1、 第一章 随机事件与概率1计算题1.设P(A)=0.4, P(B )=0.2, , 求P(AB )以及P (A|B).(|)0.3A解:由全概率公式得，P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )即：0.2=0.4P(B|A)+0.6*0.3P(B|A)=0.05因为， )|()(PABP(AB)=0.05*0.4P(AB)=0.02P(A|B)= =0.02/0.2=0.1P(B)2.已知 求：(1) ；(2)P (AB)；(3),0.2,().3,AB(),AB； (4) ；(5) P(B-A).()()解：(1). P( )=1-P(A)=0.8，P( )=1-P(B)=0.7(
2、2). P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2-(0.3-0.2)=0.2-0.1=0.1(3). P(A ) =P(A)-P(AB)B=0.2-0.1=0.1(4).P( )=P(A)+P(B)-P(AB)A=0.2+0.3-0.1=0.4(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.1=0.23.若事件A与B互不相容，P( A)=0.6, P(A+B)=0.9, 求：(1) ；(2)()PAB；(3) .(|)解：(1). 因为 A与B互不相容 ,P(A+B)=P(A)+P(B)P(B)=P(A+B)-P(A)=0.9-0.60.3P( )=1-P(A+B)=1-0.9=0.1
3、(2). P(A| )=1-P(A|B)BP(A|B)= =0.3)(PAP(A| )=1-0.3=0.7(3). P( )=P( )=1-P( )BB=1-P(A)+P(B)=1-0.9=0.14.已知事件A与B相互独立，且P( A)=0.4, P(A+B)=0.6, 求(1)P(B )；(2) ；(3) P(A|B).()解; (1)由公式， P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P（A）=0.40, P(B)=P(B|A)P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(A)*P(B)0.6=0.4+P(B)-P(A)*P(B)0.6=0.4+0.6P(B)P(B)= =6.0231(2)
4、=P(A)-P(AB)()PAB=0.4-P(A)P(B)=0.4-0.4* 31= 54(3)P(A|B)= =0.4P(B)A5.设A,B为两个随机事件，P（A）=0.5，P( )=0.8,P(AB)=0.3求P(B)BA解：由P( )=P（A） +P(B)-P(AB).得BP(B)=P( )-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6第二章 随机变量及其概率分布1.设连续型随机变量X的分布函数为 ，求X的概率密度函数.20,()1,xF解：f(X)=F(X)= 其 他 10x22.设X服从参数p=0.2的0-1分布，求X的分布函数及P(X2)；(4)P(X3).解：=.3 ，
5、=2，记F(x)为x的分布函数(1)P(22)=1-P|x| 2=1-P 2x=1-F(2)+F(-2)=1-(-0.5)+(-2.5)=1.6915-0.9935=0.698(4).P(x3)=P(x 3)=1-(0)=0.55.已知随机变量X的密度函数为 ，求：(1)常数k；(2)分布2,01()kxf中函数；(3) .(105)PX解;(1),F(x)= ,所以K-1=2，k=32,1()kxf中 10xxk(2)由(1)知F(x)= ,10x(3)P(-1R时， (x)= =0.Xf-),(dyx当|X| R时， (x)= = =-,fdyRX212X所以 (x)=XfR|X|202同
6、理RyYy|20)(f第四章 随机变量的数字特征计算题:1.设随机变量X的分布律为求：(1)EX；(2)E(X 2)；(3)E(3X 3+5).解：EX=-2*0.4+0*0.3+2*0.3=-0.2E( )=(-2) *0.4+4*0.3=2.82E(3X +5)=2.632.设随机变量X的分布律为求：期望EX与方差DX .X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 X 1 2 3 P 0.2 0.5 0.3 解：EX=1*0.2+2*0.5+3*0.3=2.1方差DX=EX -（EX）22EX =4.92所以DX=4.9-2.1*2.1=0.493.设随机变量X的概率密度为 ，求：期望E
7、X与方差DX.6(1),01()xxf中解：EX= =10)(xddf 2EX = =2 xx2)(6103DX=EX -(EX) =207.已知二维随机变量(X , Y)的概率分布为求：协方差 与相关系数 .(,)CovXY,XY解：协方差 =E（X,Y）-EXEY先求X,Y的边缘分布X的边缘分布;X 1 2P 0.4 0.6Y的边缘分布：Y 0 1 2 3P 0.3 0.2 0.4 0.1YX0 1 2 3120.1 0.2 0.1 00.2 0 0.3 0.1EX=1.6，EY=1.3EX =2.8 ， EY =2.722EXY=2.2故 =E(XY)-EXEY=2.2-1.6*1.3=
8、0.12(,)CovXYDX=EX -（EX） =0.2422DY=EY -（EY） =1.01相关系数 24.0DYXCov），（5. 设连续型随机变量X的密度函数为： 2,01()xfels，求：EX2，E(2X).解：可看出：E(2X)=2EX第五章 大数定律及中心极限定理1.已知随机变量 X 服从均匀分布 U0，1，估计下列概率：(1) ；1|0.5|3P(2) .2X解：由P|X-E(X)| ,得2)(DX102xd1231004|x()Efxd22()EXxfd120xdx1341002|2dxP|X-0.5| 31D(X)因为变量X服从均匀分布U0,1所以E（X ）= 21)(x
9、dabdxpD(x)=E(x )-E(x) =221P|X-0.5| 342.设 Xi (i=1, 2, .,50)是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布 P(0.03), 令 ，试用中心极限定理计算 .501iiZ(3)PZ解：易知，E(X )=0.03,D(X )=0.03(k=1,2.50)kk有中心极限定理得，随机变量Z= 近似服从标准正态分布N(0,1) 于是03.*5X501kPZ 3=1-PZ 10305*31）（3.设P(A)=0.4，现在进行1000次独立重复试验，(1)估计事件A 发生的次数在300500之间的概率； (2)求事件A发生的次数在300500之间的概率. 解：
10、（1）设事件A服从参数n=1000，p=0.04 的二项分布于是有E(x)=np=100*0.04=400D(x)=npq=1000*0.4*0.6=240P300 0 = 1.9 ( 2 ) txsn25968728.由 于 t = 2.5081 1.7531 = t0.95 ( 15 ) = t1( n1 ) 故拒绝 H0，即在 = 0.05 下可以认为甲厂的产品有更高的平均抗体。5、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。 C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构 成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分
11、别 为 195。 C 和 8。 C 。 这 些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。 ( 已 知 t0.95 ( 15 ) = 1.7531 )解: 这 问 题 即 是 在 = 0.05 下 ， 检 验 H0： = 0 =190； H1： 0 =190 ( 2 末 知 ) txsn195862.由 于 t = 2.5 1.7531 = t0.95( 15 ) = t1 ( n1 ) 故 拒 绝 H0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均
12、 工 作 温 度 高 于 190。 C。6、 测 定 某 种 溶 液 中 的 水 份 ，由 它 的 10 个 测 定 值 ，算 得 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ，能 否 .%037,452.0sx认 为 该 溶 液 含 水 量 小 于 0.5% ？ ( = 0.05 )， ( 已 知 t0.95 ( 9 ) = 1.833 )解: 这 问 题 即 是 在 ( = 0.05 ) 下 ， 检 验 假 设 H0： = 0 = 0.5%； H1： 0 = 0.5%txsn452372.由 于 t = 4.102 1.8331 = t0.95( 9 ) = t( n1 ) 故 拒 绝
13、 H 0 即 认 为 溶 液 的 含 水 量 小 于 0.5%第九章 回归分析1、为研究某一化学反应过程中温度 对产品得率 Y的影响，测得数据如下。x( )x100 110 120 130 140 150 160 170 180 190Y( % ) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89求出 关于 的一元线性回归方程。解：先画出散点图如下100 110 120 130 140 150 160 170 180 19045505560657075808590计算出 38522.67 xyyx SSyxn483.0xySb35.ba所求的回归方程是 。x.75.22、用 检验法检
14、验题 1 中的回归效果是否显著（ ？T )05.解： ，从而 ，934.0)(22xySbn96.394.5xSbT查表得 ，由于 ，说明回归效果是显著的。306.2)8(05.t )8(025.tT方法 2： 检验法F采用如下检验统计量：，其中 ，)2,1()/(nFQeR xRSbQ2RyeQ对一个小概率 ，若 ，则接受 ，即认为线性假设成立，所建立的线性,1H回归方程正确。3、某种产品在生产过程中的废品率 Y与它所含的某种物质量 有关，现将试验所得 16 组x数据记录列于下表。 x34 36 37 38 39 39 39 40Y1.30 1.00 0.73 0.90 0.81 0.70
15、0.60 0.5040 41 42 43 43 45 47 480.44 0.56 0.30 0.42 0.35 0.40 0.41 0.60要求建立 关于 的回归方程。x解：先画出散点图如下34 36 38 40 42 44 46 480.20.40.60.811.21.41.6提示 ),(,210 NxbY令 ，从而化成多元线性回归：)2,(ixi),0(,2210x230481965,603XY得到 ，所求回归方程是TB)093.,825.,4.1(。208xy4、求题 1 中温度 时，产品得率 Y的预测值和置信度为 95%的预测区间。1450x解：预测值为 296.714583.7.2y预测区间为 )63.9,.4()(10)( 2025. xSt5、用 检验法检验题 1 中的回归效果是否显著（ ？F )01.解： ，6.9242xRSbQ5.7RyeQS，说明回归效果是显著的。26.1)8,(.078/01.Fe
