数 满足 为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于z21i3i(z（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题 一组数据的平均数一定比中位数小；命题:p，则下列命题中为真命题的是 （ ）:1,log2labqabA B C. Dpqpqp4. 设函数 ，若 ，则实
2、数 （ ）4,12xaf243faA B C. 或 23332D 或 5. 若实数 满足条件 ，则 的最大值为（ ）,xy2103xy432zxyA B C. D144194236. 运行如图所示的程序框图，输出的结果 等于（ ）SA B C. D91315257. 若以 为公比的等比数列 满足 ，则数列 的首项2nb222logl3nnbnnb为（ ）A B C. D121 48.已知函数 的图象向左平移 个单位所得的奇函数gx3的部分图象如图所示，且 是边长 cos0,f AMNE为 的正三角形，则 在下列区间递减的是 （ ）1xA B C. D53,294,21,31,69. 已知 分别
3、是双曲线 的左、右焦点， 分别是双12,F2:10,xyCab,MN曲线 的左、右支上关于 轴对称的两点，且 ，则双曲线 的两C12FONC条渐近线的斜率之积为（ ）A B C. D442334210. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何1体的表面积为（ ）A B 28431236412C. D611.椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，若 的外210yxbFABFA接圆圆心 在直线 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）,PmnxA B C. D2,11,220,10,212. 设函数 为自然对数的底数） ，定义在 上的连续函数3(xge
4、aR,eR满足： ，且当 时， ，若存在fx2ff0xfx，使得 ，则实数 的取值范围为（ 0|2x0ga）A B C. D1,2e,2e1,2e,第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、24020高三 人中，抽取 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 ，那么高三被抽取的人n90 36数为 14. 中， ） ，若RtABC,4,5,(,2ABCAMBCR)，则 M15. 九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.
5、良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 里.良马第一天走125里，之后每天比前一天多走 里.驽马笫一天走 里，之后每天比前一天少走 里.良103139705马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里.16.点 是棱长为 的正方体 的内切球 球面上的动点，点 为M321ABCDON上一点， ，则动点 的轨迹的长度为 1BC1,NMN三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6、） 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知AB,C,abc. 24cos4sin3（1）求 ；（2）若 ，求 面积.2cosbAaBbABC18. 如图是某市 2017年 3月 1日至 16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 表示空气质量优良，空气质量指数大于 表示空气重度污染. AQI10 20（1）若该人随机选择 3月 1日至 3月 14日中的某一天到达该市，到达后停留 天（到达3当日算 天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为 天的概率；1（2）若该人随机选择 3月 7日至 3月 12日中的 天到达该市，求这 天中空气质量恰有22天是重度污染的概率.119. 如图，四棱锥 中，
7、平面 平面 ，底面 为梯形，PABCDPABCDA，且 与 均为正三角形， 为/,23,ABCFG的重心 .D（1）求证： 平面 ；/GFPDC（2）求点 到平面 的距离.20. 已知抛物线 的焦点为 为 上位于第一象限的任意一点，过2:0ypx,FAC点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 .AlBD（1）若当点 的横坐标为 ，且 为等腰三角形，求 的方程；3（2）对于（1）中求出的抛物线 ，若点 ，记点 关于 轴的对称点C01,2xBx为 交 轴于点 ，且 ，求证：点 的坐标为 ，并求点 到直线,EAxPABP0,P的距离 的取值范围.Bd21. 函数 ， .21ln(fxaR)2
8、3xge（1）讨论 的极值点的个数；x（2）若 .0,fgx求实数 的取值范围；a求证： ，不等式 成立.x212xeex请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 为参数， ）. 以坐标原xOyCcos(2inxaty0a点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为l.cos24（1）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；PC23aPl（2）若曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围.l23.选修 4-5：不等式选讲已知定义在 上
9、的函数 ，且 恒成立.R2,fxmxN4fx（1）求实数 的值；m（2）若 ，求证： .0,1,3ff18河北省衡水中学 2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB二、填空题13. 14. 15. 16.24251685305三、解答题17. 解：(1) 1cos44sin2cos2sin2cos2BCBCBC, .13,A0,3A(2) ,222224bcacbc a,2222223bac,2222 2240,03bacAbca.31310,3,sin2ABCScb18. 解：(1)设 表示事件“ 此人于
10、3月 日到达该市” .依题意知，i i1,24i，且 .14iPAijij设 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为 天” ，则B，所以356710A，即此人停留期间空气重度污5671054PPPA染的天数为 天的概率为 .14(2) 记 3月 7日至 3月 12日中重度污染的 天为 ，另外 天记为 ，则 天2,EF,abcd6中选 天到达的基本事件如下：2，,abcdaEFbcdbEF共 种，其中 天恰有 天是空气质量重度污染包含dEF1521这 个基本事件，故所求事件,aEFbcEFd8的概率为 .81519. 解：(1)连接 并延长交 于 ，连接 .由梯形 且AGPDHC,/ABDC，
11、知 ，又 为 的重心， ，在 中，2ABDC21FA21GH，故 .又 平面 平面 平面H/,F,/PF.P(2)连接 并延长交 于 ，连接 ，因为平面 平面 与PGADEBPAD,BCPAD均为正三角形， 为 的中点， 平面 ，AB,EE且 .由（1）知 平面 .又3E/F1, 3GPCDFPCDFCDFVVS由梯形 ，且 ，知 .又 为正,CD23AB2BAB三角形，得 ，得160, sinCDFS，1332PCDFCDFVES所以三棱锥 的体积为 .又G.在 中，223,3, 3EEPCE PCD1815153cos,sin,444PDPDCS，故点 到平面 的距离为 .G3225154
12、20. 解：(1) 由题知 ，则 的中点坐标为,0322ppFA3,0DpF，则 ，解得 ，故 的方程为 .3,024p34C24yx(2) 依题可设直线 的方程为 ，则AB012,xmyAB，由 消去 ，得2,Exy20xy， ，设20 014,.61mx121204,ymyx的坐标为 ，则 ，由题知 ，所以PPx22,PPExyA/EPA，即2121y，显然 ，所以21221211244Pyyxx1240ym，即证 ，由题知 为等腰直角三角形，所以 ，即04Py0,EPB1APk，也即 ，所以 ，即12x12y212112,46yyy，又因为 ，所以220066,mx0x，令02201,1
13、xdm，易知 在200642,ttxtdt 42ftt上是减函数，所以 .1,6,321. 解：(1) . 1 ,0,2,fxaxfa 当 ，即 时， 对 恒成立， 在 上20a20xfx0,单调递增， 没有极值点. 当 ，即 时，方程fx2,有两个不等正数解 ，21x1,x，不妨设 ，则当2121 0xxafx x12x时， 递增，当 时， 递减，当10,0,ff12,ff时， 递增，所以 分别为 的极大值点和极小值点. 2xxxx有两个极值点.综上所述，当 时， 没有极值点，当f ,af时， 有两个极值点.,afx(2) （i） ,由 ，即 对于2lnxfgeax02lnxea恒成立，设0
14、x22 21lnln(0),xxx eeex， 当 时， 递减，当21l1xx0,x,10,x时， 递增， .,0,1ea（ii）由（i）知，当 时，有 ，即1aefxg， 当且仅当2223ln1lnxexex时取等号. 1以下证明 ，设 ，所以当 时，lex2ln, exx0,xe递减，当 时， 递增，0,x,e0,， 2,l2ex当且仅当 时取等号. 由于等号不同时成立，故有 .x 212xeex22. 解：(1)由 ，得 ，化成直角坐cos24cosin标方程，得 ，即直线 的方程为 ，依题意，设2xyl40xy，则 到直线 的距离23cos,inPtPl，当4cos4i62cos6tttd t ，即 时， ，故点 到直线 的距离的最大值26tk,tkZmaxdPl为 .4(2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， ， 恒成CltRcos2in40att立，即（其中 ）恒成立， ，又 ，解得24cos4at2tan24，故 取值范围为 .030,323. 解：（1） ,要使 恒成立，则22xmxm2x，解得 .又 ， .2mN1（2） ，即0,13ff，1444,2252518当且仅当 ，即 时取等号，故 .1,3618
