1、1第二十四章 24.2.3 圆的切线的性质和判定知识点 1：圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.关键提醒:(1)在应用圆切线的判定定理时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端点,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可,千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的 切线.如图,其中的直线 l 都不是O 的切线.(2)根据要 点 5,6 可知,切线的判定方法有三种:定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;数量法:到圆心的距离 等于半径的直线是圆的切线;判定定理.知识点 2：圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.关键提醒:(1)切线的判定定理和性质
2、定理易混淆,要注意区别.判定定理是不知道直线是否是切线,而让你来证明它,是从数量关系(与圆只有“1”个公共点; d=r;垂直即 90)到位置关系.而性质定理则是已知是切线,它具有哪些性质.(2)由圆的切线的性质定理不难得出:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.由此我们可以总结如下:切线的性质和判定主要涉及四个因素:切线;切点(半径外端点);圆心;垂直.这四个要素中满足其中的三个,就可以推出另外一个.考点 1：切线的判定2【例 1】 如图,点 A 为O 外一点,连接 OA 交O 于点 C.过O 上一点 P 作 OA 的垂线,交 OA于点 F,交O 于点 E,连
3、接 PA、PC.若EPC=CPA,求证:PA 是O 的切线.解:连接 OP. OAEP, = . POC=2EPC. EPC=CPA, POC=EPA. POC+OPE=90, EPA+OPE=90,即 PAOP. PA 是O 的切线.点拨:此题是判定定理的应用,连接 OP 后,只要证明OPA=90即可.考点 2：利用圆的切线的性质解决问题【例 2】 如图,AB 是O 的直径, P 为 AB 延长线上的任意一点,C 为半圆 ACB 的中点,PD 切 O于点 D,连接 CD交 AB 于点 E.求证: PD=PE.解:连接 OC、OD, ODPD ,OC AB. PDE=90-ODE,PED=CEO=90-C.又 C=ODE, PDE=PED. PE=PD.点拨:要证 PD=PE,即证PDE=PED,但直接证明两角相等 缺条件.由于 PD 是O 的切线,切点是 D,所以连接 OD,得 PDOD,又点 C 为半圆 ACB 的中点,连接 OC 可得 COB=90.PDE+ODC=90,OEC+OCE=PED+OCE=90 ,根据等角的余角相等可证.
