1、大连市 2017 年高三第一次模拟考试数学（文科）能力测试第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ，则 （ ）12zizA B C 1 D2i542.已知集合 ， ，则 （ ）|(3)0x|BxABA B C D|x|x|3|13x3. 设 均为实数，则 “ ”是“ ”的（ ）,abab3bA充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件4.直线 与圆 相交所得弦长为（ ）430xy22(1)(3)10xyA 6 B 3 C. D65.下列命题中错误的是（
2、 ）A如果平面 外的直线 不平行于平面 内不存在与 平行的直线 aaB如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么直线 平面 llC.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6. 已知数列 满足 ， ，则 （ ）na12na15126|aaA 30 B 18 C. 15 D97. 在平面内的动点 满足不等式 ，则 的最大值是（ ）(,)xy301xy2zxyA 6 B4 C. 2 D08.函数 的图象大致是（ ）xeyA B C. D9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A 4 B C. D73438310. 运行
3、如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A B C. D185432231611. 若方程 在 上有两个不相等实根，则 的取值范围是（ 2sin()6xm0,xm）A B C. D(1,3),21,2)1,312. 已知定义在 上的函数 为增函数，当 时，不等式R()fx2x恒成立，则实数 的取值范围是（ ）12()0()1fxfxf1xA B C. D,0,(,)2(1,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果学号为 1 号到 30 号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50
4、号同学的平均成绩为 14. 已知函数 ，则 ()sinxfe(0)f15. 过双曲线 的右焦点 且斜率为 1 的直线与渐近线有且只有一21(,yabF个交点，则双曲线的离心率为 16. 我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知点 ， ， 为坐标原点，函数 .(3,1)P(cos,in)QxO()fxOPQ（1）求函数 的最小值及此时 的值；fx（2）若 为 的内角， ， ， 的面
5、积为 ，求 的ABC()4fA3BCA34ABC周长.18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可） ；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户，求 2 名用户评分小于 90 分的概率.19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，PABCDABPABCD， ， 为棱 中点.2AD7EP（1）求证
6、： 平面 ；PDABE（2）求四棱锥 外接球的体积.C20. 已知函数 .()lnfxa（1）过原点 作函数 图象的切线，求切点的横坐标；Of（2）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.1,)x2()fxaa21. 已知椭圆 ： ， 分别是其左、右焦点，以线段 为直径的Q21ya12,F12F圆与椭圆 有且仅有两个交点.（1）求椭圆 的方程；（2）设过点 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于 两点，线段 的垂直平分线与1Fl,AB轴交于点 ，点 横坐标的取值范围是 ，求 的最小值.xP10)4|请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系
7、与参数方程已知在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标xOyx系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.1C4cosl 251ty（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的普通方程；1l（2）若曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 上点 的极角为 ，2C2cosinxy1CP4为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 距离的最大值.Q2PQMl23.选修 4-5：不等式选讲已知 ，函数 的最小值为 1.0,ab()|2|fxaxb（1）求证： ；2（2）若 恒成立，求实数 的最大值.tt2017 年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准
8、一选择题（1）A；（2）D；（3）C； （4）A；（5）C；（6）B；（7）A；（8）B；（9）D；（10) B； （11）C； （12）D二.填空题（ 13） 95； （14）1； (15) ； 16128.2三.解答题（17）解：（I） ，(3,1)(cos,1in)OPQx ，()cosin42i(3fxx当 时， 取得最小值 22()6kZ()fx(2) ， ， )=4fA3又 ， ， 3BC22cosab29()bc， 1sin4ASc ，三角形周长为 . 23b32(18)解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （）
9、运用分层抽样从男性用户中抽取 名用户，评分不低于 分有 人，其中评分小20806于 分的人数为 ，记为 ，评分不小于 分的人数为 ，记为 ，从 人人904,ABCD92,ab任取 人，基本事件空间为2(),(),(),(),(),ABCDAabBCDaBbC，共有 个元素. 其中把“两名用户评分都小于 分”记ab1590作 ，M则 ，共有 个元素. (),(),(),ABCDBC6所以两名用户评分都小于 分的概率为 .906215(19)解：(I)证明： 底面 ， 底面 ，PABCABCD ，又底面 为矩形， ， ， 平面BDPA， 平面 ，PAD 平面 ，又 平面 ， ， ， 为 中点，PE
10、PD ， ， 平面 ， 平面 ， 平面EAEBB. B(II)法一：四棱锥 外接球球心在线段 和线段 的垂直平分线交点 ，PABCDBDPAO由已知 ，222(7)4BD设 为 中点， ，C1MOAP，2221()3OA四棱锥 外接球是 PB46法二：四棱锥 外接球和过 的长方体外接球相同，CD,PABCD球心在对角线的中点由已知对角线 ，222(7)6AB球的半径为 3，四棱锥 外接球是 PABCD346AM(20) 解：（）设切点为 0x（ ， )(f，直线的切线方程为 )()00xkfy，axf1)(， ，001xafk即直线的切线方程为 )(ln00xxy，又切线过原点 O,所以 ，1
11、l00aa由 1ln0x，解得 ex，所以切点的横坐标为 e.（）方法一：不等式 对 x， )恒成立,)2(lnx 2lax对 ， 恒成立.1设 ， ， ， .xg)()xaxg1(当 时， ， 在 ， 上单调递减，002()ag)即 ， 不符合题意. 1()x0当 时， .设 ，0axg1)2 18)4(212)( 2axaxh在 ， 上单调递增，即 (). 1（）当 时，由 ，得 ， 在 ， 上单调递增，即a0xh0xg)(xg1)， 符合题意； 0)(gx1（ii）当 时， ， ， 使得 ，a0x)0)(xh则 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，)(x)0()，则 不合题意. 10
12、g1综上所述， a. （）方法二：不等式 对 1x， )恒成立,2lnax（ ） 对 ， 恒成立.2ln0ax1)当 时， ；当 时， ，2lx0a2lngxax（ ） =不恒成立；同理 取其他值不恒成立.3lg（ ） =6x当 时， 恒成立；1x2lnax当 时， ，证明 恒成立. 22l1x（ ）设 ， ， ，lgx（ ） 1). 在 ， 为减函数21+0（ ） gx（ ） )， 1a. gx（ ） （ ） =（）方法三：不等式 对 1x， )恒成立,2lnxa（ ）等价于 对 ， 恒成立. 2lx（ ） )设 ，当 时， ； ，12=yayx（ ） ,012y0a函数 过点（0,0）和（
13、1,0） ，函数 过点（1.0） ， 在 恒成立，212yx一定存在一条过点（1,0）的直线和函数 、 都相切或，一定存在一条过点（ 1,0）的1y2直线 相切和函数 相交，但交点横坐标小于 1，2y1y当都相切时 2=axx,不大于等于 0. 3ln3g（ ） =9 1a.(21)（本小题满分 12 分）解：（） 由题意可知 ，1cb ，故椭圆的方程为 .2a2xy() 设直线 方程为 ，l(1)0yk代入 有 ， 21xy22()40kxk设 ， 中点 ，12(,),ABA0(,)Ny .212124,kkxx 01202 2(),(1)kyxk 的垂直平分线方程为 ，AB00令 ，得0y
14、024Pxkyk ， ， 1,)4P121k4221 26()|ABkxk，213+()min3|AB(22)（本小题满分 10 分）解：（）由 21:40,Cxy. :30lxy（） 直角坐标为 ， (2,)4P(2,)， 1cosin(cosinQM:230lxy到 的距离 ，l|13|sin()|545d 从而最大值为 . 05(23)解：（）法一： ， ()|2|=|2bfxaxbax 且 ，|()|22bbxaxaa|02bx ，当 时取等号，即 的最小值为 ，()f(fa ， . 1b法二： ， ，2a3,()|2|=2,xabfxabxx显然 在 上单调递减， 在 上单调递增，(
15、)fx,2b()fx,)2 的最小值为 ， ()fa ， . 1ab（）方法一： 恒成立， 恒成立， 2t2abt21()(4)abab129(4)ab当 时， 取得最小值 ，3292 ，即实数 的最大值为 .92tt方法二： 恒成立， 恒成立，ababt恒成立，12t4()9baba ，即实数 的最大值为 .92tt2方法三： 恒成立， 恒成立，()(2)at 恒成立，2(3)40tat ，6 ，实数 的最大值为 .192tt922017 年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分
16、标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一选择题（1）A；（2）D；（3）C； （4）A；（5）C；（6）B；（7）A；（8）B；（9）D；（10) B； （11）C； （12）D二.填空题（ 13） 95； （14）1； (15) ； 16128.2三.解答题（17）(本小题满分 12 分)解：（I） ，3
17、分(3,1(cos,1in)OPQx， 5 分()cosin42(fxx当 时， 取得最小值 2 6 分2()6kZ)fx(2) ， ， 7 分()=4fA3又 ， ， 9 分BC22cos3ab29()bc， 10 分1sin4ASc ，三角形周长为 . 12 分23b32(18)(本小题满分 12 分)解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 分分分10908070600.0350.0250.020.0150.010.050.030.04O50分分分10908070600.0350.0250.020.0150.010.050.030.04O5012 分4 分由图可得女性
18、用户的波动小，男性用户的波动大. 6 分（）运用分层抽样从男性用户中抽取 名用户，评分不低于 分有 人，其中评分小20806于 分的人数为 ，记为 ，评分不小于 分的人数为 ，记为 ，从904,ABCD92,ab人人任取 人，基本事件空间为62(),(),(),(),(),ABabBabCD，共有 个元素. 8 分,CabD15其中把“两名用户评分都小于 分”记作 ，90M则 ，共有 个元素. 10 分M(),(),(),ABBCD6所以两名用户评分都小于 分的概率为 .12 分906215(19)(本小题满分 12 分) 解：(I)证明： PA底面 ABCD， AB 底面 ABCD， PA
19、AB，又底面 ABCD 为矩形， AB AD，PA AD=A， PA 平面 PAD， AD 平面 PAD， AB平面 PAD，又 PD 平面 PAD， AB PD，AD=AP， E 为 PD 中点， AE PD， AE AB=A，AE 平面 ABE， AB 平面 ABE， PD平面 ABE. 6 分(II)法一：四棱锥 P-ABCD 外接球球心在线段 BD 和线段 PA 的垂直平分线交点 O，8 分由已知 ，9 分222(7)4BDA设 C 为 BD 中点， ，1MOAP，MAP BCDOE，11 分2221()3OAM四棱锥 P-ABCD 外接球是 12 分46AM法二：四棱锥 P-ABCD
20、 外接球和过 P、 A、 B、 C、 D 的长方体外接球相同，8 分球心在对角线的中点9 分由已知对角线 ，10 分222(7)6ABD球的半径为 3，11 分四棱锥 P-ABCD 外接球是 12 分346M(20) （本小题满分 12 分）解：（）设切点为 0x（ ， )(f，直线的切线方程为 )()00xkfy，axf1)(， ， 2 分001xafk即直线的切线方程为 )(ln00xy，又切线过原点 O,所以 ，1l00axa由 1ln0x，解得 ex，所以切点的横坐标为 e.4 分（）方法一：不等式 对 x， )恒成立,)2(ln 2l0ax对 ， 恒成立.1x设 ，g)(， ， .1
21、xxax2)(5 分当 时， ， 在 ， 上单调递减，0a01)()g)(xg1)即 ， 不符合题意. 7 分1()xga当 时， .设 ，0ax12) 18)4(212)( 2axaxh在 ， 上单调递增，即 ()1hxa. 9 分1)（i）当 时，由 ，得 ， 在 ， 上单调递增，即a0)(0g)(xg1)， 符合题意； 10 分 )(gxa（ii）当 时， ， ， 使得 ，100x)0)(xh则 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，)(x)()，则 不合题意. 11 分0g10a综上所述， 1a. 12 分 （）方法二：不等式 对 1x， )恒成立,2lnx（ ） 对 ， 恒成立.2
22、l0x1)当 时， ；当 时， ，a2lax0a2lngxax（ ） =不恒成立；同理 取其他值不恒成立.6 分3lng（ ） =6x当 时， 恒成立；1x2lx当 时， ，证明 恒成立. 10 分2a2ln1x（ ）设 ， ， ，lngxx（ ） 1). 在 ， 为减函数11 分21+0（ ） g（ ） x， 1a.12 分 gx（ ） （ ） =（）方法三：不等式 对 1x， )恒成立,2lnx（ ）等价于 对 ， 恒成立. 5 分2（ ） )设 ，当 时， ； ，6 分12=lyaxyx（ ） ,0a12y0a函数 过点（0,0）和（1,0） ，函数 过点（1.0） ， 在 恒成立，21
23、2yx一定存在一条过点（1,0）的直线和函数 、 都相切或，一定存在一条过点1y2（1,0）的直线 相切和函数 相交，但交点横坐标小于2y11，10 分当都相切时 11 分1212=yaxyx,不大于等于 0. 6 分3ln3g（ ） =9 a.12 分(21)（本小题满分 12 分）解：（） 由题意可知 ，2 分1cb ，故椭圆的方程为 .4 分2a2xy() 设直线 方程为 ，代入 有l(1)0kx21xy， 5 分22140kxk设 ， 中点 ，12(,)(,)AyBA0(,)Nxy .6 分21212,kkxx 7 分01202 2(),(1)kyxk 的垂直平分线方程为 ，AB00令
24、 ，得 9 分0y024Pxkyk ， ， 10 分1,)4P121k4221 26()|ABkxk，213+()12 分min3|AB(22)（本小题满分 10 分）解：（）由 2 分21:40,Cxy. 5 分:3l（） 直角坐标为 ，6 分(2,)4P(2,)， 8 分1cosincosin)QM:230lxy到 的距离 ，9 分l|13|sin()|545d 从而最大值为 . 10 分0(23)（本小题满分 10 分）解：（）法一： ， 2 分()|2|=|2bfxaxbax且 ，|()|2bxa|0 ，当 时取等号，即 的最小值为 ，4 分()fx()fxa， . 5 分1b法二：
25、， ，3 分2a3,()|2|=2,xabfxabxx显然 在 上单调递减， 在 上单调递增，()fx,2b()f,)2 的最小值为 ， 4 分()fa ， . 5 分1ab（）方法一： 恒成立， 恒成立， 7 分2at2abt11()(4)b a9 分当9(422ba时， 取得最小值 ，23abab92 ，即实数 的最大值为 .10 分9tt方法二： 恒成立， 恒成立， 7 分2ababt恒成立，1t9 分214()9baba ，即实数 的最大值为 .10 分92tt方法三： 恒成立， 恒成立，7 分2()()at 恒成立，2(3)40tat ，9 分6 ，实数 的最大值为 .10 分192tt92
