1、难点二 立体几何中的探索性与存在性问题(对应学生用书第 65 页)数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力要在立体几何学习中形成立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力1对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么对命题条件的探索常采用以下三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成
2、立的条件，再证明充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件【例 1】 如图 1，在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， ADC PAB90， BC CD AD， E 为棱12AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90.在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由. 【导学号：56394092】图 1解 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行如图，延长 AB， DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知，知 BC ED，且 BC ED，所以四边形 BCDE 是平行四边形，从而 CM EB.又
3、EB平面 PBE， CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 AP PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)思路分析 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；(2)证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；(3)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证
4、明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键点评 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：(1)通过各种探索尝试给出条件；(2)找出命题成立的必要条件，也证明充分性2对命题结论的探索探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论【例 2】 如图 2，在四棱锥 P ABCD 中， PC平面 ABCD， AB DC， DC AC.图 2(1)求证： DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB
5、 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由解 (1)证明：因为 PC平面 ABCD，所以 PC DC.又因为 DC AC，且 PC AC C，所以 DC平面 PAC.(2)证明：因为 AB DC， DC AC，所以 AB AC.因为 PC平面 ABCD，所以 PC AB.又因为 PC AC C，所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.(3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF， CE， CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以 EF PA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF，所以 PA平面 CEF.点评 对于立体几何的探索性与存在性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在
