1、141 空间图形基本关系的认识42 空间图形的公理(一)学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论知识点一 空间图形的基本位置关系对于长方体有 12 条棱和 6 个面思考 1 12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案 相交，平行，既不平行也不相交思考 2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交思考 3 六个面之间有哪几种位置关系答案 平行和相交梳理 位置关系 图形表示 符号表示点 A 在直线 a 外 Aa空间点与直线的位置关系 点
2、B 在直线 a 上 B a点 A 在平面 内 A 空间点与平面的位置关系 点 B 在平面 外 B平行 a b相交 a b O空间两条直线的位置关系异面 a 与 b 异面线在面内 a线面相交 a A空间直线与平面的位置关系线面平行 a 空间平面与平 面面平行 2面的位置关系 面面相交 a异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识点二 空间图形的公理思考 1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案 不在同一直线上的三点确定一个平面思考 2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案 直尺在桌面上思考 3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案 这些公共点在同一直线上
3、梳理 (1)空间图形的公理公理 内容 图形 符号 作用公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A l， B l，且A ， B l用来证明直线在平面内公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A， B， C 三点不共线存在唯一的 使 A， B， C 用来确定一个平面公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P ， P l，且 P l用来证明空间的点共线和线共点(2)公理 2 的推论推论 1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图)推论 2：两条相交直线确定一个平面(图)推论
4、3：两条平行直线确定一个平面(图)318 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚( )2空间不同三点确定一个平面( )3一条直线和一个点确定一个平面( )类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例 1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点 P 与直线 AB；(2)点 C 与直线 AB；(3)点 M 与平面 AC；(4)点 A1与平面 AC；(5)直线 AB 与直线 BC；(6)直线 AB 与平面 AC；(7)平面 A1B 与平面 AC.考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化解 (1)点 P直线 AB.(2)点 C直线 AB.(3)点 M平
5、面 AC.(4)点 A1平面 AC.(5)直线 AB直线 BC点 B.(6)直线 AB平面 AC.(7)平面 A1B平面 AC直线 AB.反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示4(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练 1 用符号语言表示下列语句，并画成图形(1)直线 l 经过平面 内两点 A， B；(2)直线 l 在平面 外，且过平面 内一点 P；(3)直线 l 既在平面 内，又在平面 内；(4)直线 l 是平面 与 的交线，平面 内有一条直线
6、m 与 l 平行考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化解 (1) A ， B ， A l， B l，如图(2)l ， P l， P .如图(3)l ， l .如图(4) l， m ， m l.如图类型二 平面的基本性质的应用命题角度 1 点线共面问题例 2 如图，已知： a ， b ， a b A， P b， PQ a，求证： PQ .考点 平面的基本性质题点 线共面问题证明 因为 PQ a，所以 PQ 与 a 确定一个平面 ，所以直线 a ，点 P .因为P b， b ，所以 P .又因为 a ， P ，所以 与 重合，所以 PQ .引申探究将本例中的两条平行线
7、改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内5解 已知： a b c， l a A， l b B， l c C.求证： a， b， c 和 l 共面证明：如图， a b， a 与 b 确定一个平面 . l a A， l b B， A ， B .又 A l， B l， l . b c， b 与 c 确定一个平面 ，同理 l .平面 与 都包含 l 和 b，且 b l B，由公理 2 的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面 与平面 重合， a， b， c 和 l 共面反思与感悟 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明
8、其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练 2 如图，已知 l1 l2 A， l2 l3 B， l1 l3 C.求证：直线 l1， l2， l3在同一平面内考点 平面的基本性质题点 线共面问题证明 方法一 (纳入平面法) l1 l2 A， l1和 l2确定一个平面 . l2 l3 B， B l2.又 l2 ， B .同理可证 C . B l3， C l3， l3 .直线 l1， l2， l3在同一平面内方法二 (重合法) l1 l2 A， l1和 l2确定一个平面 . l2 l3 B， l2， l3确定一个平面 . A
9、l2， l2 ， A .6 A l2， l2 ， A .同理可证 B ， B ， C ， C .不共线的三个点 A， B， C 既在平面 内，又在平面 内平面 和 重合，即直线 l1， l2， l3在同一平面内命题角度 2 点共线、线共点问题例 3 如图所示，已知 E， F， G， H 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AB， BC， CC1， C1D1的中点求证： FE， HG， DC 三线共点考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 如图所示，连接 C1B， GF， HE，由题意知HC1 EB，且 HC1 EB，四边形 HC1BE 是平行四边形， HE C1B
10、.又 C1G GC， CF BF， GF C1B，且 GF C1B.12 GF HE，且 GF HE， HG 与 EF 相交设交点为 K， K HG， HG平面 D1C1CD， K平面 D1C1CD. K EF， EF平面 ABCD， K平面 ABCD， K(平面 D1C1CD平面 ABCD) DC， EF， HG， DC 三线共点反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，7然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面
11、的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练 3 已知 ABC 在平面 外，其三边所在的直线满足AB P， BC Q， AC R，如图所示，求证： P， Q， R 三点共线考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 方法一 AB P， P AB， P平面 .又 AB平面 ABC， P平面 ABC.由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q， R 也在平面 ABC 与平面 的交线上 P， Q， R 三点共线方法二 AP AR A，直线 A
12、P 与直线 AR 确定平面 APR.又 AB P， AC R，平面 APR平面 PR. B平面 APR， C平面APR， BC平面 APR. Q BC， Q平面 APR，又 Q ， Q PR， P， Q， R 三点共线.1用符号表示“点 A 在直线 l 上， l 在平面 外” ，正确的是( )A A l， l B A l， lC Al， l D Al， l考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析 点 A 在直线 l 上， A l. l 在平面 外， l .故选 B.82满足下列条件，平面 平面 AB，直线 a ，直线 b 且 a AB， b AB 的图形
13、是( )考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 D3下列推理错误的是( )A A l， A ， B l， B lB A ， A ， B ， B ABC l ， A lAD A， B， C ， A， B， C ，且 A， B， C 不共线 与 重合考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 C解析 当 l ， A l 时，也有可能 A ，如 l A，故 C 错4如图， l， A， B ， C ，且 Cl，直线 AB l M，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )A点 A B点 BC点 C 但不过点 M D点 C 和点 M
14、考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析 因为平面 过 A， B， C 三点， M 在直线 AB 上，所以 与 的交线必通过点 C 和点M.5.如图，已知 D， E 是 ABC 的边 AC， BC 上的点，平面 经过 D， E 两点，若直线 AB 与平9面 的交点是 P，则点 P 与直线 DE 的位置关系是_考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 P直线 DE解析 因为 P AB， AB平面 ABC，所以 P平面 ABC.又 P ，平面 ABC平面 DE，所以 P直线 DE.1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理
15、解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1下列有关平面的说法正确的是( )A平行四边形是一个平面B任何一个平面图形都是一个平面C平静的太平洋面就是一个平面D圆和平行四边形都可以表示平面考点 平面的概念、画法及表示题点 平面概念的应用答案 D解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故 A 项不正确；平面图形和平面是两
16、个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故 B 项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故 C 项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故 D 项正确102.如图所示，用符号语言可表示为( )A m， n ， m n AB m， n ， m n AC m， n ， Am， AnD m， n ， A m， A n考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析 与 交于 m， n 在 内， m 与 n 交于点 A，注意符号语言的正确运用，故选 A.3如果空间四点 A， B， C， D 不共面，那么下列判断中正确的
17、是( )A A， B， C， D 四点中必有三点共线B A， B， C， D 四点中不存在三点共线C直线 AB 与 CD 相交D直线 AB 与 CD 平行考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面4空间中四点可确定的平面有( )A1 个 B3 个C4 个 D1 个或 4 个或无数个考点 平面的基本性质题点 确定平面问题答案 D解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定 4 个平面5已知平面 与平面 ， 都相交，则这
18、三个平面可能的交线有( )A1 条或 2 条 B2 条或 3 条C1 条或 3 条 D1 条或 2 条或 3 条考点 平面的基本性质 题点 点共线、线共点、点在线上问题11答案 D解析 当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有 1 条交线；当平面 和 平行时，它们的交线有 2 条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有 3 条交线6空间四点 A， B， C， D 共面而不共线，那么这四点中( )A必有三点共线 B可能有三点共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线考点 平面的基本性质 题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析 如图(1)(2)所示，A，C，D 均不正确，只有 B 正
19、确7在空间四边形 ABCD 中，在 AB， BC， CD， DA 上分别取 E， F， G， H 四点，如果 GH， EF 交于一点 P，则( )A P 一定在直线 BD 上B P 一定在直线 AC 上C P 在直线 AC 或 BD 上D P 既不在直线 BD 上，也不在 AC 上考点 平面的基本性质 题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析 由题意知 GH平面 ADC.因为 GH， EF 交于一点 P，所以 P平面 ADC.同理， P平面ABC.因为平面 ABC平面 ADC AC，由公理 3 可知点 P 一定在直线 AC 上8如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 为
20、DB 的中点，直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M，则下列结论错误的是( )A C1， M， O 三点共线 B C1， M， O， C 四点共面C C1， O， A， M 四点共面 D D1， D， O， M 四点共面考点 平面的基本性质 题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 D12解析 如图所示，连接 A1C1， AC，则 AC BD O， A1C平面 C1BD M，三点 C1， M， O 在平面 C1BD 与平面 ACC1A1的交线上，即 C1， M， O 三点共线，选项 A，B，C 均正确，D 不正确二、填空题9已知点 A，直线 a，平面 . A a， a A ； Aa， a A
21、； A a， a A .其中说法正确的个数是_考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 0解析 中“ a ”符号不对；中 A 可以在 内，也可在 外，故不正确；中“A ”符号错10若直线 l 上有两个点在平面 内，则下列说法中正确的序号为_直线 l 上至少有一个点在平面 外；直线 l 上有无穷多个点在平面 外；直线 l 上所有点都在平面 内；直线 l 上至多有两个点在平面 内考点 平面的基本性质题点 线共面问题答案 11空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是_考点 平面的基本性质题点 确定平面问题答案 1 或 3解析 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定
22、1 个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定 3 个平面或 1 个平面12若直线 l 与平面 相交于点 O， A， B l， C， D ，且 AC BD，则 O， C， D 三点的位置关系是_考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题13答案 三点共线解析 AC BD， AC 与 BD 确定一个平面，记作平面 ，则 CD. l O， O ，又 O AB， AB ， O ， O直线 CD， O， C， D 三点共线三、解答题13已知 a， b， c， d 是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线 a， b， c， d 共面考点 平面的基本性质题点 线共面问题证明 (1)无三
23、线共点情况，如图所示，设a d M， b d N， c d P， a b Q， a c R， b c S， a d M， a， d 可以确定一个平面 ， N d， Q a， N ， Q ， NQ ，即 b ，同理 c ， a， b， c， d 共面(2)有三线共点的情况，如图所示，设 b， c， d 三线相交于点 K，与直线 a 分别相交于点 N， P， M 且 Ka， Ka， K 和 a 确定一个平面，设为 . N a， a ， N ， NK ，即 b ，同理 c ， d ， a， b， c， d 共面，由(1)(2)可知 a， b， c， d 共面14四、探究与拓展14如果一条直线与一个平
24、面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_考点 平面的基本性质题点 平面基本性质的其他简单应用答案 36解析 正方体的一条棱长对应着 2 个“正交线面对” ，12 条棱长共对应着 24 个“正交线面对” ；正方体的一条面对角线对应着 1 个“正交线面对” ，12 条面对角线对应着 12 个“正交线面对” ，共有 36 个15已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 D1C1， C1B1的中点，AC BD P， A1C1 EF Q.求证：(1) D， B， F， E 四点共面；(2
25、)若 A1C 交平面 DBFE 于点 R，则 P， Q， R 三点共线考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 如图(1)因为 EF 是 D1B1C1的中位线，所以 EF B1D1，在正方体 AC1中， B1D1 BD，所以 EF BD，所以 EF， BD 确定一个平面，即 D， B， F， E 四点共面(2)在正方体 AC1中，设平面 A1ACC1为 ，平面 BDEF 为 .因为 Q A1C1，所以 Q ，又 Q EF，所以 Q ，则 Q 是 与 的公共点，同理， P 点也是 与 的公共点，所以 PQ.又 A1C R，所以 R A1C，所以 R ，且 R ，故 R PQ.所以 P， Q， R 三点共线
