1、山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、(德州市 2016 届高三上学期期末) 32()fxa,若 (1)3f,则函数在 1x处的切线方程为A 35yx B 35yC D x2、(济南市 2016 届高三上学期期末)已知 R 上的奇函数 满足 ,则不等式fx2f的解集是213lnfxx12A. B. C. D. 0,e0,e3、(济宁市 2016 届高三上学期期末)已知函数 ,且 ,则()sincofxx()3ffx的值是( )x2tanA. B. C. D.4343434、(胶州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 21=cosfxx,
2、 f是函数 fx的导函数,则 fx的图象大致是5、(临沂市 2016 届高三上学期期末)已知函数 在 处取得极大值,321fxaxbc1x在 处取得极小值,满足 ,则 的取值范围是2x12,0,xx4A. B. C. D. 0,3316、(青岛市 2016 届高三上学期期末)若 在区间 上取值,则函数,ab0,3在 R 上有两个相异极值点的概率是3214fxabxA. B. C. D. 14324327、(泰安市 2016 届高三上学期期末)设 在定义域内可导,其图象如右图所示,则导函数fx的图象可能是fx8、(威海市 2016 届高三上学期期末)设函数 ,若 的极大21lnfxmx2xf是值
3、点,则 m 的取值范围为A. B. C. D. 1,21,02,0,29、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)若函数 在区间( )上为单调递增函数,则xafe,实数 的取值范围是aA. B. C. D. 0,0,e,1,10、(烟台市 2016 届高三上学期期末)已知函数 ,当 时,不等式2xfe1,恒成立,则实数 m 的取值范围为fxA. B. C. D. 1,e1,e,e,e参考答案1、A 2、B 3、A 详细分析:因为 ,所以 ,所以()cosxin3sixcof1tan2x,故选 A.2tan14tx4、A 5、B6、C 7、B 8、A 9、C 10、D二、填空题1、(滨州市 201
4、6 届高三上学期期末)设函数 为 的导函数,定义(),()xffefx, , ,经计算: ,1()fxf21()fxf1()nnfxf(*)N1()xfe, ,根据以上事实,由归纳推理可得:当 时, 2xe3xe *n()nf2、(胶州市 2016 届高三上学期期末)一位数学老师希望找到一个函数 yfx,其导函数=lnfx,请您帮助他找一个这样的函数 .(写出表达式即可,不需写定义域)参考答案1、 2、 )(ln)(RCxxf 三、解答题1、(滨州市 2016 届高三上学期期末)设函数 ,其中 0。21()lnfxaxa(I)若曲线 在点( 1,f (1)处的切线方程为 ,求 的值;y()fx
5、 yb(II)讨论函数 的单调性;(III)设函数 ,如果对于任意的 ,都有 恒成立,求实数2()3gx,(01xt()fxg的取值范围。a2、(德州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 2()ln)()fxaxR(I)当 14a时,求函数 ()yfx的单调区间;(II)若对任意实数 b(1,2),当 1,b时,函数 ()fx的最大值为 ()fb,求 a 的取值范围 (备注: ln20 69)3、(菏泽市 2016 届高三上学期期末) 已知函数 2=ln0.fxax(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,=yfx1Pf, y求函数 的单调区间;(2)若对于 都有 成立,试求 a 的取值范
6、围;0,x21fxa(3)记 ,当 时,函数 在区间 上有两个零点,求实.gfbRgx1,e数 b 的取值范围.4、(济南市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .21lnfxaxaR(I) 时,求函数 的零点个数;1ayfx(II)当 时,若函数 在区间 上的最小值为 ,求 a 的值;01,e2(III)若关于 的方程 有两个不同实根 ,求实数 a 的取值范围并证明:x2fax1,x.21xe5、(济宁市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .22ln10fxaxa(1)若函数 的图象在点 处的切线与 x 轴平行,求实数 a 的值;fx2,f(2)讨论 的单调性;(3)若 恒成立,求实数
7、 的最大值.2fxaxbab6、(胶州市 2016 届高三上学期期末)已知函数 2=-3xfxe的定义域为 -2t, ,设-2=fm, ftn.()试确定 t 的取值范围,使得函数 fx在 -2t, 上为单调函数;()求证: ;()若不等式 72ln1xfkke为 正 整 数 对任意正实数恒成立,求的最大值,并证明 14ln.9(解答过程可参考使用以下数据 l7.95ln82.0, )7、(莱芜市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .l,fxaxR(I)当 时,求函数 的单调区间;1afx(II)设 ,若函数 上为减函数,求实数 a 的最小值;lnfgx1,g在(III)在区间 上,若存在
8、 ,使得 成立,求实数 a 的取值范围.2,e0x0maxxg8、(临沂市 2016 届高三上学期期末)已知函数 的切线方程为21axbff,.30xy(1)求函数 的解+析+式;fx(2)设 ,当 时,求证: ;lng1,gxf(3)已知 ,求证: .0ab2lnab9、(青岛市 2016 届高三上学期期末)已知函数 ( a 为实常数).2lnfxaxb(I)若 的单调区间;2,3abfx, 求(II)若 ,求函数 在 上的最小值及相应的 x 值;20e, 且 f1,e(III)设 b=0,若存在 ,使得 成立,求实数 a 的取值范围.1,x2xa10、(泰安市 2016 届高三上学期期末)
9、已知函数 在点 处切线方程为lnfx,tf21yx(I)求 a 的值(II)若 ,证明:当 时,2k1x31fxkx(III)对于在 中的任意一个常数 b,是否存在正数 ,使得:0,10012201fxbex11、(威海市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .xfa(I)若 处的切线过点 ,求 a 的值;0fx在 2,1(II)讨论函数 上的单调性;1在 ,(III)令 ,若 ,证明: .2aFxfx, 1212Fx12x12、(潍坊市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .ln0af(I)求函数 上的最小值.1fx在 ,(II)若存在三个不同的实数 ,满足方程 .1,23ixfxa(i
10、)证明: ;20,1af(ii)求实数 的取值范围及 的值.a123x13、(烟台市 2016 届高三上学期期末)已知函数 (e 为自然对数的底数,xfe=2.71828), .,2agxbR(1)若 ,求 上的最大值 的表达式;,1hf01hx在 , a(2)若 时,方程 上 恰 有 两 个 相 异 实 根 , 求 实 数 b 的 取 值 范 围 ;4a2xg在 ,(3)若 ,求使 的图象恒在 图象上方的最大正整数 a.15,2bNfgx14、(枣庄市 2016 届高三上学期期末)已知函数 .44ln1,fxR(1)求曲线 在点 处的切线方程;yfx1,f(2)若当 时, 恒成立,求实数 的
11、取值范围;10a(3) 的极小值为 ,当 时,求证:fxa.( 为自然对数的底)140ae2.718e参考答案1、2、3、详细分析:()直线 2yx的斜率为 1函数 ()fx的定义域为 (0,),因为 2()afx, 所以 ()af,所以 1a所以 ln 2x由 ()0fx解得 ;由 ()0f解得 x所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 (0,2) 3 分() 22()axfx,由 ()0fx解得 2a;由 ()0fx解得 2xa所以 在区间 (, 上单调递增,在区间 (, )上单调递减所以当 x时,函数 )fx取得最小值, minyf因为对于 (0,都有 (21)a成立,所以 2()1)a即
12、可则 2ln21)aa 由 l解得 0e所以 的取值范围是 (0, )e 8 分()依题得 2lngxxb,则2()xg由 ()0解得 1;由 ()0解得 1所以函数 gx在区间 , 为减函数,在区间 (, )为增函数10 分又因为函数 ()在区间1, e上有两个零点,所以1(0,) .ge解得 211be 所以 b的取值范围是 2(1, e 13 分 4、解:(I)当 时 a 22 1()ln,()0xfxxfx所以函数 在 上单调递增;2 分yf0,又因为 所以函数 有且只有一个零点3 分3(1)4ln2f()yfx(II)函数 的定义域是 21l()fxax),( 0当 时, 0a2(1
13、)() ()xaf x令 ,即 ,)(xf2()()() 0axf所以 或 4 分1当 ,即 时, 在1,e上单调递增,10a)(xf所以 在 1,e上的最小值是 ,解得 ;5 分)(xf 12faa当 ,即 时, 在 上的最小值是 ,即a)(x,e1()ln2f令 , ,ln2a1()ln2h 20,ha可 得在 单调递减,在 单调递增;1,e,而 , ,不合题意; 7 分()2h1()2h当即 时, 在 上单调递减,ea10exf,e所以 在 上的最小值是 ,解得 ,)(xf, 2()1(1)e2a26e0a不合题意 综上可得 8 分2a(III) 因为方程 有两个不同实根 ,即 有两个不
14、同实根 ,1fx12,xlnx12,x得 ,令ln1xalnl,在 上单调递增, 上单调递减0,e,e时, 取得最大值 ,9 分xelx1由 ,得当 时, ,而当 , , 图像如下1,01,x0x 即当 时 有两个不同实根 10 分10,ae1ae21fxa12,x满足 ,11lnx22lnx两式相加得: ,两式相减地1212la2211lnxax不妨设 ,要证 ,只需证 ,1221lnx12x21xe1221lnlnx即证 ,22111lnxx设 ,令 ,12 分21xt24lnln211tFtt则 ,函数 在 上单调递增,而 2 240tFttFt,10F ,即 14 分0t21ln.tx
15、e5、6、解:()因为 xxx eeexf )1()32()3()2 1 分令 ()0fx,得: 1或 0;令 0f,得: 所以 在 ,)(上递增,在 (,1)上递减3 分要使 ()fx在 2t为单调函数,则 2t所以 t的取值范围为 (,0 4 分()证:因为 )fx在 ),(1上递增,在 (0,1)上递减,所以 ()f在 1处取得极小值 e又 23fe,所以 ()fx在 2,)的最小值为 (2)f6 分从而当 t时, tff,即 mn 8 分() ()72(l1)xfkxe等价于 241(ln)xkx即 14ln0k9 分记 ()gxkx,则 22(1)1 ,由 ()0x,得 k,所以 g
16、在 ,)上单调递减,在 (1,)k上单调递增,所以 ()16ln)xk0对任意正实数 x恒成立,等价于 6ln()0k,即 l(1)0k11 分记 ()1hk,则 261()0hx,所以 在 ,)上单调递减,又 (6)2ln70h, 13(ln807h,所以 k的最大值为 12 分当 时,由 2416(l)xx令 3x,则 ln914 分7、8、解:(1)将 代入切线方程得 , ,1 分1x2y21)(abf化简得 . ,2 分4ab22)1()(xbaxf,2)1( bf解得: . . 4 分 ,ba1)(2xf(2)由已知得 在 上恒成立,ln2x,化简 ,即 在 上恒成立.5 分)1(
17、02ln2x),1设 , , 7 分 l2xxh)(h ,即 , 21,0nx 在 上单调递增, , 在 上恒成立 )(x),10)(x)(xfg),1.分 (3) , ,由()知有 , 12 分ba01a2ln()1ba整理得 ,当 时, . 13 分2lnb02lb9、解:() 时, ,,3ab2()ln3fxx定义域为 ,(0,)()1(2xfx 在 上, ,当 时,,2f(0,)()0fx当 时,()x()x所以,函数 的单调增区间为 ;单调减区间为 4 分f(2,)(,2)()因为 ,所以0b)lnfxax, ,2()(xaf1,e22,ae(i) 若 , 在 上非负(仅当 时, )
18、,)f, ,1x()0fx故函数 在 上是增函数,(x1e此时 6 分min()(1)fxf(ii)若 ,2 2 ,0, eaae,2()()()()xxf 1xe当 时, , 2ax()0fx2 ,2aea当 时, ,此时 是减函数; 1()f()fx当 时, ,此时 是增函数2axe()0fx()f故 9 分min()()ln()22aaff() ,0b()lfxx不等式 ,即 2a2n()ax可化为 (ln)xx因为 , 所以 且等号不能同时取,1el1所以 ,即 ,因而 ( )11 分lnxln0x2lnxa1,e令 ( ),又 ,2()lg1,e2()ln)xgx当 时, , ,1,
19、xe0,lnx2ln0x从而 (仅当 时取等号),所以 在 上为增函数,()g1)(xg1,e故 的最小值为 ,所以 实数 的取值范围是 14 分x()ga)10、11、12、13、14、.解:(1) .1 分33()4ln4fxxa则 .又 ,1a(1)0f所以,曲线 在点 处的切线方程为 .3 分yfx,)f (14)yax(2)解法 1:由(1)得 .3()4ln1)fxa 当 时,因为 为增函数,所以当 时,4ay 1x,因此 .lnl1x0()0f当且仅当 ,且 时等号成立.所以 在 上为增函数.x,因此,当 时, .()f所以, 满足题意.6 分14a 当 时,由 ,得 . 解得
20、.3()4ln1)0fxa1ln4xa14eax因为 ,所以 ,所以14a0a04e.a当 时, ,因此 在 上为减函数.(,e)x()fx()fx14,e)a所以当 时, ,不合题意.14,a10f综上所述,实数 的取值范围是 .9 分(,4解法 2: . 44()ln(1)0fxax41ln()0xa令 ,则 .4 分4lg 5(g 当 时, . 由 ,得 . 因此,当 时, ,14a1x41x()0gx当且仅当 ,且 时等号成立.所以 在 上为增函数.()gx1,)因此,当 时, ,此时 .(1)0gx()0fx所以, 满足题意.7 分4a 当 时,由 ,得 .当 时, ,1()0gx4
21、a14(,)xa()0gx因此 在 上为减函数 .所以,当 时, .()gx4,a, 1此时 ,不合题意. 综上,实数 的取值范围是 .9 分0fa(,4方法 3:当 时, 满足题意.1x()f时, .4 分1x44()ln(1)0fxax4ln1xa令 ,则 , .上述不等式可化为 .4ttl()t令 ,则 在 上恒成立. .l()1)ht()ah1,)2n14tht令 ,则当 时, , 在 上为增函数.lnpt1(0pt()pt,)因此,当 时 , .1t()10pt所以,当 时 , ,所以 在 上为增函数.6 分24()th()ht1,)令 ,由导数定义得 .()lnqtt1limtq1
22、lnit又 ,所以 . 1l)|t nlit因此,当 时, 恒大于 .8 分(4)ht4所以,实数 的取值范围是 .9 分a1,(3) 由 ,得 , .3()4ln)0fxa1ln4xa14eax当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数. 14(0,e)a()fx()f 14(,)a()0fx()fx所以 的极小值 .10 分fx14eaf41ea由 ,得 .()a41e0a当 时, , 为增函数;当 时, , 为减函数.所以0,()()a1(,)4a()0a().11 分1()=4a.141()e)a1414e(e)aa14ea下证: 时, .0140a.12 分14ea14ea1ln()4a1ln()04a令 ,则 .1()ln4raa2141()ar当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数.所以0,()0r(,)()0ra(),即1()=4ra1ln4.a所以 ,即 所以14e0a14()e)0.a14()e).aa综上所述,要证的不等式成立.14 分