1、专题限时集训(七) 不等式(对应学生用书第 95 页)(限时：120 分钟)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填写在题中横线上)1(江苏省泰州中学 2017 届高三上学期第二次月考)设实数 x， y 满足约束条件Error!则z2 x3 y 的最大值为_. 【导学号：56394049】26 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由 z2 x3 y，得 y x ，23 z3平移直线 y x ，由图象可知当直线 y x 经过点 A 时，23 z3 23 z3直线 y x 的截距最大，此时 z 最大23 z3由Error!解得Error!即 A(4,6)此时 z
2、 的最大值为 z243626.2(无锡市普通高中 2017 届高三上学期期中基础性检测)已知正实数 x， y 满足 2 y2ln x2xln y，则 xy_.由题设可得 lnxy 2 y22 2(当且仅当 x4 y 时取等号)，即 ln 2x2 xyxy2 2，也即Error! Error!所以 xy .xy 23(江苏省镇江市丹阳高中 2017 届高三下学期期中)已知动点 P(x， y)满足：Error!则x2 y26 x 的最小值为_ 由( x)( y)1，409 x2 1 y2 1 y y| y|0，y2 1 x y，x2 11y2 1 y y2 1函数 f (x) x 是减函数，x2
3、11x2 1 x x y，原不等式组化为Error!该不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示： x2 y26 x( x3) 2 y29.由图象可得， P(3,0)到阴影区域中 A 的距离最小，所以 x2 y26 x 的最小值为 .(43， 43) 4094(贵州遵义市 2017 届高三第一次联考)已知 |b|； abab.1a1b5设 xR， x表示不超过 x 的最大整数，若存在实数 t，使得 t1， t22， tn n 同时成立，则正整数 n 的最大值是_4 由 t1，得 1 t2；由 t22，得 t ；由 t33，得 3 t4 ；由 t42 313 134，得 t5 ；由 t55，得 5
4、 t6 .214 15 15因为(3 )153 5243，(6 )156 3216，13 15所以 3 6 .13 15同理可以得到 15 2 6 3 5 4 2.以上每一个范围在数轴上的示意图如15 12 15 13 14 13 3图所示，由图可知，当 n1,2,3,4 时， t1， t22， tn n 能同时成立；当n5 时， t33 与 t55 不能同时成立，故 n 的最大值为 4.6(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知 a， b 均为正数，且 ab a2 b0，则 b2 的最小值为 _a24 2a 1b7 a， b 均为正数，且 ab a2 b0， 1.则 b2 b21
5、.2a 1b a24 2a 1b a24 b 2224，当且仅当 a4， b2 时取等号a2 (2a 1b)(a2 b) 2ba a2b (11) 216，当且仅当 a4， b2 时取等号 b28，(a24 b2) (a2 b) a24 b2 b217.a24 2a 1b a247某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为_.甲 乙 原料限额 (吨) 3 2 12 (吨) 1 2 818 万元 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、
6、y 吨，则利润 z3 x4 y.由题意可列Error!其表示如图阴影部分区域：当直线 3x4 y z0 过点 A(2,3)时， z 取得最大值，所以 zmax324318.8不等式| x1| x5|0 恒成立，则实数 x 的取值范围是_(，1)(3，) 设 f (a)( x2) a( x24 x4)，则 f (a)0 对 a1,1成立等价于Error!即Error! 解之得 x3，即实数 x 的取值范围是(，1)(3，)11(江苏省南京市 2017 届高考三模)已知 a， b， c 为正实数，且 a2 b8 c， ，则2a 3b 2c的取值范围为_. 3a 8bc【导学号：56394050】2
7、7,30 a2 b8 c， ，2a 3b 2cError!设 x ， y ，则有Error!Error!ac bc作出平面区域如图所示：令 z 3 x8 y，则 y x ，3a 8bc 38 z8由图象可知当直线 y x 经过点 A 时，截距最大，则 z 最大；38 z8当直线 y x 与曲线 y 相切时，截距最小，即 z 最小38 z8 3x2x 2解方程组Error!得 A(2,3)， z 的最大值为 328330，设直线 y x 与曲线 y 的切点为( x0， y0)，38 z8 3x2x 2则 Error! ，即 ，解得 x0 3，(3x2x 2) 38 6 2x0 2 2 38切点坐
8、标为 ， z 的最小值为 338 27.(3，94) 9427 z30.12(河北省“五个一名校联盟” 2016 届高三教学质量监测 (一)已知 p： x k， q： 0，解得 x2，3x 1 3x 1 2 xx 1由 p 是 q 的充分不必要条件知， k2.13(江苏省扬州市 2017 届高三上学期期末)在正项等比数列 an中，若 a4 a32 a22 a16，则 a5 a6的最小值为_ 48 设 a2 a1 x，等比数列的公比为 q，则 a4 a3 xq2， a5 a6 xq4.再由 a4 a32 a22 a16，得 xq262 x， x 0， q1.6q2 2 a5 a6 xq46q4q
9、2 26 6 6 6(44)48，q4q2 2 (q2 2 4q2 2) (q2 2 4q2 2 4)当且仅当 q222 时，等号成立，故 a5 a6的最小值为 48.14(广东省湛江市 2017 届高三上学期期中调研考试)已知 x， y 满足约束条件Error! 若z y ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为_1 或 2 在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示的三角形 ABC，目标函数 z y ax 可变形为 y ax z， z 的几何意义为直线 y ax z 在 y 轴上的截距，因为 z y ax 取得最大值的最优解不唯一，所以直线 y ax z 与区域三角形
10、的某一边平行，当直线 y ax z 与直线 x y20 平行时， a1 符合题意，当直线 y ax z 与直线 x2 y20 平行时， a 不符合题意，直线 y ax z 与直线 2x y20 平行时，12a2 符合题意，综上所述，实数 a 的值为1 或 2.二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)(贵州省遵义模拟)设函数 f (x)| x1| x a|.(1)若 a1，解不等式 f (x)3；(2)如果 xR, f (x)2 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f (x)| x1| x1|，由 f (x
11、)3 得| x1| x1|3，2 分 x1 时，不等式化为1 x1 x3 即2 x3， x .321 x1 时，不等式化为 1 x x13，此不等式不成立，解集为空集 x1 时，不等式化为 x1 x13，即 2x3， x ，此时不等式解集为 .832 32， )分综上得， f (x)3 的解集为 .9 分( ， 32 32， )(2)若 a1， f (x)2| x1|，不满足题设条件；若 a1， f (x)Error! f (x)的最小值为 a1，所以 xR， f (x)2 恒成立的充要条件是| a1|2，从而 a 的取值范围为(，13，).14 分16(本小题满分 14 分)(泰州市调研测试
12、)为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为 120的扇形地上建造市民广场规划设计如图 73：内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区，其中 A， B 分别在半径 OP， OQ 上， C， D 在圆弧 上， CD AB； OAB 区域为PQ文化展示区， AB 长为 50 m；其余空地为绿化区域，且 CD 长不得超过 200 m.3图 73(1)试确定 A， B 的位置，使 OAB 的周长最大；(2)当 OAB 的周长最大时，设 DOC2 ，试将运动休闲区 ABCD 的面积 S 表示为 的函数，并求出 S 的最大值. 【导学号：56394051】解 (1)设 OA m， OB
13、n， m， n(0,200，在 OAB 中， AB2 OA2 OB22 OAOBcos ，23即(50 )2 m2 n2 mn， 2 分3所以，(50 )2( m n)2 mn( m n)2 (m n)2， 4 分3 m n 24 34所以 m n100，当且仅当 m n50 时， m n 取得最大值，此时 OAB 周长取得最大值所以，当 OA， OB 都为 50 m 时， OAB 的周长最大. 6 分(2)当 AOB 的周长最大时，梯形 ABCD 为等腰梯形过 O 作 OF CD 交 CD 于 F，交 AB 于 E，则 E、 F 分别为 AB， CD 的中点，所以 DOE ，由 CD200，
14、得 . 8 分(0， 6在 ODF 中， DF200sin ， OF200cos .又在 AOE 中， OE OAcos 25，故 EF200cos 25. 9 分 3所以， S (50 400sin )(200cos 25)12 3625( 8sin )(8cos 1)3625(8 cos 8sin 64sin cos )， . 10 分3 3 (0， 6(一直没有交代范围扣 2 分)令 f ( )8 cos 8sin 64sin cos ， ，3 3 (0， 6f ( )8 sin 8cos 64cos 2 16sin 64cos 2 ， 3 ( 6)，(0， 6又 y16sin 及 yc
15、os 2 在 上均为单调递减函数，( 6) (0， 6故 f ( )在 上为单调递减函数(0， 6因 f 16 0，故 f ( )0 在 上恒成立，( 6) (32 412) (0， 6于是， f ( )在 上为单调递增函数. 12 分(0， 6所以当 时， f ( )有最大值，此时 S 有最大值为 625(815 ) 6 3所以当 时，梯形 ABCD 面积有最大值，且最大值为 625(815 ) m2. 6 314 分17(本小题满分 14 分)(南通模拟) 已知函数 f (x) x22 ax1( aR)， f ( x)是 f (x)的导函数(1)若 x2，1，不等式 f (x) f ( x
16、)恒成立，求 a 的取值范围；(2)解关于 x 的方程 f (x)| f ( x)|；(3)设函数 g(x)Error! 求 g(x)在 x2,4时的最小值解 (1)因为 f (x) f ( x)，所以 x22 x12 a(1 x)，又因为2 x1，所以 a 在 x2，1时恒成立，因为 ，x2 2x 12 1 x x2 2x 12 1 x 1 x2 32所以 a . 2 分32(2)因为 f (x)| f ( x)|，所以 x22 ax12| x a|，所以( x a)22| x a|1 a20，则| x a|1 a 或| x a|1 a. 4 分当 a1 时，| x a|1 a，所以 x1
17、或 x(12 a). 6 分(3)因为 f (x) f ( x)( x1) x(12 a)， g(x)Error! 8 分若 a ，则 x2,4时， f (x) f ( x)，所以 g(x) f ( x)2 x2 a，12从而 g(x)的最小值为 g(2)2 a4；若 a0， f ( )单调递增( 0， 2)所以 tan 时， f ( )取得最小值， 14 分12此时 AE APtan 8 4， BF 2.12 BPtan 所以当 AE4 km，且 BF2 km 时， PE PF 的值最小. 16 分19(本小题满分 16 分)(盐城市模拟考试)设函数 f (x)ln x， g(x) (m0)
18、m x nx 1(1)当 m1 时，函数 y f (x)与 y g(x)在 x1 处的切线互相垂直，求 n 的值；(2)若函数 y f (x) g(x)在定义域内不单调，求 m n 的取值范围；(3)是否存在实数 a，使得 f f (eax) f 0 对任意正实数 x 恒成立？若存在，(2ax) (x2a)求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由解 (1)当 m1 时， g( x) ， y g(x)在 x1 处的切线斜率 k ，1 n x 1 2 1 n4由 f ( x) ， y f (x)在 x1 处的切线斜率 k1， 11， n5. 4 分1x 1 n4(2)易知函数 y f (x)
19、g(x)的定义域为(0，)，又 y f ( x) g( x) 1x m 1 n x 1 2 x2 2 m 1 n x 1x x 1 2，x 2 m 1 n 1x x 1 2由题意，得 x2 m(1 n) 的最小值为负， m(1 n)4(注：结合函数1xy x22 m(1 n)x1 的图象同样可以得到)， m(1 n)m 1 n 244， m(1 n)4， m n3. 8 分(3)法一： 令 (x) f f (eax) f axln 2a axln xln xln 2a，(2ax) (x2a)其中 x0， a0.则 ( x) aln 2a aln x a ，设 (x) aln 2a aln x
20、a ，1x 1x ( x) 0， a0，根据条件 f f (eax) f 0 对任意正数 x 恒成立， 10 分(2ax) (x2a)即( ax1)(ln 2 aln x)0 对任意正数 x 恒成立，Error!或Error! 解得 x2 a 或 2a x ，1a 1a即 x2 a 时上述条件成立，此时 a .16 分1a 22法三： (x) axln 2a axln xln xln 2a (ax1)(ln 2aln x)，其中x0， a0，设 y1 ax1， y2ln 2 aln x， a0，函数 y1单调递增，函数 y2单调递减，12 分要使得( ax1)(ln 2 aln x)0 对任意
21、正数 x 恒成立，只能是函数 y1， y2与 x 轴的交点重合，即 2 a，所以 a .16 分1a 2220(本小题满分 16 分)已知 f (x) .1 2ln xx2(1)求 f (x)的单调区间；(2)令 g(x) ax22ln x，若 g(x)1 时有两个不同的根，求 a 的取值范围；(3)存在 x1， x2(1，)且 x1 x2，使| f (x1) f (x2)| k|ln x1ln x2|成立，求 k的取值范围. 【导学号：56394052】解 (1) f ( x) .令 f ( x)0 得 x1， x(0,1)时， f ( x)0， f (x)单 4ln xx3调递增； x(1
22、，)时， f ( x)0 时， x 时， g( x)0， g(x)单调递增所以 g x21，由(1)知 x(1，)时， f (x)单调递减|f (x1) f (x2)| k|ln x1ln x2|，等价于 f (x2) f (x1) k(ln x1ln x2)，即 f (x2) kln x2 f (x1) kln x1， 10 分存在 x1， x2(1，)且 x1 x2，使 f (x2) kln x2 f (x1) kln x1成立令 h(x) f (x) kln x， h(x)在(1，)存在减区间，h( x) 0， t(x)单调递增，4ln xx2 4 1 2ln xx3 ex( ，)时， t( x)0， t(x)单调递减， max ，e (4ln xx2 ) 2e k . 16 分2e
