1、1第二十四章 24.3 正多边形和圆知识点 1：正多边形与圆的关系 (1)各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)将一个圆 n(n3)等分,顺次连接各个等分点得到的多边形是正 n边形,这个正 n边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做正 n边形的外接圆.关键提醒:(1)根据定义,判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件:各边相等,各角相等.缺一不可,如菱形的各边相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形.(2)要判定一个多边形是不是正多边形,除了根据定义来判定外,还可以根据正多边形与 圆的关系来判定,即依次连接圆的 n(n3)等分点,所得的多边形是正 n多边形.(3)把圆分成 n(n
2、3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交 点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n边形.(4)任意三角形都具有内切圆和外接圆,但只有正三角 形的外接圆和内切圆才是同心圆.任意多边形不一定具有外接圆和内切圆,但正多边形一定有外接 圆和内切圆,并且是同心圆.知识点 2：正多边形的有关概念与计算 正多边形的中心:正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心;正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;正多边形的边心距:正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距;正多边形的对称性:正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对称图形
3、,一个正 n边形共有 n条对称轴,每条对称轴都通过正 n边形的中心;正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的中心是对称中心;正多边形的旋转对称性:正多边形都是旋转对称图形,最小的旋转角等于 中心角.关键提醒:(1)正多边形的有关概念是针对圆而言的,比如正多边形的中心角相对于圆而言就应叫做圆心角;(2)边心距与弦心距的区别与联系:边心距是圆心到正多边形一边的距离,此时的边心距也可以看作是正多边形的外接圆中,圆心到弦的距离;2(3)正多边形的有关计算:正 n边形的每个内角为 ;正 n边形的每个中心角为 ;正多边形的外角;设正 n边形的边长、边心距、周长、面积分别为 an,rn
4、,ln,Sn,则 ln=nan,Sn= rnln;(4) 有关正多边形的计算,常添加辅助线:边心距、半径与边长的一 半构造直角三角形求解相关边或角 .知识点 3：正多边形的画法 画正多边形的方法一般通过等分圆周的方法:用量角器等分圆周或用尺规等分 圆周.关键提醒:(1)用量角器等分圆周有两种方法:一是通过依次作相等的圆心角来等分圆周;另一种方法是先用量角器画一个 的圆心角,然后在圆上依次截取与这个圆心角所对弧相等的弧,得到n个等分点;(2)用尺规等分圆周的方法:对于正四边形及其 2n(n为自然数)倍边形(如正八边形、正十六边形)、正六边形及其 2n(n为自然数)倍边形(如正十二边形、正二十四边
5、形)和正三角形等特殊图形可以用直尺和圆规等分圆周.考点 1：关于正多边形的边长、边心距、半径的计算问题【例 1】 若正六边形的边长为 250px,则它的边心距为( ).A. cm B. 125px C. 5 cm D. 250px答案:C.点拨:如图,正六边形的中心角为 60,因此AOG=30,求边心距 OG可转化到 RtAOG 中去解决.AG=125px,AO=2AG=250px,所以 OG= =5 (cm).考点 2：利用正多边形和圆的关系解决实际问题3【例 2】 如图,有六个矩形水池环绕.矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形 ABCDEF,正六边形的边长为 4m.要从水源点 P处向各水
6、池铺设供水管道,这些管道的总长度最短是 m.(所有管道都在同一平面内,结果保留根号)解:作 PHAB 于点 H,由于 ABCDEF是正六边形,所以 PA=AB=4m,BH= AB=2m,在 RtBPH 中,利用勾股定理可得 PH= = =2 m,2 6=12 .所以从水源点处向 各水池铺设供水管道,这些管道的总长度最短是 12 m.点拨:本题是一道和正多边形有关的实际问题,解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型,即画出示意图(正六边形)所要解决的实际问题就转化为求点 P到六边形六条边的距离和.为此只需要过点 P作 PHAB 于点 H,利用勾股定理求到 PH即可.考点 3：解决作图的问题【例
7、3】 已知O 和O 上的一点 A.(1)用尺规作O 的内接正方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH.(2)在第(1)题作图中,如果点 E在 上,求证:DE 可以是O 内接正十二边形的一边.解:(1)作直径 AC;4用尺规作直径 BDAC(作图痕迹如图 24.3-3所示,过程略),依次连接 AB、BC、CD、DA,则四边形 ABCD为O 的内接正方形;分别以 A、C 为圆心,OA 为半径画弧,交O 于点 E、H、F、G,顺次连接AE、EF、FC、CG、GH、HA,则六边形 AEFCGH为O 的内接正六边形(如图).(2)连接 OE. AOD= =90,AOE= =60, DOE=AOD-AOE=90-60=30. 正十二边形的中心角为 30, DE 可以是O 内接正十二边形的一边.点拨:(1)可以通过作相互垂直的直径,获得 90的圆心角来作圆的内接正方形.因为等于半径的弦所对的圆心角为 60,因此不难作出O 的内接正六边形;(2)证明 DE可以是O 内接正十二边形的一边,只要证明 DE所对的圆心角等于 =30即可.
