1、专题九 立体几何命题观察高考定位(对应学生用书第 39页)1. (2017江苏高考)如图 91，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O的体积为 V2，则 的值是_V1V2图 91设球 O的半径为 R，32球 O与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 R. .V1V2 R22R43 R3 322(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4的圆锥和底面半径为 2，高为 8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半
2、径为_设新的底面半径为 r，由题意得75 242 28 r24 r28，13 13 r27， r .73(2014江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V2设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ，得 ，则 .32 S1S2 94 r21 r2 94 r1r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，则 ，所以 .h1h2 23 V1V2 r21h1 r2h2 324. (2013江苏高考)如图 92，在三棱柱 A1B1C1 AB
3、C中， D， E， F分别是 AB， AC， AA1的中点设三棱锥 F ADE的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1 ABC的体积为 V2，则 V1 V2_.图 92124 设三棱柱的底面 ABC的面积为 S，高为 h，则其体积为 V2 Sh.因为 D， E分别为AB， AC的中点，所以 ADE的面积等于 S.又因为 F为 AA1的中点，所以三棱锥 F ADE的14高等于 h，于是三棱锥 F ADE的体积 V1 S h Sh V2，故 V1 V2124.12 13 14 12 124 1245(2017江苏高考) 如图 93，在三棱锥 A BCD中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面B
4、CD，点 E， F(E与 A， D不重合)分别在棱 AD， BD上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC. 【导学号：56394060】图 93证明 (1)在平面 ABD内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB.又因为 EF平面 ABC， AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，BC平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD， BC AB B， AB平面 ABC， BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平
5、面 ABC，所以 AD AC.6. (2016江苏高考)如图 94，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E分别为 AB， BC的中点，点F在侧棱 B1B上，且 B1D A1F， A1C1 A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.图 94证明 (1)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1C1 AC.在 ABC中，因为 D， E分别为 AB， BC的中点，所以 DE AC，于是 DE A1C1.又因为 DE平面 A1C1F， A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1A平面
6、A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1A A1C1.又因为 A1C1 A1B1， A1A平面 ABB1A1， A1B1平面 ABB1A1， A1A A1B1 A1，所以 A1C1平面ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1 B1D.又因为 B1D A1F， A1C1平面 A1C1F， A1F平面 A1C1F， A1C1 A1F A1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.命题规律观近几年江苏的高考题，立体几何的客观题以柱、锥、球为载体考查体积、表面积为主，属容易题；解答题一般都处于解答题第 16
7、题的位置，也就是属于容易题范畴，考查的难度不大，且都是考查线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明从近几年江苏高考试题分析，解答题中考查一道立体几何题型是固定模式，一般与棱柱和棱锥相关，其重点放在对几何体中的一些线、面之间的平行与垂直关系的证明上，突出考查学生的空间想象能力和推理运算能力主干整合归纳拓展(对应学生用书第 40页)第 1步 核心知识再整合1空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： S 柱侧 ch(c为底面周长， h为高)； S 锥侧 ch( c为底面周长， h为斜高)；12 S 台侧 (c c) h( c， c分别为上下底面的周长， h为斜高)；12 S 球表
8、4 R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式： V 柱体 Sh(S为底面面积， h为高)； V 锥体 Sh(S为底面面积， h为高)；13 V 球 R3.432直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a ba .(2)线面平行的性质定理： a ， a ， ba b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， ba b.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l nl .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直
9、的判定定理： a ， a .(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a la .第 2步 高频考点细突破空间几何体的表面积、体积、球与多面体【例 1】 (江苏省苏州市 2017届高三暑假自主学习测试)如图 95，图 95在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD3 cm， AA12 cm，则三棱锥 A B1D1D的体积为_cm3.解析 VA B1D1D VB1 AD1D S13AD1DB1A1 ADD1DB1A1 3233.13 12 13 12答案 3规律方法 (1)在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上
10、(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解(3)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(4)求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心举一反三(江苏省南京市 2017届高考三模数学试题)如图 96，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB1， BC2， BB13， ABC90，点 D为侧棱 BB1上的动点，当 AD DC1最小时，三棱锥 D ABC1的体积为_图 96将直三棱柱 ABC A1B1C1展开成矩形 A
11、CC1A1，如图，13连接 AC1，交 BB1于 D，此时 AD DC1最小， AB1， BC2， BB13， ABC90，点 D为侧棱 BB1上的动点，当 AD DC1最小时， BD1，此时三棱锥 D ABC1的体积：VD ABC1 VC1 ABD S ABDB1C113 ABBDB1C113 12 112 .13 12 13线面位置关系的命题真假判断【例 2】 给出下列命题：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；若两个平面垂直，那么其中
12、一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号是_【导学号：56394061】解析 两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面一定没有公共点，因此线面平行，正确；同样两个平面平行，一直线与其中一个平面垂直，则它必垂直这个平面内的任意直线，根据面面平行的性质定理，它也必垂直另一平面内的两条相交直线，故这条直线与另一平面也垂直，正确；两平面垂直，垂直于其中一个平面的直线可能在另一平面内(面面垂直性质定理)，错误；两平面垂直时，它们的交线与两平面都不垂直，错误答案 规律方法 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行
13、关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中举一反三设 a， b， c是空间三条直线， ， 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是_(填序号)当 c 时，若 c ，则 / ；当 b ， a 且 c是 a在 内的射影时，若 b c，则 a b；当 b 时，若 b ，则 ；当 b 且 c 时，若 c/ ，则 b/c. 命题的逆命题为“当 c 时，若 ，则 c ”，正确；命题的逆命题为“当 b ， a 且 c是 a在 内的射影时，若 a b，则 b c”，正确；命题的逆命题为“当 b 时，若 ，则
14、b ”，错误；命题的逆命题为“当 b 且 c时，若 b c，则 c ”，正确空间中的线面位置关系【例 3】 (江苏省 2017届高考押题试卷(二)数学试题)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB， AA1 AB， D是 AB的中点2(1)求证： BC1平面 A1CD；(2)若点 P在线段 BB1上，且 BP BB1，求证： AP平面 A1CD.14图 97证明 (1)连接 AC1，设与 CA1交于 O点，连接 OD(图略)直三棱柱 ABC A1B1C1中， O为 AC1的中点， D是 AB的中点，在 ABC1中， OD BC1，又 OD平面 A1CD， BC1平面 A1CD.(2)由题
15、意，设 AB x，则 BP x， AD x， A1A x，24 12 2由于 ，BPAD ABAA1 22 ABP ADA1，可得 BAP AA1D， DA1A ADA190，可得： AP A1D，又 CD AB，平面 ABC平面 ABB1A1， CD平面 ABC，平面 ABC平面 ABB1A1 AB，可得CD平面 ABB1A1， CD AP，又 A1D CD D， AP平面 A1CD.规律方法 (1)要证线面平行，先在平面内找一条直线与已知直线平行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线，证明两线平行(2)要证线线平行，可考虑公理 4或转化为线面平行(3)要证线面垂直可转化为证明
16、线线垂直，应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化举一反三 如图 98 所示，在四面体 PABC中， PC AB， PA BC，点 D， E， F， G分别是棱AP， AC， BC， PB的中点(1)求证： DE平面 BCP；(2)求证：四边形 DEFG为矩形；(3)是否存在点 Q，到四面体 PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由图 98解 (1)证明：因为 D， E分别是 AP， AC的中点，所以 DE PC.又 DE平面 BCP，所以 DE平面 BCP.(2)证明：因为 D， E， F， G分别为 AP， AC， BC， PB的中点，所以DE PC FG， DG AB EF.所以四边形
17、DEFG为平行四边形又 PC AB，所以 DE DG.所以四边形 DEFG为矩形(3)存在点 Q满足条件理由如下：连接 DF， EG，如图所示，设 Q为 EG的中点，由(2)知， DF EG Q，且 QD QE QF QG EG.12分别取 PC， AB的中点 M， N，连接 ME， EN， NG， MG， MN.与(2)同理，可证四边形 MENG为矩形，其对角线交点为 EG的中点 Q，且 QM QN EG，所12以 Q为满足条件的点.空间中的面面位置关系【例 4】 (江苏省泰州中学 2017届高三摸底考试)如图 99，正方形 ABCD所在的平面与 CDE所在的平面交于 CD， AE平面 CD
18、E，且 AB2 AE.(1)求证： AB平面 CDE；(2)求证：平面 ABCD平面 ADE.图 99证明 (1)正方形 ABCD中， AB/CD，又 AB平面 CDE， CD平面 CDE， AB/平面 CDE.(2) AE平面 CDE，且 CD平面 CDE， AE CD，又正方形 ABCD中， CD AD，且 AE AD A， AE平面 ADE， AD平面 ADE， CD平面 ADE，又 CD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ADE.规律方法 线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问
19、题的关键证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决举一反三(江苏省南京市 2017届高考三模数学试题)如图 910，在三棱锥 A BCD中， E、 F分别为BC， CD上的点，且 BD平面 AEF.(1)求证： EF平面 ABD；(2)若 AE平面 BCD， BD CD，求证：平面 AEF平面 ACD. 【导学号：56394062】图 910证明 (1) BD平面 AEF， BD平面 BCD，平面 BCD平面 AEF EF， BD EF，又 BD平面 ABD， EF平面 ABD， EF平面
20、ABD.(2) AE平面 BCD， CD平面 BCD， AE CD，由(1)可知 BD EF，又 BD CD， EF CD，又 AE EF E， AE平面 AEF， EF平面 AEF， CD平面 AEF，又 CD平面 ACD，平面 AEF平面 ACD.第 3步 高考易错明辨析1概念不清，做题时想当然导致出错这是一些中差生最常犯的错如图 911，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB4 cm， AD3 cm， AA12 cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为_cm 3.图 911错解 设 AC， BD的交点为 O(图略)，则四棱锥 A BB1D1D的体积 V SBB1D1DAO，根13据
21、题意 AC5 cm，所以 AO ，四棱锥 A BB1D1D的体积 V 52 cm3.52 13 52 253错解分析 由于 AO不垂直于面 BB1D1D，四棱锥 A BB1D1D的体积不是 SBB1D1DAO.13正解 作 AO BD，垂足为 O(图略)，因为平面 ABCD平面 BB1D1D.所以， AO平面BB1D1D，所以四棱锥 A BB1D1D的高为 AO，根据题意 BD5 cm，所以 AO ，四棱锥125A BB1D1D的体积 V 52 8 cm 3.13 1252. 考纲要求学生要有一定的空间想象力，能根据图形想象出直观形象学生往往由于空间感太差，考虑问题不全面，忽视一些细节之处，把
22、图形想错已知 m、 n为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是_(填序号) m ， m nn ； ， m ， n m n； m n， m n ； m ， n ， m ， n .错解 对，想象为如下图形，所以正确，填.错解分析 空间想象能力差，考虑问题不全面而导致出错正解 对，直线有可能在平面内，故错；对，只能说明直线 m、 n无公共点，它们还有可能为异面直线，故错； 对，图形如下，所以正确，填. 对，平面 、 有可能相交，故错3推理不严密，逻辑思维混乱导致出错如图 912， AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面， C是圆上的点如图，求证：平面PAC平面 PBC.图 91
23、2错解 因为 PA垂直圆所在的平面，所以 PA AC.又因为 AB是圆的直径， C是圆上的点，所以 BC AC.所以平面 PAC平面 PBC.错解分析 证明任何一种位置关系，应紧扣相应的判定定理，要证两个平面垂直，必须证明其中一个平面经过另外一个平面的一条垂线以上证明找到了 PA AC， BC AC，但这并不能说明平面 PAC平面 PBC.正解 由 AB是圆的直径可得 AC BC，由 PA平面 ABC， BC平面 ABC，得 PA BC.又 PA AC A， PA平面 PAC， AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC.又因为 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC.专家预测巩固提升(
24、对应学生用书第 43页)1边长为 2 的正 ABC内接于体积为 4 的球，则球面上的点到 ABC的最大距离为2 3_设 M是 ABC的外心，半径为 r，设球心为 O，球体半径为 R，433则 V R34 ，即 R ，在 Rt OMC中，2 r ，43 3 3 22sin 60则 r ， d ， dmax d R .223 R2 r2 3 83 33 33 3 4332等边三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B与点 C间的距离为 ，此时四面体2ABCD外接球体积为_. 【导学号：56394063】图 913根据题意可知三棱锥 B ACD的三条侧棱 BD AD， DC DA，底面
25、是直角三角形，556它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中点连线的中点处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，R OB ， V R3 .OC2 BC2 (32)2 (22)2 52 43 5563在边长为 6 cm的正方形 ABCD中， E、 F分别为 BC、 CD的中点， M、 N分别为 AB、 CF的中点，现沿 AE、 AF、 EF折叠，使 B、 C、 D三点重合于 B，构成一个三棱锥(如图 914 所示)(1)在三棱锥上标注出 M、 N点，并判别 MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；(2)G是线段 AB上一点，且 ， 问是否存在AG A
26、B 点 G使得 AB平面 EGF，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；(3)求多面体 E AFNM的体积图 914解 (1)因翻折后 B、 C、 D重合，所以 MN应是 ABF的一条中位线，如图所示则 MN/平面 AEF.证明如下： Error! MN/平面 AEF. 4分(2)存在 G点使得 AB平面 EGF，此时 1.因为Error! AB平面 EBF.又 G是线段 AB上一点，且 ， AG AB 当点 G与点 B重合时 AB平面 EGF，此时 1. 8分(3)因为 AB平面 BEF，且 AB6， BE BF3， VA BEF ABS BEF9，13又 ，VE AFNMVE ABF SAFNMS ABF 34VE AFNM . 12分274
