1、第3节 等比数列,1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.,3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的 关系.,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,易混易错辨析,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.如何推导等比数列的通项公式? 提示:可采用累积法推导. 2.b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件? 提示:必要而不充分条件,因为b2=ac时,不一定有a,b,c成等比数列(如a=0,b=0,c=1),而a,b,c成等比数列,则必有b2=ac. 3.如何推导等比数列的前n项和公式? 提示:
2、可用错位相减法推导.,知识梳理,1.等比数列的相关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q(q0)表示.符号表示为 ,q为常数.,同一个,公比,ab,2.等比数列的通项公式 (1)设等比数列an的首项为a1,公比为q,q0,则它的通项公式an= . (2)通项公式的推广 an=am .,a1qn-1,qn-m,na1,(3)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk. (4)公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则
3、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.,5.等比数列的单调性 当q1,a10或01,a10时,an是递减数列; 当q=1时,an是常数列.,双基自测,1.下列说法正确的是( ) 等比数列中没有一项为0; 等差数列不可能是等比数列; 常数列是等比数列; 公比q1的等比数列是递增数列; 公比q0的等比数列是摆动数列. (A) (B) (C) (D),D,解析:正确;等差数列2,2,2,2,也是等比数列,故错误;常数列0,0,0,0,不是等比数列,故错误;等比数列-1,-2,-4,-2n的公比是21,但此数
4、列是递减数列,故错误;正确.故选D.,2.设an是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列an前7项的和为( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128,C,3.(2016安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和,若a2a4=16,S3=7,则a8等于( ) (A)32 (B)64 (C)128 (D)256,C,4.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= .,解析:因为a7a12=5,所以a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25. 答案:25,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,等比
5、数列的基本运算,答案:(1)-8,【例1】 (1)(2017全国卷)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,答案:(2)64,反思归纳等比数列基本运算的方法策略 (1)将条件用a1,q表示,在表示Sn时要注意判断q是否为1. (2)解方程(组)求出a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入. (3)利用a1,q研究结论.,跟踪训练1:(2017湖北武汉调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( ) (A) -2 (B) -1 (C)2 (D)1,考点二,等比数列的判定与证明,【例2】 (2016全国卷)已
6、知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;,反思归纳 等比数列的判定方法,(2)等比中项法:若数列an中,an0且=anan+2(nN*),则数列an是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列. (4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则数列an是等比数列. 如果判定某数列不是等比数列,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可.,跟踪训练2:已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn+1=2Sn+2n+1(nN*),且a1=1.
7、(1)求证an+2是等比数列;,(2)求Sn.,考点三,等比数列的性质及应用,【例3】 (1) 导学号 18702254 已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( ) (A)10 (B)20 (C)100 (D)200,解析:(1)a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=100.故选C.,(3)(2017四川自贡二诊)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的
8、比例为40%,今共有粮m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为( ) (A)20% 369 (B)80% 369 (C)40% 360 (D)60% 365,反思归纳 在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程(组)求解,但如果灵活运用等比数列的性质,可减少运算量,提高解题速度.,(2)(2016河北正定中学期末)等比数列an中,a1+a2=40,a3+a4=60,a7+a8等于( ) (A)135 (B)100 (C)95 (D)80,备选例题,(2)求log2a1+log2a2
9、+log2a3+log2a25的值.,【例2】 已知等比数列an的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列. (1)求数列an的通项公式;,解:(1)设数列an的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列, 所以6q2=q3+q4, 解得q=-3,或q=2. 由数列an的所有项均为正数,则q=2, 数列an的通项公式为an=2n-1(nN*).,(2)数列an+1-an的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(nN*),求实数的值.,【例3】 (2017山西大同质检)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,S6=22. (1)求Sn,并求Sn的最小值;,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,等比数列问题中忽视分类讨论思想致误 【典例】 数列an中,a1=1,a2=2,数列anan+1是公比为q(q0)的等比数列. (1)求使anan+1+an+1an+2an+2an+3成立的q的取值范围; (2)求数列an的前2n项的和S2n.,易错分析:(1)对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况,造成概念性错误. (2)没有从定义出发研究条件数列anan+1是公比为q(q0)的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口.使思维受阻.,
