1、1第五课时 利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法 题号利用函数图象研究函数零点 1,5利用函数性质研究函数零点 2,3构造函数研究函数零点 41.直线 y=a与函数 f(x)=x3-3x的图象有三个互不相同的公共点,求 a的取值范围.解:先求函数 f(x)的单调区间,令 f(x)=3x 2-3=0,解得 x=1,当 x1时,f(x)0,当-10).(1)求 f(x)的单调区间;(2)设 b=1,若方程 f(x)=0有且只有一个实根,求 a的取值范围.解:(1)f(x)=3bx 2-3(2b+1)x+6=3(x-2)(bx-1),令 f(x)=0 得 x=2或 x=,当时,f(x)
2、在(-,)和(2,+)上递增,在(,2)上递减.当2 即 00或 f(1)0 或 f(1)= +a-2或 a0,此时 f(x)在 R上单调递增.f(a)=a-aea=a(1-ea)0,f(1)=1-ae0,f(a)f(1)0时,令 f(x)=0,得 x=-ln a.f(x)与 f(x)在区间(-,+)上的情况如表:x (-,-ln a) -ln a (-ln a,+)f(x) + 0 -f(x) 极大值 若曲线 y=f(x)与 x轴有且只有一个交点,则有 f(-ln a)=0,即-ln a-ae -ln a=0,解得 a=.综上所述,曲线 y=f(x)与 x轴有且只有一个交点时,a 的取值范围
3、为aa0 或 a=.4.(2017广东深圳一模)已知三次函数 f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,cR)过点(3,0),且函数f(x)在点(0,f(0)处的切线恰好是直线 y=0.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)设函数 g(x)=9x+m-1,若函数 y=f(x)-g(x)在区间-2,1上有两个零点,求实数 m的取值范围.解:(1)f(x)=3x 2+2bx+c,由已知条件得,解得 b=-3,c=d=0,所以 f(x)=x3-3x2.(2)由已知条件得,f(x)-g(x)=0 在-2,1上有两个不同的解;即 x3-3x2-9x-m+1=0在区间-2,1上有两个不同的解,即 m=x3-3x2-9x+1在-2,1上有两个不同的解.令 h(x)=x3-3x2-9x+1,h(x)=3x 2-6x-9,x-2,1,解 3x2-6x-90得-2x0,解得 x1;3令 f(x)-1,即 m-2, 当 0e时,f(x)0;当 x0且 x0 时,f(x)0;当 x+时,显然 f(x)+.由图象可知,m+10,即 m-1,由可得-2m-1,所以 m的取值范围为(-2,-1).
