1、清新区高三第二学期第一次模拟考试数学（理）试题第卷1、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线 l1：2 x( m1) y40 与直线 l2： mx3 y20 平行，则 m的值为( )A2 B3C2 或3 D2 或32若 p是真命题， q是假命题，则( )A p q是真命题 B p q是假命题 C p是真命题 D q是真命题3从装有除颜色外完全相同的 2个红球和 2个白球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有 1个白球，都是白球 B至少有 1个白球，至少有 1个红球C恰有 1个白球，恰有 2个白
2、球 D至少有 1个白球，都是红球4如左下图，给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内可填入的12 14 16 12 016是( )A i2 021? B i2 019? C i2 017? D i2 015?（第 4题图） （第 5题图） （第 6题图）5对某商店一个月（30 天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A46,45,56B46,45,53 C47,45,56D45,47,536一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如右上图，则该几何体的体积为( )A 32 B 31C 24 D 3147.设随
3、机变量 B（2，p） ，B（3，p） ，若 5()9P，则 P（2）的值为（ ）A 207B 8 C 72 D 18某企业有 4个分厂，现有新培训的 6名技术人员，将这 6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1人，则不同的分配方案种数为（ ）A1080 B480C1560 D3009设 F1，F 2分别为椭圆 的左右两个焦点，点 P为椭圆上任意一点，则使得成立的 P点的个数为（ ）A0 B1 C2 D310一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐 18吨；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1吨，硝酸盐 15吨现库存磷酸盐 10吨，硝
4、酸盐 66吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产 1车皮甲种肥料产生的利润为 12 000元，生产 1车皮乙种肥料产生的利润为 7 000元，那么可产生的最大利润是( )A29 000 元 B31 000 元 C38 000 元 D45 000 元11某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价(元) 4 5 6 7 8 9销量(件) 90 84 83 80 75 68由表中数据，求得线性回归方程 y4 x a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为( )A B C D16 13 12 2312已知 f（ x）= x2+bx，
5、则“ b0”是“ f（ f（ x） ）的最小值与 f（ x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第卷2、填空题：（本大题共 4小题 ，每小题 5分，满分 20分）13设数列 是首项为 1的等差数列，前 项和 ， ，则公差为nannS52014若 ， 满足不等式 则 的取值范围是xy2,60,xyzxy15设正三棱柱 中， ， ，则该正三棱柱外接球的表面ABC2A3B积是16函数 ， 的定义域都是 ，直线 （ ） ，与 ，()fxgD0xD()yfx的图象分别交于 ， 两点，若 的值是不等于 的常数，则称曲线yAB|A， 为“平行曲线
6、”，设 （ ， ） ，且()fx()()lnxfeac0c， 为区间 的“平行曲线” ， ， 在区间 上的yg(0,)(1)g()x(2,3)零点唯一，则 的取值范围是a3、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23 两题是选修题。 ）17已知向量 ，向量 ，函数 .1,sinxm21,cos3xnmnxf)(（I）求 单调递减区间；f（II）已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ，且cba,ABC,A4,32ca恰是 在 上的最大值，求 和 的面积 .Afxf2,0b,BCS18甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的
7、5道题.规定每次考试都从备选的 10道题中随机抽出 3道题进行测试，53答对一题加 10分，答错一题（不答视为答错）减 5分，至少得 15分才能入选.（I）求乙得分的分布列和数学期望；（II）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.19一个多面体的直观图及三视图如图所示， 分别是 的中点.NM,1CAB、（I）求证： 平面 ；/,1MNAB1BC（II）求二面角 的余弦值.20已知定点 和直线 上的动点 ，线段 的垂直平分线交直线0,1M1xtN,1M于点 ，设点 的轨迹为曲线 .tyRE（I）求曲线 的方程；E（II）直线 交 轴于点 ，交曲线 于不同的两点 ，点 关于 轴)0(kbxxCBA,
8、x的对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，求证： 三点共线.PCyQP,21已知函数 .)0(3lnaRaxxf 且（I）求函数 的单调区间；（II）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问： 在什么范围xfy)2,(f 45m取值时，对于任意的 ，函数 在区间 上总存在极值？2,1t xfmxg3 3,t（III）当 时，设函数 ，若在区间 上至少存在一个2a32)(xepxhe,1，使得 成立，试求实数 的取值范围.0x00fh22在平面直角坐标系中，圆 的方程为 （ 为参数） ，以坐标原点Csin21coy为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线O
9、x的极坐标方程为 .l )(sincoRm（I）当 时，判断直线 与 的关系；3mlC（II）当 上有且只有一点到直线 的距离等于 时，求 上到直线 距离为 的点C2Cl2的坐标.23设函数 .Rxaxf,25（I）求证：当 时，不等式 成立；1a1lnf（II）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值.xaxfa答案：一、1-6：CDC CAA 7-12： DCCCCA二、13. 14. 15. 16. .32,2023,lne三17.（I） ；（II） ， ， .)(65,3Zkk3A2b3S【解析】试题分析：（I）根据已知向量 的坐标表示出 ，,mnur 3(sincos,)2xu
10、r再根据数量积的坐标运算可以得到 ，然后根据二倍角21si1ico2fx公式化简整理得到正弦型函数 ，令()6，解出 的范围即为函数的递减区间；（II）当3226kxkZx时， ，所以 ，因此0,x5,6ma3f，此时 ，根据余弦定理可以求出 ，再sin()1fA,2Ab根据 可得面积.12Sbc试题解析：（I） 21cosin31sin)(2xxmxfi312sin312cos )6i(3分由 得)(26Zkxk )(53Zkx所以 的单调递减区间为 5分f )(65,3k（II）由（I）知 ： 时，2)sin(Af ,0x6526x由正弦函数图象可知，当 时 取得最大值 3. 62xf7分
11、所以 8分3,62A由余弦定理， 得Abcaos22 214612bb10分b. 12分360sin41sin2AcS18.（1）分布列见解析，数学期望 ；（2） .15EX03【解析】试题分析：（I）根据题意分析可知，乙可能答对的题数为 ，则相应得分0,123分别为 ，乙的得分情况服从超几何分布 ，15,03 5310CXP， ， ，于是可以23105CXP1215305CXP23105得到乙得分的分布列和数学期望；（II）甲至少得 分的概率为，乙至少得 分的概率为 ，所以甲、乙两人中至少231385125 52P有一人入选的概率为 .1032P试题解析：（I）设乙答题所得分数为 ，则 的可
12、能取值为-15,0,15,30 X1分； ；12530CXP125030CP； . 13105 123035CXP4分乙得分的分布列如下：5分PX12503. 6分215301520)( E（II）由已知甲、乙至少答对 2题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .AB则 ， 8分1258)3(5)(23CAP. 10分1B故甲乙两人至少有一人入选的概率. 12分125034)(AP19.（I）证明见解析；（II） .7【解析】试题分析：（I）由直观图及三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，因此 两两垂直，故以 为原点， 所在直线分别为 轴，1,CBAC1,CBAx轴， 轴，建立
13、空间直角坐标系，写出各点坐标，证明 即可；（II）求平yz 0MNurg面 的法向量 ，平面 的法向量 ，然后计算出 的值，通过观察11nur12nr12cos,n图形确定二面角 的余弦值与 关系即可.CBA1cos,试题解析：（I）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中， ，且ABC平 面11分43,1C，因此 两两垂直，故以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，1BAC1,CBAxy轴，建立空间直角坐标系， 2 分z则由已知可得： ，4,0,3,40,03, 111A故 ，)42(),3(NM3分10,(,)Burur即 4分1A即 ,/NC而 平面 ， 平面 ，M1B11BC平面 .
14、6分/（II）解：设 是平面 的一个法向量，则,nxyzr1A， ， ，10nABCru3,40rQ13,04ACur，1xynzr令 ，可得 ，4x3，2 分,r由已知可得 平面 ，ACur1B是平面 的一个法向量，10 分3,0r设二面角 的平面角为 ，则有： ，112034cos 173nACru所求二面角的余弦值是 .12分234720.（I） ；（II）证明见解析.24yx【解析】试题分析：（I）根据题意分析可知，动点 到定点 的距离与到定直线R1,0M的距离相等，因此动点 的轨迹是以 为焦点，以直线 为准线的抛物1xR1,0x线，轨迹方程 ；（II）联立直线方程与抛物线方程 ，消去
15、 得：2:4Eyx24ykby，设 ， ，则 ，220kxb1,Ay2,Bxy12x，点 ，由 知 ，则 ，若212,Pxy)0(kb(,)bCk(,0)Qk三点共线，则应有 ，即验证 即可.QA, APQkAPQ试题解析：（I）由题意可知： ，即点 到直线 和点 的距离相等，根RMN1xM据抛物线的定义可知： 的轨迹为抛物线，其中 为焦点. 3分设 的轨迹方程为：R2,1,2pxy所以 的轨迹方程为： . 5分Rxy42（II）由条件可知 ，则 . 6分)0,(kbC),(kQ联立 ，消去 得 ，xyk42y0422bxx. 7分0)1(6)(2bkb设 ，则,221xyBxA2,yP,4,
16、42121 kk 9分.22bx因为 10分1122(),81APykxbkk bkkbkxbykAQ 122)1()(01111分所以 三点共线. 12 分PkAQP,21.（I）当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，当 时，0axf1,0,10a函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；（II） ；（III）xf,1 937m.24,1ep【解析】试题分析：（I） ，当 时，由 得1()afxx0a0fx，由 得 ，当 时，由 得 ，由 得0x0fx10f1；（II）由题 ，即 ， ，此时 ，12f1a22fx，则 ，若在区间 上存在极值，3()mgxx23(4)gxmx3,t则应
17、有 ，又 为开口向上的抛物线，且 ，所以应有30gtgx 0g，于是可以求出 的取值范围；（III） 时， ，令m2a2ln3fxx，则xfhxF，然后分 ，xexpxep ln232ln32)( 0p进行讨论，即可以求出 的取值范围.0p试题解析：（I）由 知 1分laxxf xaf)1(当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ， a,0, 2分当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ， 0xf,11,03分（II）由 ， ，212af xfxxf 2,32ln故 ，mxfmxg)(233 ， 5 分2)4(2在区间 上总存在极值，gxQ函 数 3,t有两个不等实根且至少有一个在
18、区间 内0 3,t又 是开口向上的二次函数，且 ，x函 数 02g03gt由 ，解得 ， 6 分023)4(27m37m由 ，tt在 上单调递减，所以 ，HtQ,191minHt， 7 分9综上可得， ，937m所以当 在 内取值时，对于任意的 ，函数),( 2,1t在区间 上总存在极值.xfxg23 3,t（III） ，令 ，则,ln2afQxfhxF， epxxepxF ln233)( 9分 当 时，由 得 ，从而 ，0e,10ln2,0xexp0xF所以，在 上不存在 使得 ； e,0fh10分 当 时， ，0p2,1,20pxeFxexQ在 上恒成立，,2xe,1故 在 上单调递增.e
19、1，4maxepF故只要 ，解得 ，0ep12综上所述： 的取值范围是 . 12分,2e22.（I）当 时，直线 与 相交；（II） 和 .3mlC2,0,【解析】试题分析：（I）当 时，直线 的极坐标方程为 ，根据3lcosin3极坐标与直角坐标互化公式得 ，圆 的直角坐标方程为 ，xy221xy圆心到直线 的距离 所以直线 与圆 相交；（II）分析可知，若l12drlC圆 上只有一点到直线 的距离为 ，则直线与圆位置关系为相离，且圆心到直线距离Cl为 ，则问题转化为过圆心 且与 平行的直线与圆 的交点解方程组即可21,xym求出点的坐标.试题解析：（I）圆 的普通方程为： ， C212yx
20、1分直线 的直角坐标方程为： ， l 03y2分圆心（1,1）到直线 的距离为 ， 4分l 212d所以直线 与 相交. 5分lC（II） 上有且只有一点到直线 的距离等于 ，即圆心到直线 的距离为 ， l2l2 7分过圆心与 平行的直线方程式为： ， 8l 0yx分联立方程组 解得 9分2)1()(02yx20yx故所求点为（2,0）和（0,2） 10 分23.（I）证明见解析；（II） .54【解析】试题分析：（I）当 时， ，将函数转化为分段函数12a512fxx，根据函数图象或函数单调性可以得到函数 满足215322xfx fx，所以 ，所以 成立；（II）关于 的不等式 在3flnl3f1fxxaxf上恒成立等价于 ，根据绝对值三角不等式可知 ，所Rminafx5522以 ，即 ，解得 ，所以 的最大值为 .min52fxa52a4a54试题解析：（I）证明：由 2521322125xxxxf 2分得函数 的最小值为 3，从而 ，所以 成立. xf exf31lnxf5分（II）由绝对值的性质得 ， 25)(25(25axaxxf7分所以 最小值为 ，从而 ， 8分xfa25a解得 ， 9 分4a因此 的最大值为 . 10分5
