1、数学试卷（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）|1Ax|32xBABA B C D(01)，()(1)，(0)，2.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）A B C D4434243.复数 ， 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）2i1zA B 的共轭复数为5z31i2C 的实数与虚部之和为 D 在平面内的对应点位于第一象限 z14.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）31log2a2l3b3cabcA B C. Dccab5.
2、若执行如图所示的程序图，则输出 的值为（ ）SA B C. D131415166.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公差为（ ）nanS63a812SnaA B C. D1127.已知 ， 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）mA若 ， ， ，则n mnB若 ， ，则 C. 若 ， ，则nnD若 ， ， ，且 ， ，则mlmlnl8.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（ ）A B C. D101214169.
3、已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则 （ ）xy10xy zxmy0mA B C. D123410.已知函数 的最小正周期为 ，将曲线 向左平移 个单位之后，()sin)fx2T()yfx4T得到曲线 ，则函数 的一个单调递增区间为（ ）i26y()fxA B C. D13， 312，32， 23，11.过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ：2196xyP1C2(5)4xy2C（ ）作切线，切点分别为 ， ，若 的最小值为 ，则 （ 22(5)xr0MN2PN58r）A B C. D123212.已知函数 在 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（ 3210()axxfe， ，
4、5a）A B C. D2ln)，0ln2，(0，ln2)，二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ，若 ，则实数 ()ak，(3)b，(2)ab k14. 的展开式中， 的系数为 （用数字作答） 6(2)xy4xy15.若在各项都为正数的等比数列 中， ， ，则 na1239a201816.已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线 ： ，点 在抛物线 上，点C2ypx0Fl54xMC在准线 上，若 ，直线 的倾斜角为 ，则 AlMAl3三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ，角 ， ， 所
5、对的边分别为 ， ， ，且 .ABC Cabcosc()cosABa（1）求角 的值；（2）若 的面积为 ， ，求 的值. 313bc18. 随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续 亿立方米的年增量.进口 LNG 和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价30资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在 亿方以内.为了80测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于 2016 年 8 月某日起连续 天监测空气质2
6、量指数（AQI） ，数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格空气质量指数（ ）3/gm0,5),10),150),20),25)天数（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在 以及 的等级中抽取 天进行调14研，再从这 天中任取 天进行空气颗粒物分析，记这 天中空气质量指数在 的天数为 ，14 405X求 的分布列；X（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年 天中随机抽取 天，记空气质量指数在 以365510上（含 ）的天数为 ，求 的期望.150Y19. 已知三棱锥 中， 垂直平分 ，垂足为 ， 是面积为 的等边三角形，DABCEADEABC 3， ， 平面 ，垂足为 ， 为线段 的中
7、点.60AB3FBFO（1）证明： 平面 ；ABDOC（2）求 与平面 所成的角的正弦值.CF20. 已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，若椭圆上一点 满足C21xyab0a1F2P，且椭圆 过点 ，过点 的直线 与椭圆 交于两点 .124PF32，(40)R，lCEF（1）求椭圆 的方程；（2）过点 作 轴的垂线，交椭圆 于 ，求证： ， ， 三点共线.ExCN2F21. 已知函数 .2()lnfx（1）求函数 的极值；fx（2）若 ， 是方程 （ ）的两个不同的实数根，求证：122()afx0a.lnln0x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
8、22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，xOy1CcosinxyO轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为x 2C.2cos4（1）求曲线 的普通方程和曲线 的普通方程；1C2C（2）若曲线 ， 相交于 , 两点，求线段 的长度.2ABAB23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()108fx（1）解关于 的不等式 ；()21fx（2）若 ，求实数 的取值范围.(43)4fafaa参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 1
9、4. 15. 16.41020185三、解答题17.解：（1） .cos()cosbABa由正弦定理，得 .insi(in)cosCAB .sincos2coAB.()2ico又 ， .ABCsin()siABC又 ， .又 ， .01co2(0)3B（2）据（1）求解知 ， .3222cosbaac又 ， ，sinSacB1c又 ，据解，得 .13b7a18.解：（1）所求表格数据如下：空气质量指数（ ）3/gm0,5),10),150),20),25)天数 481（2）依题意，从空气质量指数在 以及 的天数分别是 ；10512010,4故 的可能取值为 ， ， ， ， ；X023， ， ，
10、14(0)CP1403()CPX24107()CPX， .13408()X4102()故 的分布列为： 01234P14070148210（3）依题意，任取 天空气质量指数在 以上的概率为 .50320由二项分布知识可知， ，故 .32YB，()4EY19.（1）证明： 垂直平分 ，垂足为 ， .EADABD ， 是等边三角形.60DAB又 是等边三角形.C 是 中点， ， .OABCO ， ， 平面 ， 平面 .DOCCODABDOC（2）解：由（1）知 ，平面 平面 .因为平面 与平面 的交线为 .AB 平面 . .CFFC又等边 面积为 ， 33O又 ， 是 中点.3DD如图建立空间直角
11、坐标系 ，xyz， ， ，(10)B，(30)C，3()2D，3(0)24F，所以 ， ，4F1B1BD，设平面 的法向量为 ，则D()nxyz，取 ，则 ， .302nBCxyz 3x1z即平面 的一个法向量为 .D(1)，所以 与平面 所成角的正弦值为 .CFB312CFn20.解：（1）依题意， ，故 .124PFa将 代入 中，解得 ，故椭圆 ： .32，24xyb3bC2143xy（2）由题知直线 的斜率必存在，设 的方程为 .ll()yk点 ， ， ，联立 得 .1()Exy2()Fxy1()Nxy，2(4)31ykx2234()1xk即 ， ， ，22(34)640kk212k2
12、16由题可得直线 方程为 ，F211()yx又 ， .1(4)ykx2(4)ykx直线 方程为 ，N211 1(4)kx令 ，整理得0y212112124()88xxx2226413348kk，即直线 过点 .2431kFN(10)，又椭圆 的左焦点坐标为 ，三点 ， ， 在同一直线上.C2()2F21.解：（1）依题意，211xfx()1x故当 时， ，当 时，(0)x，()0f()，()0f故当 时，函数 有极小值 ，无极大值.1fx10f（2）因为 ， 是方程 的两个不同的实数根.1x22()afx 两式相减得 ，解得12ln0()ax 2121()ln0x21lnxa要证： ，即证：
13、，即证： ，12llna12a2112()lnx即证 ，22111 2()lnxxx不妨设 ，令 .只需证 .221tx1lntt设 ， ；21()lngtt211()lnlngttt令 ， ， 在 上单调递减，()lhtt 2() 0httt ()ht)， ， ， 在 为减函数， .()1t0()0gt()g1)， ()10gt即 在 恒成立，原不等式成立，即 .2lnt12lnlnxa22.解：（1）曲线 的普通方程为 .1C21xy曲线 的普通方程为 .2 0xy（2）据 得 或21xy1x所以线段 的长度为AB22(0)()23.解：（1） 可化为 ，()18fx1x所以 ，2(所以 ，所以所求不等式的解集为 .1x12x（2）因为函数 在 上单调递增，()1208fx)， ， .431a24a 2(43(4)1fafa所以 ()1所以 ，所以 ，所以 .(420a42a6a即实数 的取值范围 是 (6)，
