1、第四章 三角形第二节 三角形及其性质,考点精讲,三角形及其性质,三角形及其 边角关系,三角形的分类,三角形边角关系,三角形中的重要线段,特殊三角形的性质与判定,等腰三角形,等边三角形,直角三角形,三角形 的分类,按边分,不等边三角形:三条边都不想等 ：有两条边相等 等边三角形：三条边都相等,按角分,锐角三角形：三个角都是锐角 ：有一个角为90 钝角三角形：有一个角是钝角,等腰三角形,直角三角形,角的关系,内角和等于 任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,三角形边角关系,三角形两边之和 第三边，两边之差 第三边，即a+bc，a-bc（a，b，c为三角形
2、的三边长）,大于,小于,180,等于,边的关系：,CD,90,等腰三角形,概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，即AB =AC,判定,性质,1.两底角相等，即B=C,2.两腰相等，即AB=AC,4.顶角的 ，底边上的高和底边的中 线互相重合(三线合一),3.它是轴对称图形，有一条对称轴，即AD,1.有两边相等的三角形是等腰三角形,2.有两角相等的三角形是等腰三角形,面积计算公式：S= ，其中a是底边长，h是底边上的高,11,角平分线,60,性质,判定,1.三边相等 2.三角相等,且每一个角都等于 3.是轴对称图形，有三条对称轴,1.三边都相等的三角形是等边三角形 2.三角都相等的三角形是等
3、边三角形 3.有一个角是60的 三角形,等腰,概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形，即AB=BC=CA,等边三角形,面积计算公式：S= ，a是三角形任意一边的长，h是任意边上的高,12,13,14,1.两锐角之和等于 , 即A+B= 2.斜边上的中线等于斜边的 3.30角所对的直角边等于斜边的一半 4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分 别为a，b，斜边为c,则有a2+b2=c2 5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30,一半,直角三角形的性质,90,15,16,17,90,直角三角形,面积计算公式：S = = ,其中a、b为两个直角边，c为斜边，h
4、是斜边上的高,1.有一个角为90的三角形是直角三角形 2.勾股定理逆定理：若a2+b2=c2,则以 a、b、c为边的三角形是直角三角形 3.一条边的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形 4.有两个角互余的三角形是直角三角形,判定,18,重难点突破,例1 在等腰ABC中，ACBC，D是边AB上一点，E是线段CD上一点，且AEDACB2BED. (1)如图，若BED45，点E是CD的中点，AD2，求线段BD的长度； (2)如图，若ACB90，求证：AE BE;,等腰三角形的相关证明及计算,一,(1)【思维教练】要求BD的长，由题知AD2，只需求得AB长即可，根据已知条件可得AECD，且E是C
5、D中点，即ACAD，又由ACBC即可得出AB的长,(3)如图，若ACB60，猜想AE与BE的数量关系，并证明你的结论,解：BED45，AEDACB 2BED， ACBAED90， AECD. E是CD的中点， AE垂直平分CD， ACAD2. ACBC， AB2AC2BC22AC28， AB2 ， BDABAD2 2.,(2)【思维教练】要证AE BE，可将两线段转换到一个三角形中，过点B作BFCD，交CD延长线于点F，由已知条件可以得到BFE是等腰直角三角形再由ACECBF可求得线段相等关系，即可得证,证明：如解图，过点B作BFCD，交CD延长线于点F. ACB90， ACBAED90， B
6、EF45， BFE是等腰直角三角形， EFBF.,BCFACE90，ACECAE90， BCFCAE. ACBC， ACECBF(AAS)， AECF，BFCE， CF2EF. CF24EF22BE2， AE22BE2， AE BE.,(3)【思维教练】要证AE与BE的数量关系，由已知条件可以得到ABC是等边三角形，再通过作辅助线使EFAE，得到AEF是等边三角形，从而由SAS得到CAEBAF，由AFBAEC120，得到EBF90，则在RtEBF中可得到EF与BE之间的数量关系，即得BE与AE的关系,CAEBAF， CAEBAF(SAS)， AFB AEC120， EFB60， EBF90，
7、EFcos30BE， AEcos30 BE， BE AE.,练习1 (2016怀化)等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 ( )A. 16 cm B. 17 cmC. 20 cm D. 16 cm或20 cm,C,【解析】当等腰三角形的腰为4 cm时，448，两边之和等于第三边，不能构成三角形，故此种情况不符合题意；当等腰三角形的腰为8 cm时，848，848，能构成三角形，符合题意，三角形的周长为88420 cm.,练习2 (2016遵义)如图，在ABC中，ABBC，ABC110.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则ABD 度【解析】ABBC，ABC110，AC
8、35，DE垂直平分AB，DADB，AABD35.,35,例 2 (2016沈阳)如图，在RtABC中，C90，B30，AB8，则BC的长是( ) A. B. C. D.4,D,二,二,二,二,直角三角形的相关证明及计算,【解析】在RtABC中，AB8，B30，AC AB4，由勾股定理得，BC 4 .,二,二,二,练习3 (2016东营)在ABC中，AB10，AC ，BC边上的高AD6，则另一边BC等于 ( ) A10 B8 C6或10 D8或10,C,例 3 (2016重庆巴蜀中学期末考试)如图所示，在RtABC中，C90，点D是线段CA延长线上一点，且ADAB.点F是线段AB上一点，连接DF
9、，以DF为斜边作等腰RtDFE，连接EA，EA满足条件EAAB. (1)若AEF20，ADE50，AC2，求AB的长度； (2)求证：AEAFBC.,(1)【思维教练】在RtABC中，已知AC的值，要求AB的值，由题知AEF20，可想到需求出BAC的值即可又EAAB，只需求DAE即可根据已知条件即可求解 解：如解图，在RtDEF中，DEF90， 120， 2DEF170， EDA23180， 360，,EAAB， EAB90， 3EAB4180， 430， C90， cos4 ， AB .,(2)【思维教练】由图知AE、AF、BC在两个三角形中，要想证AEAFBC，需将三条线段转换到一个三角形
10、中且已知BC、AF均在直角三角形中，想到作辅助线，即过点D作DMAE于点M，然后通过运用全等三角形的判定及性质证明即可 证明：如解图，过D作DMAE于点M，在DEM中，2590， 2190， 15， DEFE，DMEEAF， 在DEM与EFA中，, DEMEFA(AAS)， AFME， 4B90，3EAB4180，EAB90， 3490， 3B， 在DAM与ABC中，,DAMABC(AAS)， BCAM， AEEMAMAFBC.,(1)解：DEBE，ABBE， DE / AB， ABCDEC， CDE为等腰直角三角形， DECEBF3，CD ， AB2，AC ， ADACCD .,(2)证明：如解图，连接EG、BG， 点G是等腰直角ABC斜边AC的中点， BGCG，ABGACB45， GBFGCE135， 在GBF和GCE中，GBFGCE(SAS)，,GEGF，BGFCGE，AFGBEG， BGFFGC90， CGEFGC90，即EGF90， EFG为等腰直角三角形， GFEGEF45， GEFBEGBEF， GEFAFGBEF， AFGBEFGFE.,
