1、173 球的表面积和体积学习目标 1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积知识点一 球的截面思考 什么叫作球的大圆与小圆？答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆平面不过球心与球面形成的截线是小圆梳理 用一个平面 去截半径为 R 的球 O 的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面 过球心 O，则截线是以 O 为圆心的球的大圆(2)若平面 不过球心 O，如图，设 OO ，垂足为 O，记 OO d，对于平面 与球面的任意一个公共点 P，都满足 OO O P，则有 O P ，即此时截线是以 O为R2 d2圆心，以 r 为半径的球的小圆R2 d2知识
2、点二 球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线如图， l 为球 O 的切线， M 为切点2(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的长度都相等知识点三 球的表面积与体积公式前提条件 球的半径为 R表面积公式 S4 R2体积公式 V R3431球的表面积等于它的大圆面积的 2 倍( )2两个球的半径之比为 12，则其体积之比为 14.( )3球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面( )类型一 球的表面积与体积例 1 (1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_考点 题点 答案 3解析 由三视图知该几何体为半球，则其表面积为 41 21 23.12(2)已知球的
3、表面积为 64，求它的体积考点 3题点 解 设球的半径为 R，则 4 R264，解得 R4，所以球的体积 V R3 4 3 .43 43 2563反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆跟踪训练 1 (1)已知球的体
4、积为 ，则其表面积为_5003考点 题点 答案 100解析 设球的的半径为 R，则 R3 ，43 5003解得 R5，所以球的表面积 S4 R245 2100.(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是( )A. B.43 153C. D. 43 153 43 153考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 D解析 由三视图可知，此几何体上部是直径为 2 的球，下部是底面直径为 2，高为 的圆154锥，所以 V 1 3 1 2 .43 13 15 43 153类型二 球的截面例 2 在半径为 R 的球面上有 A， B， C 三点，且 AB
5、BC CA3，球心到 ABC 所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积考点 题点 解 依题意知， ABC 是正三角形， ABC 的外接圆半径 r 3 .33 3由 R2 2( )2，得 R2.(R2) 3所以球的表面积 S4 R216.反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即R2 d2 r2.跟踪训练 2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的
6、厚度，则球的体积为( )A. cm3 B. cm35003 8663C. cm3 D. cm31 3723 2 0483考点 题点 答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解如图，作出球的一个截面，则 MC862(cm)， BM AB 84(cm)12 125设球的半径为 R cm，则 R2 OM2 MB2( R2) 24 2， R5， V 球 5 3 (cm3)43 5003类型三 与球有关的组合体命题角度 1 球的内接或外切柱体问题例 3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的
7、体积计算问题答案 14解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ，12 22 32 14所以球的表面积 S4 R214.(2)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 43解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是 1 2 .43 43反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为 a，此时球的半径为 r1 .a2(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，
8、称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a， b， c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r2 .12a2 b2 c2跟踪训练 3 表面积为 的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )433A. B. C D. 23 13 23 2236考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题答案 A解析 如图所示，将正四面体补形成一个正方体设正四面体的棱长为 a.正四面体的表面积为 ，4334 a2 ，解得 a ，34 433 233正方体的棱长是 ，63又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是 R，2 R ， R
9、 ，球的体63 3 22积为 3 ，故选 A.43 (22) 23命题角度 2 球的内接锥体问题例 4 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积考点 球的体积题点 与外接、内切有关球的体积计算问题解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a x，2由题意 2R x a，3 32a2 62 S 球 4 R2 a2.32反思与感悟 将正四面体补成正方体由此可得正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为2R a.62跟踪训练 4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_考点 球的体积题点 与外接、内切
10、有关球的体积计算问题答案 或932 332解析 设球的半径为 R，则球心到圆锥底面的距离为 R.127当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，此时圆锥底面圆的半径为 R，高为 R，故圆锥的体积与球的体积之比为 .32 3213 (32R)232R43 R3 932当圆锥顶点与底面在球心同侧时，同理求得二者体积比为 .3321把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的高为( )A R B2 R C3 R D4 R考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 D解析 设圆柱的高为 h，则 R2h3 R3，得 h4 R.432平面 截球 O
11、的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积2为( )A. B4 C4 D6 6 3 6 3考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M 为截面圆上任一点，则 OO ， O M1.2 OM .22 1 3即球的半径为 .38 V ( )34 .43 3 33如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A9 B10 C11 D12考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 D解析 由三视图可知，该几何体的上部分是半径为 1 的球，下部分是底面半径为 1，高为 3的
12、圆柱由面积公式可得该几何体的表面积 S41 221 221312.4两个球的表面积之差为 48，它们的大圆周长之和为 12，则这两个球的半径之差为( )A1 B2 C3 D4考点 题点 答案 B解析 设两球半径分别为 R1， R2，且 R1R2，则 4( R R )48，2( R1 R2)12，21 2所以 R1 R22.5若球的半径由 R 增加为 2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍考点 题点 答案 8 4解析 球的半径为 R 时，球的体积为 V1 R3，表面积为 S14 R2，半径增加为 2R 后，43球的体积为 V2 (2 R)3 R3，表面积为 S24(2 R)21
13、6 R2.43 323所以 8， 4，V2V1323 R343 R3 S2S1 16 R24 R29即体积变为原来的 8 倍，表面积变为原来的 4 倍1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.一、选择题1三个球的半径之比为 123，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的( )A1 倍 B2 倍C3 倍 D4 倍考点 题点 答案 C解析 设三个球的半径由小到大依次为 r1， r2， r3，则 r1 r2 r3123， V3 r 27 r 36 r ， V1
14、V2 r r 9 r 12 r ，43 3 43 31 31 43 31 43 32 43 31 31 V33( V1 V2)2设正方体的表面积为 24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A. cm 3 B. cm 36323C. cm 3 D. cm 383 43考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题答案 D解析 由正方体的表面积为 24 cm2，得正方体的棱长为 2 cm，故这个球的直径为 2 cm，故这个球的体积为 cm 3.433.圆柱形容器内盛有高度为 6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图
15、所示则球的半径是( )10A1 cm B2 cmC3 cm D4 cm考点 球的体积题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题答案 C解析 设球半径为 r，则由 3V 球 V 水 V 柱 ，可得3 r3 r26 r26r，解得 r3.434如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12 B. 1892 92C942 D3618考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 3332 18.43 (32) 925一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm
16、，则该球的体积是( )A. cm3 B. cm31003 2083C. cm3 D. cm35003 4163311考点 球的体积题点 与截面有关的球的体积计算问题答案 C解析 如图，根据题意，| OO1|4 cm，| O1A|3 cm，| OA| R 5(cm)，|OO1|2 |O1A|2故球的体积 V R3 (cm3)故选 C.43 50036圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r 等于( )A1 B2 C4 D8考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积
17、答案 B解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 4 r2 r24 r2 r2r(54) r2，又12S1620，(54) r21620， r24， r2，故选 B.7一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )A(24 ) cm2 B(816 ) cm22 2C(48 ) cm2 D(1632 ) cm22 2考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题12答案 B解析 一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 2 cm 的球面上，正四棱
18、柱的底面边长为 2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，正四棱柱的体对角线为 4 cm，正四棱柱的底面对角线长为 2 cm，正四棱柱的高为 2 (cm)，该棱柱的表面积为2 16 8 2222422 816 (cm2)，故选 B.2 2二、填空题8两个球的半径相差 1，表面积之差为 28，则它们的体积和为_考点 题点 答案 3643解析 设大，小两球半径分别为 R， r，则Error!所以Error!所以体积和为 R3 r3 .43 43 36439已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为92_考点 题点 答案 3解析 设球的半径为 R，正方体棱长为 a，则 V
19、球 R3 ，得到 R ，正方体体对角43 92 32线的长为 a2 R，则 a ，所以正方体的棱长为 .3 3 310如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积答案 3313解析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于 3，圆锥的母线长等于 5，所以该几何体的表面积为 S23 23533.11已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB12， AB平面 ， H 为垂足， 截球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_考点 题点 答案 92解析 如图所示，
20、 CD 是截面圆的直径 2，即 CD2，(12CD)设球 O 的半径为 R， AH HB12， AH 2R R，13 23 OH R R R，23 13由 OD2 OH2 HD2，得 R2 R21，19 R2 ，98 S 球 4 R2 .92三、解答题12某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r1， l3，试求该组合体的表面积和体积考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积解 该组合体的表面积S4 r22 rl41 221310.14该组合体的体积 V r3 r2l 1 31 23 .43 43 13313有一个倒圆锥形容器，它
21、的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 r，则容器内水的体积为3V V 圆锥 V 球 ( r)23r r3 r3，13 3 43 53而将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 h，33从而容器内水的体积是 V 2h h3，13 (33h) 19由 V V，得 h r.315即容器中水的深度为 r.315四、
22、探究与拓展14一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2009 B20018C1409 D14018考点 题点 答案 A15解析 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长，宽，高分别为6 2 2 10,1 2 1 4,5； 上 半 部 分 是 一 个 横 放 的 半 圆 柱 ， 其 中 底 面 半 径 为 3， 母 线 长62为 2，故 V1045 3 222009.1215有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题解 设正方体棱长为 a，三个球的半径依次为 R1， R2， R3，则有2R1 a， R1 ， a2 R2， R2 a， a2 R3，a2 2 22 3R3 a，所以 R1 R2 R31 .32 2 3所以 S1 S2 S3 R R R 123.21 2 23即这三个球的表面积之比为 123.
