1、1第 3节 函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法 题号函数奇偶性的判定 1,4函数周期性的应用 3,9函数奇偶性的应用 2,5,6,7,8,10,12函数基本性质的综合应用 11,13,14基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017北京顺义区二模)下列函数中为奇函数的是( D )(A)y=x2+2x (B)y=ln|x|(C)y=()x (D)y=xcos x2.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x0时,f(x)=x 2+,则 f(-1)等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为 f(x)是定义在 R上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1
2、),又当 x0时,f(x)=x 2+,所以 f(1)=12+1=2,所以 f(-1)=-2.故选 A.3.(2017浙江台州一模)若函数 y=f(x)是定义在 R上的周期为 2的奇函数,则 f(2 017)等于( B )(A)-2 017 (B) 0 (C)1 (D)2 017解析:因为函数 f(x)是定义在 R上的周期为 2的奇函数,所以 f(1)=f(-1),所以-f(1)=f(-1)=f(1),所以 f(1)=f(-1)=0,所以 f(2 017)=f(1)=0.故选 B.4.(2017广东深圳一模)已知 f(x)= ,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( D )(A)h1(x)=
3、f(x)+g(x)是偶函数(B)h2(x)=f(x)g(x)是奇函数(C)h3(x)= 是偶函数(D)h4(x)= 是奇函数解析:f(x)= ,g(x)=|x-2|,A.h1(x)=f(x)+g(x)= +|x-2|= +2-x,x-2,2.h1(-x)= +2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.h2(x)=f(x)g(x)= |x-2|= (2-x),x-2,2.2h2(-x)= (2+x),不满足奇偶性的定义.C.h3(x)= = ,x-2,2),不满足函数的奇偶性定义.D.h4(x)= = ,x-2,0)(0,2,函数是奇函数.故选 D.5.(2017湖南郴州二模)已知函
4、数 f(x)是奇函数,当 x0时,f(x)=ax(a0且 a1),且 f(lo 4)=-3,则 a的值为( A )(A) (B)3 (C)9 (D)解析:因为奇函数 f(x)满足 f(lo 4)=-3,lo 4=-20时,f(x)=a x(a0且 a1),所以 f(2)=a2=3,解之得 a= (舍负).故选 A.6.导学号 38486027(2017山东济宁二模)已知函数 y=f(x)是 R上的偶函数,当x1,x2(0,+)时,都有(x 1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c) (B)f(b)f(a)f(c)(C)f(c)f(a)f(b) (D)f(c)f(b)f(a)解析:由已知条
5、件知 f(x)在(0,+)上是减函数;且 f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|);|a|=ln 1,b=(ln ) 2|a|,c= (0,|a|),所以 f(c)f(a)f(b).故选 C.7.已知 f(x)=lg( +a)是奇函数 ,则使 f(x)0时,f(x)= +1,则当 x0,所以 f(x)=-f(-x)=-( +1),即 x0,则-x0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= . 解析:因为 f(x)为奇函数并且 f(x-4)=-f(x).所以 f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(4-x)=f(
6、x),且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x),4即 y=f(x)的图象关于 x=2对称,并且是周期为 8的周期函数.因为 f(x)在0,2上是增函数,所以 f(x)在-2,2上是增函数,在2,6上为减函数,据此可画出 y=f(x)的示意图.其图象也关于 x=-6对称,所以 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-8.答案:-814.设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,对任意实数 x有 f(+x)=-f(-x)成立.(1)证明 y=f(x)是周期函数,并指出其周期;(2)若 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值;(3)若 g(x)=x2+ax+3,且 y=|f(x)|g(x)是偶函数,求实数 a的值.解:(1)由 f(+x)=-f(-x),且 f(-x)=-f(x),-f(-x)=f(x-)=f(+x),所以 y=f(x)是周期函数,且 3是其一个周期.(2)因为 f(x)为定义在 R上的奇函数,所以 f(0)=0,且 f(-1)=-f(1)=-2,又 T=3是 y=f(x)的一个周期,所以 f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为 y=|f(x)|g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故 g(x)=x2+ax+3为偶函数,所以 a=0.
