1、注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考1截长补短法例 1如图（1）已知：正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长 AB 至 F 使 AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在 AC 上截取 AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE=ABE,ACE=45, CG=
2、EG,AB+BE=AG+CG=AC2平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的中线例 2ABC 中，BAC=60，C=40AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC于 Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ（全国初中数学赛题 ）证明：如图，过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，AB+BP=AD+DB+BP=
3、AQ+OQ+BO=AQ+BQ 说明：本题也可以在 AB 截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：AB CP （）QD OOAB CPQD图（2）AB CPQD E图（3）OAB CDFEG图（1） 如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 来解决 如图（3），过 O 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，则ADOAQO，ABOAEO 来解决 如图（4），过 P 作 PDBQ 交 AB 的延长线于 D，则APDAPC 来解决 如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 来解
4、决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例 3已知：如图（6），P 为ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5，求APB 的度数分析：直接求APB 的度数，不易求，由 PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形略解：将BAP 绕 A 点逆时针方向旋转 60至ACD，连接 PD，则BAPADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60，又PC=5，PD 2+DC =PC2 图（6）PDC 为 Rt, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=1504倍长中线法题中条件若有中线，可
5、延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内例 4如图（7）AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=BE求证：AC=BF证明：延长 AD 至 H 使 DH=AD，连 BH，BD=CD，AB CPDEAB CDFHAB CPQ图（4）DOAB CPQ图（5）DOBDH=ADC，DH=DA，BDHCDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 图（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例 5如图（8）已知：在ABC 中，A=45, ADBC，若 BD=3，DC=2， 求：ABC 的面积解：以 AB 为轴将ABD 翻转 180，得到与它全等的ABE，以 AC 为轴将ADC 翻转 180，得到与它全等的AFC，EB、FC 延长线交于 G，易证四边形 AEGF 是正方形，设它的边长为 x，则 BG=x3，CG=x2，在 RtBGC 中，（x-3） 2+（x-2） 2=5 解得 x=6，则 AD=6，SABC= 156=15 图（8）AB CDEGF
