1、专题 04 和差化积-因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法2待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入
2、所设问题的结构中去，得出需求问题的解例题与求解【例 l】 因式分解后的结果是（ ） xyzyzxzyx2222 A BzC Dzxyz xyz（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口【例 2】分解因式：（1） ；bcacba5432（“希望杯”邀请赛试题）（2） zyxzyxz223 （天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解【例 3】分解因式 1)2()12( 223 axaxx（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因 的最
3、高次数低于 的最高次数，故将原式整理成字母 的二次三项式axa【例 4】 为何值时，多项式 有一个因式是k kyxyx10822 ?2yx（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手【例 5】把多项式 写成一个多项式的完全平方式.12543xx（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是 ，因此二次三项式的一般形式为 ，求出4x bax2即可ba、【例 6】如果多项式 能分解成两个一次因式 ， 的乘积（ 为15)(2ax )(bx)(ccb,整数） ，则 的值应为多少？a（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于 的方程
4、组，通过消元、分解因式解不定方程，求出acb,的值acb,能力训练A 级1分解因式： _2249cba（“希望杯”邀请赛试题）2分解因式： _22635yxy（河南省竞赛试题）3分解因式： _)()(22 yxyx（重庆市竞赛试题）4多项式 的最小值为_7862yx（江苏省竞赛试题）5把多项式 分解因式的结果是（ ）22yxyxA B)(4()8)(1(yxC Dyx6已知 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数 的个数是（ 122a a） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个7若 被 除后余 3，则 的值为（ ） 2kxkA2 B4 C9 D10（“CASIO 杯”选拔赛试题
5、）8若 ， ，则 的值是（ ） 51ba3ba53122baA B C D09224（大连市“育英杯”竞赛试题）9分解因式：（1） ；acba22（吉林省竞赛试题）（2） ；)(4)(2cc（昆明市竞赛试题）（3） ；axx2)(2（天津市竞赛试题）（4） ；126722yxxy（四川省联赛试题）（5） 2)1()2()3()1( yxyxyxy（天津市竞赛试题）10如果 能够分割成两个多项式 和 的乘积（ 为整数） ，那么 应为多1)4(xabxccb、 a少？（兰州市竞赛试题）11已知代数式 能分解为关于 的一次式乘积，求 的值24322byxyx yx, b（浙江省竞赛试题）B 级1若
6、有一个因式是 ，则 _ kx323 1xk（“希望杯”邀请赛试题）2设 可分解为一次与二次因式的乘积，则 _ykxx423 k（“五羊杯”竞赛试题）3已知 是 的一个因式，则 _yx32ymxm（“祖冲之杯”邀请赛试题）4多项式 的一个因式是 ，则 的值为_6522yxbayx 2yxba（北京市竞赛试题）5若 有两个因式 和 ，则 （ ） 823x1xA8 B7 C 15 D21 E22（美国犹他州竞赛试题）6多项式 的最小值为（ ） 2514522xyxA4 B5 C16 D25（“五羊杯”竞赛试题）7若 （ 为实数） ，则 M 的值一定是（ ） 136498322yxxyMx,A正数 B
7、负数 C零 D整数 (“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8设 满足 ，则 （ ）nm, 01622mn),(nA （2，2）或（2，2 ） B （2，2）或（2，2） C （2，2）或（2，2） D （2，2）或（2，2） （“希望杯”邀请赛试题）9 为何值时，多项式 能分解成两个一次因式的积？k 5322yxkyx（天津市竞赛试题）10证明恒等式： 2244 )()(baba（北京市竞赛试题）11已知整数 ，使等式 对任意的 均成立，求 的cba, )1()10()( xxcbax xc值（山东省竞赛试题）12证明：对任何整数 ，下列的值都不会等于 33yx,5432345 1215yyx（莫斯科市奥林匹克试题）
