1、1第 3节 合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法 题号归纳推理 3,5,8,10类比推理 2,4,7,9,12,13,14演绎推理 1,6,11基础巩固(时间:30 分钟)1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但大前提错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.故选 C.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类
2、比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“ =”类比得到“ =”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:正确,错误.故选 B.3.(2017重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第 1年到第 5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第 10年树的分枝数为( D )(A)21 (B)34 (C)52 (D)55解析:因为 2=1+1,3=2+1,5=3+2,即
3、从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第 10年树的分枝数为 21+34=55.故选 D.4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 =,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则2等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为 13,故 = .故选 D.5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( A )(A)设数列a n的前 n项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,推断:S n=n2(B)由 f(x)=xcos x满
4、足 f(-x)=-f(x)对xR 都成立,推断 :f(x)=xcos x为奇函数(C)由圆 x2+y2=r2的面积 S=r 2,推断:椭圆 + =1(ab0)的面积 S=ab(D)由(1+1) 221,(2+1)222,(3+1)223,推断:对一切 nN *,(n+1)22n解析:选项 A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列a n是等差数列,其前 n项和等于 Sn= =n2,选项 D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.故选 A.6.导学号 38486223 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2,ai0,1(i=0,
5、1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0a 1,h1=h0a 2,运算规则为 00=0,01=1,10=1,11=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C )(A)11010 (B)01100(C)10111 (D)00011解析:对于选项 C,传输信息是 10111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知 h0=01=1,而 h1=h0a 2=11=0,故传输信息应是 10110.故选 C.7.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O的直径,直线 AC,BD是圆 O过 A,B的切
6、线,P 是圆 O上任意一点,CD 是过 P的切线,则有 PO2=PCPD”.类比到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线AC,BD是椭圆过 A,B的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P的切线,则有 .” 解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:PF 1PF2=PCPD8.(2017潍坊市一模)观察式子 1+ ,1+ + ,1+ + + ,则可归纳出31+ + + . 解析:根据题意,每个不等式的右边的分母是 n+1.不等号右边的分子是 2n+1,所以 1+ + + (n1).答案: (n1)能力提升(时间:15 分钟)9.若数列a n是等差数列,则数列b nbn= 也为等差数列.类比这一性质
7、可知,若正项数列c n是等比数列,且d n也是等比数列,则 dn的表达式应为( D )(A)dn= (B)dn=(C)dn= (D)dn=解析:若a n是等差数列,则a1+a2+an=na1+ d,所以 bn=a1+ d=n+a1-,即b n为等差数列;若c n是等比数列,则 c1c2cn= q1+2+(n-1)= ,所以 dn= =c1 ,即d n为等比数列.故选 D.10.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第 60个“整数对”是( B )(A)(7,5) (B)(5,7
8、)(C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n组中每个“整数对”的和均为 n+1,且第 n组共有 n个“整数对”,这样的前 n组一共有 个“整数对”,注意到60 ,因此第 60个“整数对”处于第 11组(每个“整数对”的和为 12的组)的第 5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),因此第 60个“整数对”是(5,7).故选 B.11.(2017湖北八校二联)有 6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5号选手得第一名;观众乙猜测:3 号选手不可能
9、得第一名;观众丙猜测:1,2,6 号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6 号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只4有 1人猜对比赛结果,此人是( D )(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁解析:根据题意,6 名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表:1号 2号 3号 4号 5号 6号甲 不可能 不可能 不可能 可能 可能 不可能乙 可能 可能 不可能 可能 可能 可能丙 可能 可能 不可能 不可能 不可能 可能丁 可能 可能 可能 不可能 不可能 不可能由表知,只有丁猜对了比赛结果.故选 D.12.(2017日照市一模)在计算“12+23+n(n+1)
10、”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k项:k(k+1)= k(k+1)(k+2)-(k-1) k(k+1)由此得12= (123-012),23= (234-123),n(n+1)= n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1),相加,得 12+23+n(n+1)= n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“123+234+n(n+1)(n+2)”,其结果为 .解析:因为 n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2),所以 123= (1234-0123),234= (2345-1234),n (n+1)(n+2)= n(n+1)(
11、n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)( n+2),所以 123+234+n(n+1)(n+2)= (1234-0123)+(2345-1234)+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3).答案: n(n+1)(n+2)(n+3)13.已知ABC 的三边长分别为 a,b,c,其面积为 S,则ABC 的内切圆的半径 r= .这是一道平面几何题,其证明方法是“等面积法”.请用类比推理的方法猜测对空间四面体ABCD存在的类似结论为 . 解析:已知四面体 ABCD的四个表面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,其体积为 V,则四面体 A
12、BCD的内切球的半径 r= .由题意可得,题目要求写出类似的结论,则在保证该结论正确的前提下,尽量在语言表达上与前面的结论一致.本题体现了平面几何与立体几何在如下词语上的对应:“ABC”与“四面体 ABCD”,“边长”与“表面面积”,“面积”与“体积”,“内切圆”与“内切球”,这是结构上的类比.再者,本题也体现了方法上的类比,即等面积法推理到等体积法,同样是将整体分割成几个小的部分,然后利用体积不变得出结论,即 V=S1r+S2r+S3r+S4r,从而 r= .5答案:已知空间四面体 ABCD的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,其体积为 V,则四面体的内切球的半径 r=14.导学号
13、38486224 在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中,用如图 1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623年以后,法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式: + = ,其中n是行数,rN.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .解析:类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子 + = ,有 = + .答案: = +
