1、1第 3节 椭 圆【选题明细表】知识点、方法 题号椭圆的定义与标准方程 1,3,6,7,10椭圆的几何性质 2,4,5,8椭圆定义、标准方程及几何性质的综合应用 9,11,12,13,14基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017泉州质检)已知椭圆 + =1的长轴在 x轴上,焦距为 4,则 m等于( A )(A)8 (B)7 (C)6 (D)5解析:因为椭圆 + =1的长轴在 x轴上,所以 解得 6b0),由球筒的轴截面图形得椭圆的长轴长为 AD=AC+CD=AF+EA=EF=20-4,短轴长为球筒的直径 4,所以解得 a=8,b=2,所以 c= =2 ,所以该椭圆的离心率为 e= = .故选
2、 B.5.若点 O和点 F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点 P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为( C )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8解析:由椭圆 + =1,可得点 F(-1,0),点 O(0,0),设 P(x,y),-2x2,则 =(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1- )=x2+x+3= (x+2)2+2,当且仅当 x=2时, 取得最大值 6.故选 C.6.(2017宁夏中卫市二模)椭圆 C: + =1(ab0)上的任意一点 M到两个焦点的距离和是4,椭圆的焦距是 2,则椭圆 C的标准方程是 . 3解析:椭圆 C: + =1(ab0)上的任意一点 M到
3、两个焦点的距离和是 4,焦距是 2,则有2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =17.(2017西安市一模)已知ABC 的顶点 A(-3,0)和顶点 B(3,0),顶点 C在椭圆 + =1上,则= . 解析:由椭圆 + =1知长轴长 2a=10,短轴长 2b=8,焦距 2c=6,则顶点 A,B为椭圆的两个焦点.如图ABC 中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦定理可知 = = =2R,所以 = ,即 = ,则 = =3.答案:3能力提升(时间:15 分钟)8.(2017怀化市四模)“神舟”五号飞船成功完成了第一次
4、载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想,某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地球在椭圆的一个焦点上,如图所示,假设航天员到地球的最近距离为 d1,到地球的最远距离为 d2,地球的半径为 R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在“神舟”飞船运行轨道的另外一个焦点上,若在此焦点上发射某种信号,需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到,则信号传导到地球人的最短距离为( D )(A)d1+d2+R (B)d2-d1+2R4(C)d2+d1-2R (D)d1+d2解析:设椭圆的方程为 + =1(ab0),半焦距为 c,两焦点分别为 F1,F2,运行中的航天员为 P,由已知得 则 2a=d1+d2+2
5、R,最短距离为|PF 1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.故选 D.9.(2017广州一模)已知 F1,F2分别是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,椭圆 C上存在点 P使F 1PF2为钝角,则椭圆 C的离心率的取值范围是( A )(A)( ,1) (B)(,1)(C)(0, ) (D)(0,)解析:法一 设 P(x0,y0),则|x 0| + 有解,即 c2( + )min.当( + )最小时|PO|= 最小,此时点 P为短轴端点,所以( + )min=b2,所以 c2b2,c2a2-c2,所以 ,即 e .又 0cos 45= ,结合 e0,则椭圆的离心率的取值范围为
6、.解析:如图所示,线段 FA的垂直平分线为 x= ,线段 AB的中点(,).因为 kAB=-b,所以线段 AB的垂直平分线的斜率 k=,所以线段 AB的垂直平分线方程为 y-= (x-).把 x= =p代入上述方程可得y= =q.因为 p+q0,所以 + 0,6化为 b .又 0b0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆 C交于不同的两点 M,N.(1)求椭圆 C的方程;(2)当AMN 的面积为 时,求 k的值.解:(1)由题意得 解得 b= ,所以椭圆 C的方程为 + =1.(2)由 得(1+2k 2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点 M, N的坐标分别为(
7、x 1,y1),(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= ,x1x2= ,所以|MN|= .又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ,所以AMN 的面积为 S=|MN|d=7,由 = ,解得 k=1.13.(2017深圳市一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左右顶点分别为 A1,A2,上下顶点分别为 B2,B1,左右焦点分别为 F1,F2,其中长轴长为 4,且圆 O:x2+y2= 为菱形 A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆 C的方程;(2)点 N(n,0)为 x轴正半轴上一点,过点 N作椭圆 C的切线 l,记右焦点 F2在 l上
8、的射影为 H,若F 1HN的面积不小于 n2,求 n的取值范围.解: (1)由题意知 2a=4,所以 a=2,所以 A1(-2,0),A2(2,0),因为 B1(0,-b),B2(0,b),所以直线 A2B2的方程为+=1,即 bx+2y-2b=0,所以 = ,解得 b2=3,故椭圆 C的方程为 + =1.(2)由题意,可设直线 l的方程为 x=my+n,m0,联立消去 x得(3m 2+4)y2+6mny+3(n2-4)=0.由直线 l与椭圆 C相切,得=(6mn) 2-43(3m2+4)(n2-4) =0,化简得 3m2-n2+4=0.(*)设点 H(mt+n,t),由(1)知 F1(-1,
9、0),F2(1,0),则 =-1,解得 t=- ,所以F 1HN的面积= (n+1) - = ,8把*式代入,消去 n化简得 =|m|,所以|m| n2= (3m2+4),解得|m|2,即m 24,从而 4,又 n0,所以 n4,故 n的取值范围为 ,4.14.(2017淮北市一模)已知椭圆 C1: + =1(ab0)的离心率 e= ,且过点(2, ),直线l1:y=kx+m(m0)与圆 C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆 C1交于 A,B两点.(1)求椭圆 C1的方程;(2)过原点 O作 l1的平行线 l2交椭圆于 C,D两点,设|AB|=|CD|,求 的最小值.解:(1)由题意得结合 a2=b2+c2,解得 a=4,b=2,故椭圆 C1的标准方程为 + =1.(2)联立得(1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,0 恒成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2),9则 得|x 1-x2|= ,所以|AB|= ,把 l2:y=kx代入 C1: + =1,得 x3,4= ,所以|CD|= |x3-x4|= ,所以 = = = ,又直线 l1与圆 C2相切,所以 d= =1,平方化为 k= .所以 = = = ,当 m= ,k=- 时, 取最小值 .
