1、第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系,1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理.,知识梳理自测,考点专项突破,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.分别在两个平面内的直线就是异面直线吗? 提示:不是.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,指的是找不出一个平面同时经过这两条直线,分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交. 2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些? 提示:直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内. 平面与平面的位置关系有平行、相交.,知识梳理,1.平面的基本性质及相关公(定)理,mn,相等或互补,2.空间中点、线
2、、面之间的位置关系,3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);,锐角(或直角),(2)范围: .,【重要结论】 经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线.,双基自测,1.在下列命题中,不是公理的是( ) (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,A,2.若AOB=
3、A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) (A)OBO1B1且方向相同 (B)OBO1B1 (C)OB与O1B1不平行 (D)OB与O1B1不一定平行,D,解析:两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定平行,故选D.,3.(2016江西七校联考)已知直线a和平面,=l,a,a,且a在,内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( ) (A)相交或平行 (B)相交或异面 (C)平行或异面 (D)相交、平行或异面,解析:依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.选D.,D,4.导学号 38486136如图是正方体的平面展开图,则在这
4、个正方体中: BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60角 DM与BN是异面直线 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) (A) (B) (C) (D),解析:由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示: 由正方体的几何特征可得: BM与ED是异面直线;CN与BE是平行线;ANBM,所以CN与BM所成的角就是ANC=60,正确;DM与BN是异面直线,正确; 所以正确命题的序号是.故选C.,C,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,平面的基本性质及应用,【例1】 导学号 18702351 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求
5、证: (1)E,C,D1,F四点共面;,证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B. 因为E,F分别是AB,AA1的中点, 所以EFA1B. 又A1BCD1, 所以EFCD1, 所以E,C,D1,F四点共面.,(2)CE,D1F,DA三线共点.,证明:(2)因为EFCD1,EFCD1, 所以CE与D1F必相交,设交点为P, 则由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1=DA, 所以P直线DA. 所以CE,D1F,DA三线共点.,反思归纳 (1)点线共面问题的思路与方法 先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内. (2)多线共点问题
6、的思路与方法 先证其中两条直线交于一点; 再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.,(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,(2)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号),解析:(2)在图中,直线GHMN; 在图中,G,H,N三点共面,但M面GHN,NGH,因此直线GH与MN异面; 在图中,连接GM,GMHN,因此GH与MN共面; 在图中,G,M,N共面,但H面GMN,GMN, 因此GH与MN异面,所以在图中G
7、H与MN异面.,答案:(2),考点二,空间两直线的位置关系,反思归纳 (1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决. (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模型来解决问题.,跟踪训练2:如图,在正方体ABCD=A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )(A)MN与CC1垂直 (B)MN与AC垂直 (C)MN与BD平行 (D)MN与A1B1平行,解析:
8、如图,连接C1D, 在C1DB中,MNBD,故C正确; 因为CC1平面ABCD,BD平面ABCD, 所以CC1BD, 所以MNCC1,故A正确; 因为ACBD,MNBD, 所以MNAC,故B正确; 因为A1B1与BD异面,MNBD, 所以MN与A1B1不可能平行,故选项D错误.故选D.,考点三,异面直线所成的角,【例3】 (2016全国卷)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ),反思归纳 探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为“一作,二证,三求”,通过平行线或补形平移法把异面直线
9、转化为相交直线进而求其夹角,其中空间选点任意但要灵活,如常选择“端点,中点,等分点”,通过三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题.,备选例题,【例1】 (2016金丽衢十二校模拟)已知a,b,c为三条不同的直线,且a平面,b平面,=c. 若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交; 若a不垂直于c,则a与b一定不垂直; 若ab,则必有ac; 若ab,ac,则必有. 其中正确的命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:中若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,故正确;中平
10、面平面时,若bc,则b平面,此时不论a,c是否垂直,均有ab,故错误;中当ab时,则a平面,由线面平行的性质定理可得ac,故正确;中若bc,则ab,ac时,a与平面不一定垂直,此时平面与平面也不一定垂直,故错误,所以正确命题的个数是2.故选C.,【例2】 如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为 对.,解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,由正方体表面展开图得正方体直观图如图,则AB,CD,EF和GH可组成六对直线,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对. 答案:3,(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.,
