1、大连市 2017 年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，则 （ ）12zizAA5 B C -3 D5434i2.已知集合 ， ，则 （ ）2|30x1|0xBABA B |13x|xC D|0或 |13x或3.设 均为实数，则 “ ”是“ ”的（ ）,ab|ab3abA充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件4.若点 为抛物线 上的动点， 为抛物线 的焦点，则 的最小值为（ P21:CxyFC|PF）A 2
2、 B C. D24185.已知数列 满足 ， ，则 （ ）na1na15126|aaA 9 B15 C. 18 D306.在平面内的动点 满足不等式 ，则 的最大值是（ ）(,)xy301xy2zxyA 6 B4 C. 2 D07.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A 4 B C. D7343838.将一枚硬币连续抛掷 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ，则 的最小值n 156n为（ ）A 4 B5 C. 6 D79.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A B C. D185432231610.若方程 在 上有两个不相等的实数解 ，则 （ 2sin()6xm0,x12,x
3、12x）A B C. D432311.已知向量 ， ， ，若(3,1)O(,)OCmAnB(0,)，则 的取值范围是（ ）,2mn|CA B C. D55,210)(5,1)5,21012.已知定义在 上的函数 ，当 时，不等式R2(0xfem2x恒成立，则实数 的取值范围是（ ）12()0()fxfx1A B C. D,10,(,)2(1,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答） 14.函数 的图象在点 处的切线方程是 ()sin
4、xfe(0,)f15.我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数是 16.过双曲线 的焦点 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线21(0,)xyabF相交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为 ,ABFA三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知点 ， ， 为坐标原点，函数 .(3,1)P(cos,in)QxO()fxOPQ（1）求函数 的最小值及此时 的值；fx（2）若 为 的内角， ， ，求 的周长的最大值.ABC()4fA
5、3BCA18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可） ；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90 分的人数的分布列和期望.19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ，PABCDABPABCD， 为棱 中点.ADE（1）求证： 平面 ；PDABE（2）若 为 中点，
6、 ，试确定 的值，使二面角F(01)MPC的余弦值为 .320. 已知点 是长轴长为 的椭圆 ： 上异于顶点的一个动点，P2Q21(0)xyab为坐标原点， 为椭圆的右顶点，点 为线段 的中点，且直线 与 的斜率OAMPAPAOM之积恒为 .12（1）求椭圆 的方程；Q（2）设过左焦点 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于 两点，线段 的垂直平分1Fl,CD线与 轴交于点 ，点 横坐标的取值范围是 ，求 的最小值.xG10)4|21. 已知函数 .2()2)()xfeax（1）若 是 的单调递增函数，求实数 的取值范围；x0,a（2）当 时，求证：函数 有最小值，并求函数 最小值的取值范围.1(0
7、,)4a()fx()fx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标xOyx系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.1C4cosl 251ty（1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的普通方程；1l（2）若曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 上点 的极角为 ，2C2cosinxy1CP4为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 距离的最大值.Q2PQMl23.选修 4-5：不等式选讲已知 ，函数 的最小值为 1.0,ab()|2|fx
8、axb（1）求证： ；2（2）若 恒成立，求实数 的最大值.tt2017 年大连市高三一模测试数学（理科）参考答案与评分标准一选择题（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）C；（6）A；（7）D ；（8）A；（9）B；（10）C；（11）B；（12）D二.填空题（13）48；（14） ；（ 15） ；（16） yx1283三.解答题（17）解：（I） ，(3,1)(cos,1in)OPQx ，()cosin42i(3fxx当 时， 取得最小值 22()6kZ()fx(2) ， ， )=4fA3又 ， ， 3BC22cosab29()bc， ， ()4bc()94 ，当且仅当 取等号，23
9、=bc三角形周长最大值为 . 23(18)解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （）运用分层抽样从男性用户中抽取 名用户，评分不低于 分有 人，其中评分小20806于 分的人数为 ，从 人人任取 人，记评分小于 分的人数为 ，则 取值为904639X，1,23； ； .12436()5CPX21436()5CPX32461()5CP所以 的分布列为 123P515或 .4326EX62EX(19) 解：(I)证明： 底面 ， 底面 ， ，PABCDABCDPAB又底面 为矩形， ， ， 平面 ， 平面BCPD，PAD 平面 ，
10、又 平面 ， ， ， 为 中点，E ， ， 平面 ， 平面 ， 平面EAEABABP. B(II) 以 为原点，以 为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，,BDP,xyz BD令 ，|2A则 ， ， ， ， ， ，(0,)(,0)(,2)(,0)C(,1)E(,0)F， ， ，1PFP2PM2,)设平面 的法向量 ， ，即 ，M1(,)mxyz=00xzy(2,1)m设平面 的法向量 ， ，BF2(,)nxyz=0nBFM即 ，02120xyz(,1)n，解得 . 2213|cos,|6mn 2(20) 解：（）椭圆 的长轴长为 ， Q2a设 ，0(,)Pxy直线 与 的斜率之积恒为 ， ，AO
11、M120012yx ， ，201xyb故椭圆的方程为 .2xy() 设直线 方程为 ，代入 有l(1)0ykx21xy， 22140kxk设 ， 中点 ，12(,)(,)AyBA0(,)Nxy .21212,kkxx 01202 2(),(1)kyxk 的垂直平分线方程为 ，CD00令 ，得0y024Gxkyk ， ， 1,)4121k4221 26()|CDkxk，2132+()kmin3|CD(21)解：（） (2)4xxfea函数 在区间 上单调递增，)（ 0+（ ， ）. ， ，fx在 （ ， ） 上 恒 成 立 (2)40xxea(1)24xea令 ， ，(1)24xeg2(1)(1
12、) 0(4)()x xeg ， .()0xa（） 20xfe=0+yfx在 （ ， ） 上 单 调 递 增0=41a又 6fa =0tft存 在 （ ,1） 使 ， ， ，xt（ ， ） 时 0x（ ， ） 时 x， 当 时 2min=-2+()tfftea（ ）， -1+()0tfeat且 有 （ ） 1=()t由（）知 在 上单调递减，()=)2tg(,)t，且 ， 1(0),(4g104a(0,)t ，22min ()=-2+()t tetfxft te（ ），2(1)0teft ， , 1)f()1eft 的最小值的取值范围是 (x,(22)解：（）由 . 21:40,Cxy:230l
13、xy（） 直角坐标为 ，(,)P()， 12cosin(cos,in2QM:lxy到 的距离 ，l|13|0|sin()|545d 从而最大值为 . 05(23)解：（）法一： ，()|2|=|2bfxaxbax 且 ，|()|2bxa|0 ，当 时取等号，即 的最小值为 ，()fx(fx ， . 1b法二： ，2a ，3,()|=2,xabfxabxx显然 在 上单调递减， 在 上单调递增，()fx,2()f,)2b 的最小值为 ， ()bfa ， . 1ba（） 恒成立，2t 恒成立， b112()2(4)a abab129(4)ab当 时， 取得最小值 ，23abab92 ，即实数 的最
14、大值为 .9tt2017 年大连市高三一模测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一选择题（1）A；（2）D；（3）A；（4）D；（5）C；（6）A；（7）D ；（8）A；（
15、9）B；（10）C；（11）B；（12）D二.填空题（13）48；（14） ；（ 15） ；（16） yx1283三.解答题（17）(本小题满分 12 分)解：（I） ，3 分(3,1(cos,1in)OPQx， 5 分()cosin42(fxx当 时， 取得最小值 2 6 分2()6kZ)fx(2) ， ， 7 分()=4fA3又 ， ， 9 分BC22cos3ab29()bc， ， 10 分()4bc()94c ，当且仅当 取等号，23=b三角形周长最大值为 . 12 分23(18)(本小题满分 12 分)解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：12 分4 分由图可得女
16、性用户的波动小，男性用户的波动大. 6 分（）运用分层抽样从男性用户中抽取 名用户，评分不低于 分有 人，其中评分小20806于 分的人数为 ，从 人人任取 人，记评分小于 分的人数为 ，则 取值为904639X，1,23分分分10908070600.0350.0250.020.0150.010.050.030.04O50分分分10908070600.0350.0250.020.0150.010.050.030.04O50； ； .9 分12436()5CPX21436()5CPX32461()5CPX所以 的分布列为 123P515或 .12 分4326EX62EX(19)(本小题满分 12
17、 分) 解：(I)证明： PA底面 ABCD， AB 底面 ABCD， PA AB，又底面 ABCD 为矩形， AB AD， PA AD=A， PA 平面 PAD， AD 平面 PAD， AB平面 PAD，又 PD 平面 PAD， AB PD， AD=AP， E 为 PD 中点， AE PD， AE AB=A，AE 平面 ABE， AB 平面 ABE， PD平面 ABE. 6 分(II) 以 为原点，以 为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，A,BDP,xyz BDP令 ，|2B则 ， ， ， ， ， ，(0,)(,0)(,2)(,0)C(,1)E(,0)F， ， ，1PFP2PM2,)设平面
18、的法向量 ， ，即 ，M1(,)mxyz=00xzy(2,1)m设平面 的法向量 ， ，即BF2(,)nxyz=0nBFM，0210xyz(,1)，解得 . 2213|cos,|6mn 12(20) （本小题满分 12 分）解：（）椭圆 的长轴长为 ， Q22a设 ，直线 与 的斜率之积恒为 ，0(,)PxyPAOM1 ，2 分00122 ， ，201xyb故椭圆的方程为 .4 分2xy() 设直线 方程为 ，代入 有l(1)0ykx21xy， 5 分22140kxk设 ， 中点 ，12(,)(,)AyBA0(,)Nxy .6 分21212,kkxx 7 分01202 2(),(1)kyxk
19、的垂直平分线方程为 ，CD00令 ，得 9 分0y024Gxkyk ， ， 10 分1,)4121k4221 26()|CDkxk，213+()12 分min3|CD(21)（本小题满分 12 分）解：（） 1 分(2)4xxfea， . )0+x函 数 （ 在 区 间 （ ， ） 上 单 调 递 增 0+fx在 （ ， ） 上 恒 成 立， ， 2 分(24xea(1)24ea令 ， ，1)xeg 22(1)()() 0() 4x xexg ， . 4 分()04x1a（） 20xfe=0+yfx在 （ ， ） 上 单 调 递 增0=1a又 6fa =0tft存 在 （ ,1） 使 ， ，
20、，xt（ ， ） 时 0x（ ， ） 时 x， 6 分当 时 2min=-2+()tfftea（ ）， 6 分-1+()0tfeat且 有 （ ） 1=()t由（）知 在 上单调递减，()=)2tg(,)t，且 ， 8 分1(0),(4g104a(0,)t，10 分22min ()=-2+t tetfxft te（ ），11 分2(1)0teft ， , 1)f()1eft 的最小值的取值范围是 12 分(x,(22)（本小题满分 10 分）解：（）由 2 分21:40,Cxy. 5 分:3l（） 直角坐标为 ，6 分(2,)4P(2,)， 8 分1cosincosin)QM:230lxy到
21、的距离 ，9 分l|13|sin()|545d 从而最大值为 . 10 分0(23)（本小题满分 10 分）解：（）法一： ， 2 分()|2|=|2bfxaxbax且 ，|()|2bxa|0 ，当 时取等号，即 的最小值为 ，4 分()fx()fxa， . 5 分1b法二： ，2a ，3 分3,()|=2,xabfxabxx显然 在 上单调递减， 在 上单调递增，()fx,2()f,)2b 的最小值为 ， 4 分()bfa ， . 5 分1ba（） 恒成立， 恒成立， 7 分2t2bta12()(4)ababb9 分当19(422a时， 取得最小值 ，3abb ，即实数 的最大值为 .5 分92tt92
