1、1第 1 章 立体几何初步章末检测试卷(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱考点 题点 答案 A解析 由空间几何体的三视图可知，圆柱的主视图不可能是三角形2如图， B C x轴， A C y轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 D解析 因为 B C x轴， A C y 轴，所以直观图中 BC x 轴， AC y 轴，所以三角形是直角
2、三角形故选 D.23如果两条异面直线称为“一对” ，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A12 对 B24 对 C36 对 D48 对考点 题点 答案 B解析 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，与棱 AB 异面的直线有CC1， DD1， B1C1， A1D1，共 4 对，正方体 ABCD A1B1C1D1有 12 条棱，排除重复计算的异面直线，异面直线共有 12224(对)4一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( )A30 B45C60 D75考点 题点 答案 A解析 设圆锥的母线长为 L，底面圆的半径为 r，则由题意得 rL2 r2， L2
3、 r，圆锥的母线与轴所成的角为 30.5下列命题：在平面外的直线与平面不相交必平行；过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面其中正确命题的个数为( )A1 B2 C3 D4考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的判定答案 A解析 正确，错误6分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A异面 B相交C平行 D异面或相交3考点 题点 答案 D解析 如图所示， a， b 是异面直线， AB， AC 都与 a， b 相交， AB， AC 相交； AB， DE 都与a，
4、b 相交， AB， DE 异面7在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点，给出下列四个推断： FG平面 AA1D1D； EF平面 BC1D1； FG平面 BC1D1；平面 EFG平面 BC1D1.其中推断正确的序号是( )A B C D考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 分别是 A1B1， B1C1， BB1的中点， FG BC1. BC1 AD1， FG AD1， FG平面 AA1D1D，AD1平面 AA1D1D， FG平面 AA1D1
5、D，故正确； EF A1C1， A1C1与平面 BC1D1相交， EF与平面 BC1D1相交，故错误； FG BC1， FG平面 BC1D1， BC1平面 BC1D1，FG平面 BC1D1，故正确； EF 与平面 BC1D1相交，平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故错误故选 A.8一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )4A. B. 13 23 13 23C. D1 13 26 26考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 C解析 由三视图知，半球的半径 R ，四棱锥为底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，22 V
6、111 3 ，故选 C.13 12 43 (22) 13 269过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B.316 916C. D.38 932考点 题点 答案 A解析 如图所示，设球的半径为 R，由题意知 OO ， OF R，R2 r R.325 S 截面 r2 2 R2.(32R) 34又 S 球 4 R2， .S截 面S球 34R24 R2 31610已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，下面四个结论：若 l ，则 l m；若l ，则 l m；若 l m，则 l ；若 l m，则 l ，其中正确的是( )A BC D考点 线、面平行、垂直的
7、综合应用题点 平行与垂直的判定答案 D解析 由直线 l平面 ，直线 m平面 知，在中，若 l ，则由线面垂直的性质得 l m，故正确；在中，若 l ，则 l 与 m平行或异面，故错误；在中，若 l m，则 l 与 不一定垂直，故错误；在中，若l m，则由线面平行的判定定理得 l ，故正确故选 D.11如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面， E 是底面圆周上异于 A， B 的一点，则下面结论中错误的是( )A AE CE B BE DEC DE平面 CEB D平面 ADE平面 BCE考点 空间中的垂直问题题点 空间中的垂直问题答案 C解析 由 AB 是底面圆的直径可知， AEB90，即 AE
8、EB.四边形 ABCD 是圆柱的轴截面， AD底面 AEB， BC底面 AEB.6 BE AD， AD AE A，因此 BE平面 ADE.同理可得 AE CE，平面 BCE平面 ADE.可得 A，B，D 正确而 DE平面 CEB 不正确故选 C.12如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， DAB60.侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，则下列说法错误的是( )A在棱 AD 上存在点 M，使 AD平面 PMBB异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90C二面角 P BC A 的大小为 45D BD平面 PAC考点 空间角问题题点 空间角的综合应用答案 D解
9、析 对于 A，取 AD 的中点 M，连接 PM， BM，侧面 PAD 为正三角形， PM AD，又底面 ABCD 是 DAB60的菱形， ABD 是等边三角形， AD BM，又 PM BM M， AD平面 PBM，故 A 正确对于 B， AD平面 PBM， AD PB，即异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90，故 B 正确对于 C，平面 PBC平面 ABCD BC， BC AD， BC平面 PBM， BC PB， BC BM， PBM 是二面角 P BC A 的平面角，设 AB1，则 BM ， PM ，32 327在 Rt PBM 中，tan PBM 1，PMBM即 PBM45，故二面角
10、P BC A 大小为 45，故 C 正确错误的是 D，故选 D.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13直角梯形的一个内角为 45，下底长为上底长的 倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一32周所成的旋转体的表面积为(5 )，则旋转体的体积为_2考点 题点 答案 73解析 如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为 r，则下底长为r， C45，32所以 DE ， DC r，所以旋转体的表面积为 S 表r2 22 2 r r r2(5 )r24 r2 r2 22 4 2又因为 S 表 (5 )，所以 r24，所以 r2，2所以 V 2r 2 .(r2) 13 (r2)
11、 r2 7314如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， MN 在平面 BCC1B1内， MN BC 于点 M，则 MN 与 AD的位置关系是_考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案 垂直解析 平面 BCC1B1平面 ABCD，平面 BCC1B1平面 ABCD BC， MN平面 BCC1B1， MN平面 ABCD. MN AD.815已知平面 ， 和直线 m，给出以下条件： m ； m ； m ； .要想得到 m ，则所需要的条件是_(填序号)考点 直线与平面垂直的判定题点 判定直线与平面垂直答案 解析 易知Error! m .16.如图，已知点 O 在二
12、面角 AB 的棱上，点 P 在 内，且 POB45.若对于 内异于 O 的任意一点 Q，都有 POQ45，则二面角 AB 的大小是_考点 题点 答案 90解析 因为 OP 与平面 所成的角大于等于 45，所以 OP 与平面 所成的角最小为 45，即 OP 与 OP 在平面 内的射影所成的角最小是 45.又因为 POB45，所以 AB 就是 OP在平面 内的射影，所以 .所以二面角 AB 的大小是 90.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是 4 cm 与 2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为 4 cm 的正方形
13、(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积考点 题点 解 (1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是 4，高是 2，因此该几何体的表面积是 24444264(cm 2)，即几何体的表面积是 64 cm2.9(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，记长方体的体对角线为 d，球的半径是 r，d 6(cm)，16 16 4 36所以球的半径为 r3(cm)因此球的体积 V r3 2736(cm 3)，43 43所以外接球的体积是 36 cm 3.18(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP A
14、B， BP BC2， E， F 分别是 PB， PC 的中点(1)证明： EF平面 PAD；(2)求三棱锥 E ABC 的体积 V.考点 直线与平面平行的判定题点 直线与平面平行的证明(1)证明 在 PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点， EF BC.四边形 ABCD 为矩形， BC AD， EF AD.又 AD平面 PAD， EF平面 PAD， EF平面 PAD.(2)解 连接 AE， AC， EC，过 E 作 EG PA 交 AB 于点 G.则 EG平面 ABCD，且 EG PA.12在 PAB 中， AP AB， PAB90， BP2， AP AB ， EG .222 S
15、 ABC ABBC 2 ，12 12 2 2 VE ABC S ABCEG .13 13 2 22 131019.(12 分)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形， FA平面ABCD， BC AD， CD1， AD2 ， BAD CDA45.2(1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；(2)证明： CD平面 ABF.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明(1)解 因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA ED，故 CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角因为 FA平面 ABCD，所以 FA CD，故 ED CD.在 Rt CDE 中，因为
16、 CD1， ED2 ，所以 CE 3，所以 cos CED .2 CD2 ED2EDCE 223故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 .223(2)证明 如图，过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G，则 BGA CDA45.由 BAD45可得 BG AB，从而 CD AB.又因为 CD FA， FA AB A，所以 CD平面 ABF.20.(12 分)如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， F， F1分别是 AC， A1C1的中点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.考点 线、面平行、垂直的综合应用11题点 平行、垂直综合问题的
17、证明证明 (1)在正三棱柱 ABC A1B1C1中， F， F1分别是 AC， A1C1的中点， B1F1 BF， AF1 C1F.又 B1F1 AF1 F1， C1F BF F，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 A1B1C1， B1F1 AA1.又 B1F1 A1C1， A1C1 AA1 A1， B1F1平面 ACC1A1，又 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.21(12 分)在矩形 ABCD 中， AB2， AD1， E 为 CD 的中点，沿 AE 将 DAE 折起到 D1AE的位置，使平面 D1AE平面 A
18、BCE.(1)若 F 为线段 D1A 的中点，求证： EF平面 D1BC；(2)求证： BE D1A.考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明证明 (1)取 AB 的中点 G，连接 EG， FG，则 EG BC， FG D1B，且 EG FG G， EG平面EFG， FG平面 EFG， D1B BC B， D1B平面 D1BC， BC平面 D1BC，平面 EFG平面 D1BC. EF平面 EFG， EF平面 D1BC.(2)易证 BE EA，平面 D1AE平面 ABCE.平面 D1AE平面 ABCE AE， BE平面 D1AE.12又 D1A平面 D1AE， BE D1A
19、.22.(12 分)如图所示，已知三棱锥 A BPC 中， AP PC， AC BC， M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且 PMB 为正三角形(1)求证： DM平面 APC；(2)求证：平面 ABC平面 APC；(3)若 BC4， AB20，求三棱锥 D BCM 的体积考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明(1)证明 M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点， DM AP.又 DM平面 APC， AP平面 APC， DM平面 APC.(2)证明 PMB 为正三角形，且 D 为 PB 的中点， MD PB.又由(1)知， MD AP， AP PB.又已知
20、 AP PC， PC PB P， PB， PC平面 PBC， AP平面 PBC， AP BC.又 AC BC， AC AP A， AC， AP平面 ACP， BC平面 APC.又 BC平面 ABC，平面 ABC平面 APC.(3)解 由(2)知 AP平面 PBC，又 MD AP， MD平面 PBC. AB20， MB10， PB10.由(2)可知 BC PC，又 BC4， PC 2 .100 16 84 21 S BDC S PBC PCBC 2 42 .12 14 14 21 2113又 MD AP 5 .12 12202 102 3 V 三棱锥 D BCM V 三棱锥 M BCD S BDCDM 2 5 10 .13 13 21 3 7
