1、2017 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1复数 z 满足 1+i= （其中 i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设集合 A=xR|x10，B=xR|x0，C=xR |x（x 2）0，则“xAB“ 是 “xC“的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3在等比数列a n中，首项 a1=1，若数列a n的前 n 项之积为 Tn，且T5=1024，则该数列的公比的值为（ ）A2 B2 C2 D34函数 f（x）=sin（x+ ）（
2、0）的图象与 x 轴的交点横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到 g（x）=cos （x+ ）的图象，可将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位 B向左平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位5下列选项中，说法正确的是（ ）A命题“x 0R，x 02x00”的否定为“x R，x 2x0”B命题 “在ABC 中，A30，则 sinA ”的逆否命题为真命题C设 an是公比为 q 的等比数列，则“q1” 是“a n为递增数列”的充分必要条件D若非零向量 、 满足 |，则 与 共线6执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 6，则判断框内 m 的取值范围是（ ）A（30，42 B（20，3
3、0） C（20，30 D（20，42）7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A6 B7 C8 D98已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A2， B ， C（0， D ， 9设函数 f（x）=8lnx+15x x2，数列a n满足 an=f（n），n N+，数列a n的前n 项和 Sn 最大时， n=（ ）A15 B16 C17 D1810三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文如
4、下：要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高三丈的标杆 BC 和 DE，前后两杆相距 BD=1000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚 H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B退行 123 步到 F，人眼著地观测到岛峰， A、C、F 三点共线，从后标杆杆脚 D退行 127 步到 G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G 三点也共线，则山峰的高度AH=（ ） 步（古制：1 步=6 尺，1 里=180 丈=1800 尺=300 步）A1250 B1255 C1230 D120011设 M、N 是直线 x+y2=0 上的两动点，且|MN|= ，则 的最小值为（ ）A1 B2 C D12设
5、函数 f（x）= ，若方程 f（f（x）=a（a0）恰有两个不相等的实根 x1，x 2，则 e e 的最大值为（ ）A B2（ln21） C Dln21二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（1+ ） 5 的展开式中 x2 项的系数是 14已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒 N 颗黄豆，恰有 n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 15抛物线 y2=4x 上一点 A 到它焦点 F 的距离为 4，则直线 AF 的斜率为 16在ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 所对应边，且 a，b，c 成等比数列，则 sinA（ + ）的取值范围是 三、解答题
6、（共 5 小题，满分 60 分）17（12 分）2017 年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：观众对凉山分会场表演的看法非常好 好中国人且非四川（人数比例）四川人（非凉山）（人数比例）凉山人（人数比例）（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有 2 人认为“非常好” 的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取 9 人，在这 9 人中任意选取 3 人，认为“ 非常好 ”的人数记为 ，求 的分布列和数学期望18（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别
7、是 a，b，c，若sin（AB ）= sinAcosB sinBcosA（1）求证：A=B； （2）若 A= ，a= ，求 ABC 的面积19（12 分）如图，在三棱锥 CPAB 中，ABBC，PBBC，PA=PB=5 ，AB=6 ，BC=4 ，点 M 是 PC 的中点，点 N 在线段 AB 上，且 MNAB （1）求 AN 的长；（2）求锐二面角 PNCA 的余弦值20（12 分）设椭圆 E： + =1（a b0）的左、右焦点 F1、F 2，其离心率 e= ，且点 F2 到直线 + =1 的距离为 （1）求椭圆 E 的方程；（2）设点 P（ x0，y 0）是椭圆 E 上的一点（x 01），过
8、点 P 作圆（x+1）2+y2=1 的两条切线，切线与 y 轴交于 A、B 两点，求|AB|的取值范围21（12 分）已知函数 f（x）= ，其中 m，n，kR（1）若 m=n=k=1，求 f（x）的单调区间；（2）若 n=k=1，且当 x0 时，f（x）1 总成立，求实数 m 的取值范围；（3）若 m0，n=0，k=1，若 f（x）存在两个极值点 x1、x 2，求证：f （x 1）+f （x 2） 请考生在 22、23 两题选一题作答选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），在以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立的极
9、坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 =2（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若点 Q 是曲线 C 上的动点，求点 Q 到直线 l 的距离的最大值选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x）=|2x+2|x2|（）求不等式 f（x）2 的解集；（）若xR ，f （x）t 2 t 恒成立，求实数 t 的取值范围2017 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1复数 z 满足 1+i= （其中 i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考
10、点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案【解答】解：由 1+i= ，得 = ，z 在复平面内对应的点的坐标为（ ， 1），位于第三象限角故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2设集合 A=xR|x10，B=xR|x0，C=xR |x（x 2）0，则“xAB“ 是 “xC“的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用不等式的解法化简集合 A，B，C，再利用集合的运算性质、简易逻辑的判定
11、方法即可得出【解答】解：集合 A=xR|x10=x|x1，B= xR|x0，C=xR|x（x2）0=x|x2 或 x0，AB=x|x0，或 x1，则“x AB“是“xC“的必要不充分条件故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3在等比数列a n中，首项 a1=1，若数列a n的前 n 项之积为 Tn，且T5=1024，则该数列的公比的值为（ ）A2 B2 C2 D3【考点】等比数列的前 n 项和【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，首项 a1=1，T 5=1024，1 5q1+2
12、+3+4=1024，即 q10=210，解得 q=2故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4函数 f（x）=sin（x+ ）（0）的图象与 x 轴的交点横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到 g（x）=cos （x+ ）的图象，可将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个单位 B向左平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意可得可得函数的周期为 ，即 =，求得 =2，可得 f（x）=sin（2x+ ）再根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：根据函数 f（x）=
13、sin（x+ ）（0）的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，可得函数的周期为 ，即： =，可得：=2，可得：f（x）=sin（2x+ ）再由函数 g（x）=cos（2x+ ）=sin （2x+ ）=sin2（x+ ）+ ，故把 f（ x）=sin（2x+ ） 的图象向左平移 个单位，可得函数 g（x）=cos（2x+ ）的图象，故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题5下列选项中，说法正确的是（ ）A命题“x 0R，x 02x00”的否定为“x R，x 2x0”B命题 “在ABC 中，A30，则
14、 sinA ”的逆否命题为真命题C设 an是公比为 q 的等比数列，则“q1” 是“a n为递增数列”的充分必要条件D若非零向量 、 满足 |，则 与 共线【考点】命题的真假判断与应用【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断 A；由 A=150，可得 sinA=，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断 B；由 a10，0q1，即可判断 C；再由向量共线的条件，即可判断 D【解答】解：对于 A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“x0R，x 02x00”的否定为“x R，x 2x0”，故 A 错；对于 B，命题“在ABC 中，A30，则 sinA ”为假命题，比如 A=150，则 sinA=
15、 再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故 B 错；对于 C，设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”推不出“ an为递增数列”，比如 a10，不为增函数；反之，可得 0q1故不为充分必要条件，故 C 错；对于 D，若非零向量 、 满足| + |=| |+| |，则 ， 同向，则 与 共线，故 D 正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和向量共线的条件，考查判断和推理能力，属于基础题6执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 6，则判断框内 m 的取值范围是（ ）A（30，42 B（20，30） C（20，30 D（20，
16、42）【考点】程序框图【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的 k 值判断运行的次数，从而求出输出的 S 值【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行 S=0+2，k=2；第二次运行 S=0+2+4，k=3；第三次运行 S=0+2+4+6， k=4；第四次运行 S=0+2+4+6+8，k=5；第五次运行 S=0+2+4+6+8+10，k=6输出 k=6， 程序运行了 5 次，此时 S=0+2+4+6+8+10=30，m 的取值范围为 20m30故选：C 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
17、（ ）A6 B7 C8 D9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积 S= （2+4）2=6 ，高 h=3，故体积 V= =6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档8已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A2， B ， C（0， D ， 【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，求出 的范围，化简目标函数，转化为函数的值域，求解即可【解答】解：实数 x，y 满足 的可行域如图：由图形可知
18、： 的最小值：K OB，最大值是 KOA，由 解得A（2，3），由 可得 B（3， ），K OB= ，K OA= ，则 = ，令 t= ，t ，g（t）= +t2，等号成立的条件是t=1，1 ， ，当 t= 时，g（ ）= ，当 t= 时，g（ ）= ，可得 = ， 故选：D【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力9设函数 f（x）=8lnx+15x x2，数列a n满足 an=f（n），n N+，数列a n的前n 项和 Sn 最大时， n=（ ）A15 B16 C17 D18【考点】数列的求和【分析】求出 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导
19、数小于 0，可得减区间，再计算 f（1），f （8），f（16），f （17）的符号，即可得到所求数列an的前 n 项和 Sn 最大时，n 的值【解答】解：函数 f（x）=8lnx+15xx 2，x0导数为 f（x）= +152x= ，当 x8 时，f（x）0，f（x）递减；当 0x8 时，f（x）0，f（x）递增，可得 x=8 处 f（x）取得极大值，且为最大值，f （8）=8ln8+120640，由 an=f（n），n N+，可得 f（1）=15 1=140，f（16） =8ln16+1516162=8ln16160，f（17） =8ln17+1517172=8ln17340，由单调性可得
20、 a1，a 2， ，a 16 都大于 0，a 170，则数列a n的前 n 项和 Sn 最大时，n=16故选：B 【点评】本题考查数列前 n 项和的最值，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题10三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高三丈的标杆 BC 和 DE，前后两杆相距 BD=1000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚
21、H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B退行 123 步到 F，人眼著地观测到岛峰， A、C、F 三点共线，从后标杆杆脚 D退行 127 步到 G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G 三点也共线，则山峰的高度AH=（ ） 步（古制：1 步=6 尺，1 里=180 丈=1800 尺=300 步）A1250 B1255 C1230 D1200【考点】解三角形的实际应用【分析】根据“ 平行线法”证得BCF HAF、DEG HAG，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解线段 AH 的长度【解答】解：AHBC，BCFHAF， ，又DE AH，DEG HAG， ，又BC=DE， ，即 ，BH=30750（步）=10
22、2.5 里，又 ，AH= =1255（步）故选：B 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，能够熟练运用三角形的相似解决是关键11设 M、N 是直线 x+y2=0 上的两动点，且|MN|= ，则 的最小值为（ ）A1 B2 C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】设 M（m，2m）， N（n，2n），且 mn，运用两点的距离公式可得mn=1，再由向量的数量积的坐标表示，转化为 n 的二次函数，配方即可得到所求最小值【解答】解：设 M（m，2 m），N（n，2n），且 mn，由|MN|= ，可得 = ，可得 mn=1，即 m=1+n，则 =mn+（2m）（2 n）=2mn+42（m+n）=2
23、n（1+n）+42（1+2n）=2（n 2n+1）=2 （n ） 2+ ，当 n= ，m= 时，可得 的最小值为 ，故选：D【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，注意运用转化思想，运用二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题12设函数 f（x）= ，若方程 f（f（x）=a（a0）恰有两个不相等的实根 x1，x 2，则 e e 的最大值为（ ）A B2（ln21） C Dln21【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】求出 f（f （x）的解析式，根据 f（f （x）的函数图象判断 x1，x 2的范围和两根的关系，构造函数 h（x 1）=e e ，求出 h（x 1）的最大值即可【
24、解答】解：令 g（x）=f（f （x）= ，y=f（x）在（，0）上单调递减，在0，+）上单调递增，g（x）=f（f（x）在（ ，0）上单调递减，在0，+）上单调递增做出 g（x）=f（f（x）的函数图象如图所示：方程 f（f （ x）=a（a0）恰有两个不相等的实根 x1，x 2，不妨设 x1x 2，则 x11 ，x 20，且 f（x 1）=f （x 2），即 x12=e e e =e x12，令 h（x 1）=e x12，则 h（x 1）=e （x 12+2x1） =e x1（x 1+2），当 x12 时，h（x 1） 0，当 2x 11 时，h（x 1）0，h（x 1）在（，2）上单调递
25、增，在（2， 1）上单调递减，当 x1=2 时，h（x 1）取得最大值 h（ 2）= 故选 C【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（1+x）（1+ ） 5 的展开式中 x2 项的系数是 15 【考点】二项式系数的性质【分析】把（1+ ） 5 按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+ ） 5 的展开式中 x2 项的系数【解答】解：（1+x）（1+ ） 5 =（1+x ）（1 +5 +10x+10x +5x2+ ），展开式中 x2 项的系数是：5+10=15故答案为：15【点评】本题
26、考查了二项式定理的应用问题，是基础题14已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒 N 颗黄豆，恰有 n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 【考点】模拟方法估计概率【分析】设阴影部分的面积为 S，则 ，即可得出结论【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为 S，则 ，S= 故答案为 【点评】本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题15抛物线 y2=4x 上一点 A 到它焦点 F 的距离为 4，则直线 AF 的斜率为 【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出 A，利用抛物线 y2=4x 上一点 A 到它焦点 F 的距离为 4，求出
27、 A 的横坐标，然后求解斜率【解答】解：由题可知焦点 F（1，0），准线为 x=1设点 A（x A，y A），抛物线 y2=4x 上一点 A 到它焦点 F 的距离为 4，点 A 到其准线的距离为 4，x A+1=4，x A=3，y A=2点 A（3， ），直线 AF 的斜率为 ，故答案为： 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力16在ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 所对应边，且 a，b，c 成等比数列，则 sinA（ + ）的取值范围是 （ ， ） 【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】设 a，b，c 分别为 a，aq，aq 2则有
28、化简 sinA（ + ）=q 即可【解答】解：ABC 中， A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a，b，c 成等比数列，sin 2B=sinAsinB设 a，b，c 分别为 a，aq，aq 2则有 sinA（ ）=sinA（ ）=sinA=sinA（ + ）的取值范围是：（ ， ）【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三角形三边的数量关系，属于中档题三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17（12 分）（2017 凉山州模拟） 2017 年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下
29、：观众对凉山分会场表演的看法非常好 好中国人且非四川（人数比例）四川人（非凉山）（人数比例）凉山人（人数比例）（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有 2 人认为“非常好” 的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取 9 人，在这 9 人中任意选取 3 人，认为“ 非常好 ”的人数记为 ，求 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设事件“ 恰好有 2 人认为“ 非常好” 为 A，利用互相独立与互斥事件的概率计算公式即可得出（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度
30、分层抽样，抽取 9 人，则其中认为“非常好”的人数为 6，认为 “好”的人数为 3在这 9 人中任意选取 3 人，认为“非常好”的人数记为 ，则 的可能取值为：0，1，2，3利用“ 超几何分布列”的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）设事件“恰好有 2 人认为“ 非常好 ”为 A，则 P（A）= + + = （2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取 9 人，则其中认为“非常好”的人数为 6，认为 “好”的人数为 3在这 9 人中任意选取 3 人，认为“非常好”的人数记为 ，则 的可能取值为：0，1，2，3P（=0）= = ，P （=1）= = ，P（=2）=
31、 = ，P （=3）= 的分布列为： 0 1 2 3PE（）=0 +1 +2 +3 =2【点评】本题考查了互相独立与互斥事件的概率计算公式、“超几何分布列” 的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）（2017 凉山州模拟）在 ABC 中，角 A，B ，C 所对边分别是a，b，c，若 sin（AB）= sinAcosB sinBcosA（1）求证：A=B； （2）若 A= ，a= ，求 ABC 的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）sin（AB） = sinAcosB sinBcosA，展开利用正弦定理可得：acosBbcosA= cosB
32、 cosA，化简即可证明（2）A=B，可得 b=a= c=2bcosA，可得 SABC = bcsinA=3sin =3sin，展开即可得出【解答】（1）证明：sin（A B）= sinAcosB sinBcosA，sinAcosBcosAsinB= sinAcosB sinBcosA，利用正弦定理可得：acosBbcosA= cosB cosA，化为：cosA=cosB，又 A， B（0，），A=B（2）解：A=B，b=a= c=2bcosA=2 cos ，S ABC = bcsinA= 2 cos sin=3sin =3sin =3 = 【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、三角形面积计算
33、公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12 分）（2017 凉山州模拟）如图，在三棱锥 CPAB 中，ABBC，PBBC，PA=PB=5 ，AB=6 ，BC=4 ，点 M 是 PC 的中点，点 N 在线段 AB 上，且 MNAB （1）求 AN 的长；（2）求锐二面角 PNCA 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征【分析】（1）如图，分别取 AB，AC 的中点 O， Q，连接 OP，OQ，以 O 为原点，以 OP 为 x 轴，以 OA 为 y 轴，以 OQ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 N（0，t，0）由 ，可得 =0，解得 t，即可得出 AN（2）设平面 MN
34、C 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，平面 ANC 的一个法向量为 =（1，0，0），利用 cos = 即可得出【解答】解：（1）如图，分别取 AB，AC 的中点 O，Q，连接 OP，OQ，以 O 为原点，以 OP 为 x 轴，以 OA 为 y 轴，以 OQ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则由题意知：A（0，3，0），B（0， 3，0），P（4，0，0）， C（0，3，4），M（2， ，2），N（0，t，0）= ， =（0，6，0） ， = =0，解得 t= ，AN=3 = （2）N ， = ， =（2，0，2），设平面 MNC 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，则
35、取 =（3，8，3），平面 ANC 的一个法向量为 =（1，0，0），cos = = = 锐二面角 PNCA 的余弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12 分）（2017 凉山州模拟）设椭圆 E： + =1（ab0）的左、右焦点 F1、F 2，其离心率 e= ，且点 F2 到直线 + =1 的距离为 （1）求椭圆 E 的方程；（2）设点 P（ x0，y 0）是椭圆 E 上的一点（x 01），过点 P 作圆（x+1）2+y2=1 的两条切线，切线与 y 轴交于 A、B 两点，求|AB|的取值范围【考点】直线
36、与椭圆的位置关系【分析】（1）设 F1（ c， 0），F 2（c ，0），依题意有 ，可得 c=1，a=2 ，b= ，（2）如图设圆的切线 PM 的方程为 y=k（x x0）+y 0，由圆心（ 1，0）到 PM的距离为 1，|y 0k（x 0+1）|= （x 02+2x0）k 22y0（x 0+1）k+y021=0，A（0，y 0kx0）设圆的切线 PN 的方程为 y=k1（x x0）+y 0，同理可得 B（ 0，y 0k1x0），依题意 k1，k 是方程（x 02+2x0）k 22y0（x 0+1）k+y 021=0 的两个实根，|AB| 2=x0（kk 1）2= = 由 ，得|AB|2=1
37、+ =1+ 【解答】解：（1）设 F1（ c，0），F 2（c ，0），依题意有 ， 又a 2=b2+c2，c=1，a=2，b= ，椭圆 E 的方程为： （2）如图设圆的切线 PM 的方程为 y=k（x x0）+y 0由圆心（1，0）到 PM 的距离为 1，|y0k（x 0+1）|= （x 02+2x0）k 22y0（x 0+1）k+y 021=0令 y=k（x x0）+y 0 中 x=0，y=y 0kx0A（0，y 0kx0）设圆的切线 PN 的方程为 y=k1（xx 0）+y 0同理可得 B（0，y 0k1x0）依题意 k1，k 是方程（x 02+2x0）k 22y0（x 0+1）k+y
38、021=0 的两个实根，k1+k= ，k 1k=|AB|2=x0（k k1） 2= = ，|AB| 2=1+ =1+1x 02，|AB| 2=1+ |AB|的取值范围为 【点评】本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题21（12 分）（2017 凉山州模拟）已知函数 f（x ）= ，其中m，n，kR （1）若 m=n=k=1，求 f（x）的单调区间；（2）若 n=k=1，且当 x0 时，f（x）1 总成立，求实数 m 的取值范围；（3）若 m0，n=0，k=1，若 f（x）存在两个极值点 x1、x 2，求证：f （x 1）+f （x 2） 【考点】利用导数研究函数的单
39、调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）若 m=n=k=1，求导数，利用导数的正负，求 f（x）的单调区间；（2）若 n=k=1，且当 x0 时，f（x）1 总成立，先确定 m0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数 m 的取值范围；（3）令 f（x）=0，x 1+x2=2，x 1x2= ，再结合基本不等式，即可证明结论【解答】（1）解：m=n=k=1，f（x）= ，0x1，f（x）0，x0 或 x1 时，f（x）0，函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（，0），（1，+）；（2）解：若 n=k=1，且当 x0 时，f（x）1 总成立，则 m0m=0， f（x）= ，f（x）
40、= 0，f（x） min=f（0）=1 ；m0，f （x）= ，0m ，f（x） min=f（0）=1；m ，f （x）在0， 上为减函数，在 ，+）上为增函数，f（x）minf（0）=1 不成立综上所述，0m ；（3）证明：f（x）= ，f（x）= f（x ）存在两个极值点 x1，x 2，4m 24m0， m 1令 f（ x）=0，x 1+x2=2，x 1x2= ，注意到 （ i=1，2），f（x 1）= ，f （x 2）= ，f（x 1）+f （ x2）= = （ ） = = ； （ ） ， f （x 1）+f （x 2） 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值，考查不
41、等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于压轴题请考生在 22、23 两题选一题作答选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）（2017 凉山州模拟）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），在以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 =2（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若点 Q 是曲线 C 上的动点，求点 Q 到直线 l 的距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）由于点 Q 是曲线
42、 C 上的点，则可设点 Q 的坐标为（2cos，2sin），点Q 到直线 l 的距离为 d= 利用三角函数的单调性值域即可得出【解答】解：（1）由直线 l 的参数方程为 （t 为参数），可直线 l 的普通方程为 x+y4=0由 =2，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4（2）由于点 Q 是曲线 C 上的点，则可设点 Q 的坐标为（2cos，2sin），点 Q 到直线 l 的距离为 d= 当 sin（ +45）=1 时，点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 3 【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程及其应用、三角函数的和差公式及其单调性、点到直线的距离公式，考查了
43、推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23（2017 凉山州模拟）设函数 f（x）= |2x+2|x2|（）求不等式 f（x）2 的解集；（）若xR ，f （x）t 2 t 恒成立，求实数 t 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）根据函数 f（x）= ，分类讨论，求得 f（x）2的解集（）由 f（x）的解析式求得 f（x）的最小值为 f（1）= 3，再根据 f（1）t 2 ，求得实数 t 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x）=|2x+2|x2|= ，当 x1 时，不等式即x42，求得 x 6，x6当1x2 时，不等式即 3x2，求得 x ， x2当 x2 时，不等式即 x+42，求得 x2，x 2综上所述，不等式的解集为x|x 或 x 6（）由以上可得 f（x）的最小值为 f（1）=3，若 xR，f（x）t 2 t 恒成立，只要3t 2 t，即 2t27t+60，求得 t2【点评】题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题
