1、专题 26 相对相称对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多
2、项式 ， 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.ba2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例 l】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N分别是边 AB， BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 . (荆门市中考试题) 解题思路：作 M 关于 AC 的对称点 ，连 MN 交 AC 于点 P，则 PM+PN 的值最小.NMB
3、CADP【例 2】已知 ， 均为正数，且 ，求 W= 的最小值.ab2ba1422ba（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， 的几何意义是以 a，b 为边的直角三角形2的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出 W 的最小值.【例 3】已知 ，求证： （四川省竞赛试题）1122aba 12ba解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证【例 4】 如图，凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，且 ACBD，已知OAOC，OB OD，求证：BCADAB CD
4、 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折OD BCA【例 5】如图，矩形 ABCD 中，AB20 厘米，BC10 厘米，若在 AC、AB 上各取一点 M，N，使BMMN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题） 解题思路：要使 BMMN 的值最小，应该设法将折线 BMMN 拉直，不妨从作出 B 点关于 AC 的对称点入手.CDA BMN能力训练1.如图，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴 . 若AFCBCF ，则015AFE BCD 的大小是 . (武汉市中
5、考试题)DEFABCDAB CE ABOP(第 1 题图) （第 2 题图） （第 3 题图）2.如图，矩形纸片 ABCD 中，AB2，点 E 在 BC 上，且 AEEC，若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 AC 上，则 AC 的长是 .(济南市中考试题)3. 如图， AOB ，P 是AOB 内一点，PO 10，Q，P 分别是 OA、OB 上的动点，则PQR 周045长最小值是 .4. 比 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）6)(5.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 BE2，P 在 BD 上，则 PEPC 的最小值为（ ）.A B C D32
6、114156. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) . A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(南京市中考试题 )7.如图，一个牧童在小河南 4 英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西 8 英里北 7 英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）.A 英里 B16 英里 C17 英里 D18 英里)1854(（美国中学生竞赛试题） B CA DPEMCAB P (第 5 题图) （第 7 题图） （第 8 题图）8.如图，等边ABC 的边长为 2，M 为 AB 中点，P 为 BC 上的点，设 PAPM 的最大值和最小值分别为 S
7、 和 L，则 等于（ ）2A B C D4342339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知 = ，求c06与 的值. （江苏省竞赛试题） edx10 xeba ffdc10. 求代数式 的最小值.9)12(42xx（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸 同侧有 两个村庄， 到 的距离分别是 3km 和lAB， AB， l2km， 现计划在河岸 上建一抽水站 ，用输水管向两个村庄供水kmABa(1)P方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 ，1d且 （其中 于点 ） ；图 2 是方案二的示意图，
8、设该方案中管道长度为 ，1(k)dPBABPl 2且 （其中点 与点 关于 对称， 与 交于点 ） 2mAlABlP观察计算（1）在方案一中， km（用含 的式子表示） ；1da（2）在方案二中，组长小宇为了计算 的长，作了如图 13-3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路2d计算， km（用含 的式子表示） 2探索归纳（1） 当 时，比较大小： （填“” 、 “”或“” ） ；4a12_d 当 时，比较大小： （填“” 、 “”或“” ） ；6（2）对 （当 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方1案二？ ABPl lABPC图 1图 2lABPC图 3K(河
9、北省中考试题)12如图，已知平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为 A（2，3） ，B（4，1）（1）若 P（ ，0）是 轴上的一个动点，当PAB 的周长最短时，求 的值；x x（2）若 C（ ，0） ，D（ ，0）是 轴上的两个动点，当四边形 ABDC 的周长最短时，求 a 的值；a3x（3）设 M，N 分别为 轴和 y 轴上的动点，问：是否存在这样的点 M（ ，0） 、N（0， ） ，使四边x mn形 ABMN 的周长最短？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由mnxyO BA13.在ABC 中，BAC45 ，AD BC 于 D，将ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在
10、点 E 处；将ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、FC 使其交于点 M（1）判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明；（2）若 BD1，CD2，试求四边形 AEMF 的面积CB DA(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形 ABCD 中，AD8cm ，AB6cm，现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从 A 点出发，沿着 AB 边夹角为 45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为 45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为 45
11、的方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为45的方向作直线运动如图 1 所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3P 2E，P 1AP 1E请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 次，P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是 cm(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 ADAB，动点 P 从 A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB：AD 的值为
