1、专项限时集训(三) 以构建函数模型、解三角形、动点轨迹为背景的实际问题(对应学生用书第 117 页)(限时：60 分钟)1(本小题满分 14 分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图 4 是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4 m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中 A， B 处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置 (即无高度差)2图 4(1)在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P， Q 两点，且与水渠的一边的夹角为 ，将线段 PQ 的长度 l 表示为 的函数；(0 2)(2)若从南面漂来一根长为 7 m 的笔直的竹竿(粗细
2、不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由. 【导学号：56394096】解 (1)由题意， PA ， QA ，2sin 4cos 所以 l PA QA，即 l . 4 分2sin 4cos (0 2)(2)设 f ( ) ， .2sin 4cos (0， 2)由 f ( ) ， 6 分2cos sin2 4sin cos2 2 22sin3 cos3 sin2 cos2令 f ( )0，得 tan 0 . 8 分22且当 (0， 0)， f ( )0；当 ， f ( )0，( 0， 2)所以， f ( )在(0， 0)上单
3、调递减；在 上单调递增，( 0， 2)所以，当 0时， f ( )取得极小值，即为最小值当 tan 0 时，sin 0 ，cos 0 ，22 13 23所以 f ( )的最小值为 3 ， 12 分6即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 3 m.6因为 3 7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.14 分62(本小题满分 14 分)(2017江苏省宿迁市三模)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图5 所示圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切( E 为上切点)，与左右两边相交( F， G 为其中两个交点 )，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域
4、已知圆的半径为 1 m 且 ，设 EOF ，透光区域的面积为 S.ABAD 12图 5(1)求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边 AB的长度解 (1)过点 O 作 OH FG 于 H， OFH EOF ；又 OH OFsin sin ，FH OFcos cos ， S4 S OFH4 S 扇形 OEF2sin cos 4 sin 122 2 ； ，sin ， ；ABAD 12 12 6， 2) S 关于 的函数关系式为 Ssin 2 2 ， ； 6 分 6， 2)(2)由 S 矩形 ADAB22sin 4sin
5、，则透光区域与矩形窗面积比值为 ，2sin cos 24sin cos 2 2sin 设 f ( ) ， ，cos 2 2sin 6， 2)则 f ( ) sin 12 sin cos 2sin2sin cos sin32sin2sin cos2 cos 2sin2 ； 10 分cos (12sin 2 )2sin2 ， sin 2 ， 6 2 12 12 sin 2 0，12 f ( )0， f ( )在 上是单调减函数； 6， 2)当 时 f ( )取得最大值为 ， 6 6 34此时 AB2sin 1(m)；当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，所求 AB 的长度为 1 m14 分3(本小
6、题满分 14 分)(扬州市 2017 届高三上学期期中)如图 6，某市在海岛 A 上建了一水产养殖中心在海岸线 l 上有相距 70 公里的 B、 C 两个小镇，并且 AB30 公里， AC80公里，已知 B 镇在养殖中心工作的员工有 3 百人， C 镇在养殖中心工作的员工有 5 百人现欲在 BC 之间建一个码头 D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 12.图 6(1)求 sin ABC 的大小；(2)设 ADB ，试确定 的大小，使得运输总成本最少解 (1)在 ABC 中，cos ABC ，AB2 BC2 AC22ABBC 900 4 900
7、640023070 17所以 sin ABC . 4 分437(2)在 ABD 中，由 得： ADsin ABD ABsin BDsin BAD 30sin AD437.BD 17sin 437cos 所以 AD ， BD . 6 分12037sin 12037 cos 307sin sin 12037 cos sin 307设水路运输的每百人每公里的费用为 k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为 2k 元，则运输总费用 y(5 CD3 BD)2k8 kAD2 k5(70 BD)3 BD4 AD20 k 20 k .35 2(1237 cos sin 37) 41237sin 35 67 24
8、37 2 cos sin 令 H( ) ，则 H( ) ，令 H( )0，解得：cos 2 cos sin 1 2cos sin2 ， . 10 分12 3当 0 时， H( )0， H( )单调递减； 3当 时， H( )0， H( )单调递增， 3 2 时， H( )取最小值，同时 y 也取得最小值 3此时 BD ，满足 0 70，所以点 D 落在 BC 之间12037 cos sin 307 907 907所以 时，运输总成本最小. 14 分 34(本小题满分 16 分) 如图 7 所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面
9、的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC45，根据以上数据计算 cos 的值图 7解 由 DAC15， DBC45可得 BDA30， DBA135， BDC90(15 )3045 ， 4 分由内角和定理可得 DCB180(45 )4590 ，根据正弦定理可得 ，即 DB100sin 15100sin(4530)25 ( 1)，50sin 30 DBsin 15 2 310 分又 ，即 ，得到 cos 1.25sin 45 252 3 1sin 90 25sin 45252 3 1cos 316 分5(本小题满分 16 分)(镇江市 2017
10、 届高三上学期期末)如图 8，某公园有三条观光大道AB， BC， AC 围成直角三角形，其中直角边 BC200 m，斜边 AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB， BC， AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D， E， F.图 8(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设 CEF ，乙丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且 DEF ，请将甲乙之 3间的距离 y 表示为 的函数，并求甲乙之间的最小距离解 (1)依题意得 BD300， BE1
11、00，在 ABC 中，cos B ， B ， 2 分BCAB 12 3在 BDE 中，由余弦定理得：DE2 BD2 BE22 BDBEcos B300 2100 22300100 70 000，12 DE100 . 6 分7即甲、乙两人之间的距离为 100 m 7 分7(2)由题意得 EF2 DE2 y， BDE CEF ，在直角三角形 CEF 中， CE EFcos CEF2 ycos ， 9 分在 BDE 中，由正弦定理得 ，即 ，BEsin BDE DEsin DBE 200 2ycos sin ysin 60 y ，0 ， 12 分10033cos sin 503sin( 3) 2所以
12、当 时， y 有最小值 50 . 14 分 6 3故甲、乙之间的最小距离为 50 m 16 分36(本小题满分 16 分)(2017江苏省盐城市高考数学三模)一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图 9 中实线所示 ABCD 是等腰梯形， AB20 米， CBF (F 在 AB的延长线上， 为锐角)圆 E 与 AD， BC 都相切，且其半径长为 10080 sin 米 EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin 的值设计为多少时，立柱 EO 最矮？ 【导学号：56394097】图 9解 如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角
13、坐标系因为 B(10,0)， kBCtan ，所以直线 BC 的方程为： ytan (x10)，即 xtan y10tan 0， 4 分设圆心 E(0， t)(t0)，由圆 E 与直线 BC 相切，得 10080sin | t 10tan |1 tan2 ，t 10tan 1cos 所以 EO t ， 8 分100 90sin cos 令 f ( ) ， ，100 90sin cos (0， 2)则 f ( ) ，100(sin 910)cos2设 sin 0 ， 0 .列表如下：910 (0， 2) (0， 0) 0 ( 0， 2)f ( ) 0 f ( ) 减 极小值 增所以当 0，即 sin 时， f ( )取最小值. 15 分910所以当 sin 时，立柱 EO 最矮. 16 分910
