1、第 48 练 整体策略与换元法题型分析 高考展望 整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部) 看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一 整体策略例 1 (1)计算(1 )( )12 13 14 12 014 12 13 14 15 12 015(1 )( )；12 13 14 15 12 014 12 015 12 13 14 12 014(2)解方程(x 25x1
2、)( x25x7)7.解 (1)设 t，12 13 14 12 014则原式(1t)(t )(1t )t12 015 12 015t t 2 ttt 2 t .12 015 12 015 12 015 12 015(2)设 x25xt，则原方程化为(t1)(t 7) 7，t 28t0，解得 t0 或 t 8，当 t0 时，x 25x 0，x( x5)0，x 10， x25；当 t8 时，x 25x 8，x 25x80，b 2 4ac254181)，则问题转 化为函数 f(m)m 2mt t 1 在区间(1 ， ) 上的图象恒在 x 轴上方，即 t 24( t1)0，设 OA：ykx，k0，与椭
3、圆 1 联立解得 x ，x225 y29 159 25k2又 x AxPk 2xAxP48，OA OP 解得 xP ，481 k2xA 165 9 25k21 k2 165 9 25k21 k22令 925k 2t9，即 k2 ，t 925则 xP 25165 tt 16252 165 tt2 162 32t80 80 10，1t 162t 32 164当且仅当 t16，即 k2 时取等号，725所以点 P 的横坐标的最大值为 10.(3)已知函数 f(x)axln(1x 2).当 a 时，求函数 f(x)在(0，) 上的极值；45证明：当 x0 时，ln(1x 2)g(0)0，ln(1x 2
4、)1)，则 f(x)的最小值为_.1x 1答案 22 2解析 f(x) 2( x1) 2，1x 1令 x1t，则 f(t) 2t2( t0)，1tf(t)2 222 .1t 2t 2当且仅当 2t 时等号成立，1t故 f(x)的最小值为 22 ，2当且仅当 2( x1)，1x 1即 x 1 时 等号成立.22(2)已知在数列a n中，a 11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S a n .2n (Sn 12)求 Sn的表达式；设 bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，证明 Tnax 的解集是(4，b) ，则 a_，b_.x32答案 3618解析 令 t，则 tat2 ，x32即 a
5、t2t 1)，则 f(x)的值域是_.答案 (，log a4解析 设 x21t( t1)，f(t)log a (t1) 24，值域为(，log a4.7.已知 mR，函数 f(x)Error!g(x)x 22x2m 1，若函数 yf(g( x)m 有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是_.答案 (0， )35解析 函数 f(x)Error!的图象如图所示，令 g(x)t，y f(t)与 ym 的图象最多有 3 个交点，当有 3 个交点时，02m2， m 12又 0m3，联立得 0m .358.已知实数 x，y 满足方程 x2 y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 x2y
6、2 的最大值和最小值解 方程 x2y 24x 10 变 形为( x2) 2y 23，表示的图形是圆.(1)设 x2 cos ，3则 y sin ，故 x2 cos ，3 3y sin ，则 yx sin cos 23 3 3 sin( )2，64当 2k (kZ)时，yx 有最小值 2，4 2 6当 2k (kZ)时，yx 有最大值 2.4 2 6(2)由(1)知 x2 y2(2 cos )2( sin )274 cos .3 3 3当 2k(kZ)时，x 2y 2 有最大值 74 ，3当 2k(k Z)时，x2y 2 有最小值 74 .39.平面内动点 P 与两定点 A(2，0) ，B (2
7、，0)连线的斜率之积等于 ，若点 P 的轨迹为曲14线 E，直线 l 过点 Q( ，0)交曲线 E 于 M，N 两点.65(1)求曲线 E 的方程，并证明：MAN 是一定值；(2)若四边形 AMBN 的面积为 S，求 S 的最大值.解 (1)设动点 P 坐标为(x ，y)，当 x2 时，由条件得： ，yx 2 yx 2 14化简得 y 21(x 2)，x24曲线 E 的方程为 y 21(x 2)，x24由题意可设直线 l 的方程为 xky ，65联立方程组可得Error!化简得(k 24)y 2 ky 0，125 6425设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2 ，y1y 2 .6
8、425k2 4 12k5k2 4又 A(2，0) ，则 ( x12，y 1)(x22， y2)( k21) y1y2 k(y1y 2) 0，AM AN 45 1625所以MAN90，所以MAN 的大小为定值.(2)S |AB|y1y 2| |22|12 12 y1 y22 4y1y22 ，12k5k2 42 46425k2 4 8525k2 64k2 42令 k24t(t4)，k 2t4，S .85 25t 36t2设 f(t) ，25t 36t2f(t) ，25t2 2t25t 36t4 25t 72t3t4，f(t)0，yf(t) 在4，)上单调递减.f(t)f(4) 4，100 3616由 t4，得 k0，此时 S 有最大 值 .165
