浙江省2018-2019版高中物理 第十一章 机械振动学案（打包6套）新人教版选修3-4.zip

1第十一章 机械振动章末整合提升突破一 简谐运动的图象及应用由简谐运动的图象可以获得的信息：(1)确定振动质点在任一时刻的位移；(2)确定振动的振幅；(3)确定振动的周期和频率；(4)确定各时刻质点的振动方向；(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向。【例 1】 一质点做简谐运动的位移 x 与时间 t 的关系如图 1 所示，由图可知( )2图 1A.频率是 2 HzB.振幅是 5 cmC.t＝1.7 s 时的加速度为正，速度为负D.t＝0.5 s 时质点所受的合外力为零解析 由题图可知，质点振动的周期为 2 s，经计算得频率为 0.5 Hz，振幅为 5 m，所以A、B 错误； t＝1.7 s 时的位移为负，加速度为正，速度为负，因此 C 正确； t＝0.5 s 时质点在平衡位置，回复力零，但所受合外力不一定为零，如单摆，D 错误。答案 C【跟踪训练 1】 一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图 2 所示，已知弹簧的劲度系数为 20 N/cm，则( )图 2A.图中 A 点对应的时刻振子所受的回复力大小为 5 N，方向指向 x 轴的负方向B.图中 A 点对应的时刻振子的速度方向指向 x 轴的正方向C.在 0～4 s 内振子做了 1.75 次全振动D.在 0～4 s 内振子通过的路程为 3.5 cm解析 由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知，题图中 A 点对应的时刻振子所受的回复力大小为 F＝ kx＝2 000 N/m×0.002 5 m＝5 N，方向指向 x 轴的负方向，并且现在正在远离 O 点向 x 轴的正方向运动，A、B 正确；由题图可读出周期为 2 s，4 s 内振子做两次全振动，通过的路程是 s＝0.5 cm×4×2＝4 cm，C、D 错误。答案 AB突破二 简谐运动的周期性和对称性1.周期性3做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，做简谐运动的物体具有周期性。2.对称性(1)速率的对称性：振动物体在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。(2)加速度和回复力的对称性：振动物体在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。(3)时间的对称性：振动物体通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等；振动过程中通过任意两点 A、 B 的时间与逆向通过的时间相等。【例 2】 如图 3 所示，某质点做简谐运动，从向右经过平衡位置开始计时，经 0.2 s 第一次到达 M 点，再经过 0.1 s 第二次到达 M 点，求它再经多长时间第三次到达 M 点？图 3解析 质点由 O 点沿 x 轴正向经过 t1＝0.2 s 第一次到达 M，再经过 t2＝0.1 s 由 C 回到M。由对称性可知，质点由 M 到达 C 所需要的时间与由 C 返回 M 所需要的时间相等，所以质点由 M 到达 C 的时间为 t′＝ ＝0.05 s。t22质点由 O 到达 C 的时间为从 O 到达 M 和从 M 到达 C 的时间之和，这一时间恰好是 ，所以该T4振动的周期为 T＝4( t1＋ t′)＝4×(0.2＋0.05)s＝1 s，质点第三次到达 M 点的时间为t3＝ ＋2 t1＝( ＋2×0.2)s＝0.9 s。T2 12答案 0.9 s突破三 单摆周期公式的应用1.单摆的周期公式 T＝2π 。该公式提供了一种测定重力加速度的方法。lg2.注意：(1)单摆的周期 T 只与摆长 l 及 g 有关，而与摆球的质量及振幅无关。(2)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球球心的距离，要区分摆长和摆线长。 “l”实际为摆球球心到摆动所在圆弧的圆心的距离。(3)g 为当地的重力加速度或“等效重力加速度” 。【例 3】 有两个同学利用假期分别去参观北京大学和浙江大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的 DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期 T 与摆长 l 的关系” ，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了 T2－ l 图象，如图 4 甲所示，去北大的同学所测实验结4果对应的图线是________(填“ A”或“ B”)。另外，在浙大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比 la∶ lb________。图 4解析 纬度越高重力加速度 g 越大，根据单摆的周期公式可得 T2＝ l，所以 B 图线是4π 2g在北大的同学做的。从题图乙中可以看出 Ta＝ s， Tb＝2 s。43所以 ＝ ＝ 。lalb 49答案 B 4∶9【跟踪训练 2】 如图 5 所示是演示沙摆运动图象的实验装置，沙摆的运动可看做简谐运动。若用手向外拉木板的速度是 0.20 m/s，木板的长度是 0.60 m，那么这次实验所用的沙摆的摆长为________ m。(结果保留两位有效数字，计算时可取 g＝π 2m/s2)图 5解析 由题意可知在木板以 0.20 m/s 的速度走过 0.60 m 的过程中，经历的时间为 2T，则2T＝ ， T＝1.5 s。又由 T＝2π 得 l＝ ＝ m≈0.56 mLv lg T2g4π 2 1.52×π 24π 2答案 0.561第 1课时 简谐运动[研究选考·把握考情]考试要求知识内容简谐运动加试 b教学要求1.知道机械振动是一种周期性的往复运动2.知道弹簧振子是理想化模型3.知道弹簧振子的位移随时间的变化规律4.知道简谐运动是最简单、最基本的振动5.知道简谐运动图象是正弦曲线，会根据图象特点判断物体是否做简谐运动6.会用实验方法(包括传感器)得到振动图象7.理解简谐运动图象的意义和特点，知道简谐运动的图象并不表示质点的运动轨迹8.了解振动图象是记录振动的常用方法知识点一 弹簧振子[基 础 梳 理]1.平衡位置小球原来静止时的位置。2.机械振动小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械振动，简称振动。3.弹簧振子如图 1所示，把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的杆上，能够自由滑动，两者之间的摩擦可以忽略，弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，这样的系统称为弹簧振子。图 1易错警示(1)弹簧振子不一定水平放置，例如：竖直悬挂的弹簧振子、光滑斜面上的弹簧振子，如图22所示。图 2(2)振动是一种往复运动，具有周期性和往复性。[即 学 即 练](多选)下列运动属于机械振动的是( )A.乒乓球在地面上的自由来回上下运动B.弹簧振子在竖直方向的上下运动C.秋千在空中的来回运动D.竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动答案 BCD知识点二 弹簧振子的位移—时间图象[基 础 梳 理]1.建立坐标系如图 3所示，以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴。小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负。图 32.振子位置的确定用频闪照相机拍摄时，底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，对应小球在各个时刻的位置，得到如图 3所示的图象。[要 点 精 讲]1.振子的位移 x的意义振子的位移通常以平衡位置为参考点，是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段(不同于3一般运动的位移)。在 x－ t图象中，振子位置在 t轴上方，表示位移为正(如图 4中t1、 t4时刻的位移)，位置在 t轴下方表示位移为负(如图 4中 t2时刻的位移)。图 42.图象的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。【例 1】 如图 5所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )图 5A.该图象的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向移动的C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移让底片沿垂直 x轴方向匀速运动D.图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析 该图象的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是在垂直于横轴方向的，故 A对 B错；由获得图象的方法知 C对；频闪照相是相同时间内留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D 对。答案 ACD名师点睛 (1)弹簧振子位于关于平衡位置对称的两点时，振子的位移大小相等，方向相反；振子的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。(2)振动图象描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹。比如弹簧振子的运动，其轨迹为一条线段，而它的振动图象却是正弦曲线。【例 2】 如图 6甲所示为一弹簧振子的位移－时间图象，在乙图中，规定振子向右的方向为正方向，则( )4甲 乙图 6A.图甲中振子振动的起始位置是 O点B.从初始位置开始，振子向右运动C.甲图中的 O、 A、 B、 C、 D分别与乙图中的 E、 G、 E、 F、 E对应D.在 t＝2 s 时，振子的速度的方向与 t＝0 时速度的方向相同解析 由甲图可知，起始位置位移为零，而位移是指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段的长度，故起始位置应在平衡位置，选项 A正确；从初始位置开始，振子的位移为正，故振子向右运动，选项 B正确； O、 B、 D点位移为零，对应平衡位置 E， A点为正向最大位移，对应位置为 G， C点为负向最大位移，对应位置为 F，选项 C正确； t＝0 时，切线斜率为正，说明振子向正方向运动， t＝2 s时，切线斜率为负，说明振子向负方向运动，则两时刻速度方向相反，选项 D错误。答案 ABC知识点三 简谐运动及其图象[基 础 梳 理]1.如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象( x－ t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。2.简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。[要 点 精 讲]1.简谐运动的位移和一般运动中的位移有很大区别，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置。而简谐运动的位移都是由平衡位置指向振动质点所在位置。2.简谐运动中质点原来静止的位置是平衡位置。振动质点振动过程中经过平衡位置时位移是零，而速度最大。离开平衡位置时，位移变大，速度变小。速度为零处是最大位移处。【例 3】 如图 7所示为某质点做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )5图 7A.由 P→ Q，位移在增大B.由 P→ Q，速度在增大C.由 M→ N，位移先减小后增大D.由 M→ N，位移始终减小解析 由 P→ Q，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项 A正确，B 错误；由 M→ N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项 C正确，D 错误。答案 AC名师点睛 图象的应用(1)确定位移及变化从简谐运动图象可直接读出不同时刻 t的位移值，从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大。(2)确定各时刻速度的大小和方向①速度的方向结合质点的实际运动方向判断。②速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置，质点速度最大；在最大位移处，质点速度为 0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。1.如图 8所示的弹簧振子， O点为它的平衡位置，当振子从 A点运动到 C点时，振子离开平衡位置的位移是( )图 8A.大小为 OC，方向向左B.大小为 OC，方向向右C.大小为 AC，方向向左6D.大小为 AC，方向向右解析 振子离开平衡位置的位移，以 O点为起点， C点为终点，位移大小为 OC，方向向右，选项 B正确。答案 B2.对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法中正确的是( )A.振子通过平衡位置时，速度最大B.振子在最大位移处时，速度最大C.振子在连续两次通过同一位置时，位移相同D.振子连续两次通过同一位置时，速度相同解析 振子经过平衡位置时速度最大，A 正确；振子在最大位移处时速度最小，B 错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C 正确；速度是矢量，振子经过同一位置时速度的大小相同，方向不一定相同，D 错误。答案 AC3.一个质点做简谐运动的振动图象如图 9所示，质点在哪段时间内的速度方向和位移的方向相同( )图 9A.0～0.3 s 和 0.3～0.6 sB.0.6～0.9 s 和 0.9～1.2 sC.0～0.3 s 和 0.6～0.9 sD.0.3～0.6 s 和 0.9～1.2 s解析 远离平衡位置的过程是速度和位移方向相同的过程，所以 C正确。答案 C4.一质点做简谐运动的图象如图 10所示，下列说法正确的是( )图 107A.0～1 s 速度在增大B.0～1 s 位移在增大C.2～3 s 速度在增大D.2～3 s 位移在增大解析 0～1 s质点从正向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小；2～3 s质点从负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，但相对于平衡位置的位移减小。故 A、C 正确。答案 AC 一、选择题(在每小题给出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。)1.关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )A.平衡位置就是物体振动范围的中心位置B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也就越大D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移解析 平衡位置是物体原来静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，所以 A错误；振动位移是以平衡位置为初始点，到振动物体所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振动物体偏离平衡位置最远时，振动位移最大，选项 B正确，D错误；振动物体的位移与运动的路程没有关系，C 错误。答案 B2.如图 1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动系统。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )图 1A.钢球的最低处为平衡位置B.钢球原来静止时的位置为平衡位置C.钢球振动到平衡位置下方 3 cm处时位移为 3 cm8D.钢球振动到平衡位置上方 2 cm处时位移为 2 cm解析 振子的平衡位置为振子静止时的位置，故 A错误，B 正确；振动中的位移为从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，据题意可判断 C正确，D 错误。答案 BC3.如图 2所示，弹簧振子在 a、 b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处 a向平衡位置 O运动过程中( )图 2A.位移方向向左，速度方向向左B.位移方向向左，速度方向向右C.位移不断增大，速度不断减小D.位移不断减小，速度不断增大解析 在振子从最大位移处 a向平衡位置 O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大，A、C 错误；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故 B、D 正确。答案 BD4.做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( )A.振子的位移越来越大 B.振子正向平衡位置运动C.振子速度与位移同向 D.振子速度与位移方向相反解析 弹簧振子在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错误，B 正确；位移方向是从平衡位置指向振子，故二者方向相反，C 错误，D 正确。答案 BD5.如图 3所示为某质点在 0～4 s 内的振动图象，则( )图 3A.质点在 3 s末的位移为 2 mB.质点在 4 s末的位移为 8 m9C.质点在 4 s内的路程为 8 mD.质点在 4 s内的路程为零解析 振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移，因此 3 s末的位移为－2 m，4 s末位移为零。路程是指质点运动的路径的长度，在 4 s内应该是从平衡位置到最大位置这段距离的 4倍，即为 8 m，C 正确。答案 C6.关于简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )A.表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线B.由图象可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C.表示质点的位移随时间变化的规律D.由图象可判断任一时刻质点的速度方向解析 振动图象表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A 错误，C 正确；由振动图象可判断质点位移和速度的大小及方向，B、D 正确。答案 BCD7.如图 4所示是表示某弹簧振子运动的 x－ t图象，下列说法正确的是( )图 4A.t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动B.t2时刻振子的位移最大C.t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动D.该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的解析 从题图可以看出， t＝0 时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，选项 D错误； t1时刻以后振子的位移为负，因此 t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，选项 A错误； t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，选项 B正确； t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，选项 C正确。答案 BC108.一质点做简谐运动的图象如图 5所示，在 4 s内具有最大负方向速度和具有最大负方向位移的时刻分别是( )图 5A.1 s 4 sB.3 s 2 sC.1 s 2 sD.3 s 4s解析 质点具有最大速度处在平衡位置，由图中看是 1 s处和 3 s处，在 1 s处振子将向负的最大位移处移动，所以此处速度为负，而 3 s处速度为正向最大，在 2 s和 4 s处都有最大位移，2 s 处位移为负方向，4 s 处位移为正方向，选项 C正确。答案 C9.如图 6所示为某质点做简谐运动的图象，则下列说法正确的是( )图 6A.质点在 0.7 s时，正在远离平衡位置运动B.质点在 1.5 s时的位移最大C.1.2 s到 1.4 s，质点的位移在增大D.1.6 s到 1.8 s，质点的位移在增大解析 由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在 0.7 s时正在向平衡位置运动，所以 A项错误；质点在 1.5 s时的位移到达最大，B 项正确；1.2 s到 1.4 s，质点正在远离平衡位置，所以其位移在增加，C 项正确；1.6 s到 1.8 s，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故 D项错误。答案 BC10.某弹簧振子的振动图象如图 7所示。根据图象判断，下列说法正确的是( )11图 7A.第 1 s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反B.第 2 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cmC.第 2 s末和第 3 s末振子相对于平衡位置的位移不相同，但瞬时速度方向相反D.第 1 s内和第 2 s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反解析 第 1 s内振子相对于平衡位置的位移为正方向，速度方向也为正方向，A 错误；第 2 s末振子在平衡位置，位移为零，B 错误；第 3 s末振子相对于平衡位置的位移为－20 cm，第 2 s末振子恰好过平衡位置，且正向 x轴负方向运动，而第 3 s末振子瞬时速度刚好为零，所以 C错误；第 1 s内和第 2 s内振子相对平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反，所以 D正确。答案 D二、非选择题11.如图 8所示，简谐运动的图象上有 a、 b、 c、 d、 e、 f六个点，其中：图 8(1)与 a点位移相同的点有哪些？(2)与 a点速度相同的点有哪些？解析 根据简谐运动的周期性、对称性，以及位移、速度均是矢量，要同时考虑大小和方向。与 a点位移相同的点有 b、 e、 f；与 a点速度相同的点有 d、 e。答案 (1) b、 e、 f (2) d、 e12.在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录。如图 9甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔 P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。若匀速拉动纸带的速度为 1 m/s，作出 P的振动图象。12图 9解析 题中乙图中运动的位移值可以对应不同的时刻，由 x＝ vt可知，当 x＝20 cm时，对应时间 t＝ ＝0.2 s，作出图象如图所示。xv答案 见解析图1第 2课时 简谐运动的描述[研究选考·把握考情]考试要求知识内容 简谐运动的描述加试 c教学要求1.理解全振动的概念2.知道振幅、周期和频率的意义，掌握周期和频率的关系3.知道简谐运动的表达式，了解式中每个量的意义4.会用计算机观察声音的波形5.经历振动步调不一致的实验过程，体会“相位”的意义6.能从振动图象或表达式中求出振幅、频率和周期7.对相位为零的情况，会根据振动图象写出表达式或根据表达式画出振动图象说明 不要求理解“相位”的概念知识点一 描述简谐运动的物理量[基 础 梳 理]1. 振幅振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅的两倍表示的是振动物体运动范围的大小。2.周期和频率(1)全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动。振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用 T表示。单位：在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。(3)频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用 f表示。单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是 Hz。(4)周期和频率的关系： f＝1T(5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。3.相位2在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。[要 点 精 讲]要点 1 对全振动的理解正确理解全振动的概念，应注意把握全振动的五种特征。(1)振动特征：一个完整的振动过程。(2)物理量特征：位移( x)、速度( v)第一次同时与初始状态相同。(3)时间特征：历时一个周期。(4)路程特征：振幅的 4倍。(5)相位特征：增加 2π【例 1】 如图 1所示，弹簧振子在 AB间做简谐运动， O为平衡位置， A、 B间距离是 20 cm，从 A到 B运动时间是 2 s，则( )图 1A.从 O→ B→ O振子做了一次全振动B.振动周期为 2 s，振幅是 10 cmC.从 B开始经过 6 s，振子通过的路程是 60 cmD.从 O开始经过 3 s，振子处在平衡位置解析 振子从 O→ B→ O只完成半个全振动，A 错误；从 A→ B振子也只是半个全振动，半个全振动是 2 s，所以振动周期是 4 s，B 错误； t＝6 s＝1 T，所以振子经过的路程为124A＋2 A＝6 A＝60 cm，C 正确；从 O开始经过 3 s，振子处在最大位移处 A或 B，D 错误。答案 C要点 2 描述简谐运动的物理量的两个“关系”(1)振幅与路程的关系振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。振动物体在 个周期内的路程不一定等于一个振幅。14(2)周期( T)与频率( f)的关系①周期是振动物体完成一次全振动所需的时间。频率是单位时间内完成全振动的次数。所3以周期( T)与频率( f)的关系为： T＝ 。1f②物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。【例 2】 一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过 A、 B两点，历时 1 s，质点通过B点后，再经过 1 s，第二次通过 B点，在这 2 s内，质点的总路程是 12 cm，则质点振动的周期和振幅分别为( )A.2 s 6 cm B.4 s 6 cmC.4 s 9 cm D.2 s 8 cm解析 简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过 A、 B两点，则可判定这两点关于平衡位置 O点对称，所以质点由 A到 O时间与由 O到 B的时间相等，那么从平衡位置 O到 B点的时间 t1＝ s。通过 B点后再经过 t＝1.05 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通12过 B点，则有从 B点到最大位移的时间 t2＝ s，因此，质点振动的周期是 T＝4( t1＋ t2)12＝4 s。质点总路程的一半，即为振幅。所以振幅为 cm＝6 cm。122答案 B知识点二 简谐运动的表达式[基 础 梳 理]简谐运动的表达式为 x＝ Asin(ωt ＋ φ )。(1)A表示简谐运动的振幅。(2)ω 是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动的快慢，ω ＝ ＝2π f。2πT(3)(ωt ＋ φ )代表简谐运动的相位， φ 是 t＝0 时的相位，称做初相位，或初相。[典 例 精 析]【例 3】 一弹簧振子 A的位移 x随时间 t变化的关系式为 x＝0.1sin 2.5 π t，位移 x的单位为 m，时间 t的单位为 s。则( )A.弹簧振子的振幅为 0.2 mB.弹簧振子的周期为 1.25 sC.在 t＝0.2 s 时，振子的运动速度为零D.若另一弹簧振子 B的位移 x随时间变化的关系式为 x＝0.2sin(2.5π t＋ )，则 B的振π4幅和周期是 A的振幅和周期的 2倍4解析 由振动方程为 x＝0.1sin 2.5π t，可读出振幅为 0.1 m，圆频率 ω ＝2.5π，故周期 T＝ ＝0.8 s，故 A、B 错误；在 t＝0.2 s时， x＝0.1sin m＝0.1 m，振子的位移2πω π2最大，故速度最小，为零，故 C正确；由两表达式可知弹簧振子 B的振幅是 A的 2倍，但周期相同，D 错误。答案 C名师点睛 应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅 A、周期 T、频率 f的对应关系，其中 T＝ ， f＝ ，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系。2πω ω2π1.如图 2所示，弹簧振子以 O为平衡位置，在 B、 C间振动，则( )图 2A.从 B→ O→ C→ O→ B为一次全振动B.从 O→ B→ O→ C→ B为一次全振动C.从 C→ O→ B→ O→ C为一次全振动D.OB的大小不一定等于 OC解析 O为平衡位置， B、 C为两侧最远点，则从 B起始经 O、 C、 O、 B路程为振幅的 4倍 ，A 正确；若从 O起始经 B、 O、 C、 B路程为振幅的 5倍，超过一次全振动，B 错误；若从C起始经 O、 B、 O、 C路程为振幅的 4倍，C 正确；因弹簧振子系统不考虑摩擦，所以振幅一定，D 错误。答案 AC2.一个做简谐运动的弹簧振子，周期为 T，振幅为 A，设振子第一次从平衡位置运动到 x＝处所经历的时间为 t1，第一次从最大位移处运动到 x＝ 所经历的时间为 t2，关于 t1与A2 A2t2，以下说法正确的是( )A.t1＝ t2 B.t1t2 D.无法判断解析 用图象法，画出 x－ t图象，从图象上，我们可以很直观地看出： t1t2，因而 B正确。5答案 B3.如图 3所示，振子以 O点为平衡位置在 A、 B间做简谐运动，从振子第一次到达 P点时开始计时，则( )图 3A.振子第二次到达 P点的时间间隔为一个周期B.振子第三次到达 P点的时间间隔为一个周期C.振子第四次到达 P点的时间间隔为一个周期D.振子从 A点到 B点或从 B点到 A点的时间间隔为一个周期解析 从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B 正确，A、C 错误；振子从 A到 B或从 B到 A的时间间隔为半个周期，D 错误。答案 B4.如图 4所示为 A、 B两质点做简谐运动的位移—时间图象。请根据图象回答。图 4(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s； B的振幅是________ cm，周期是________ s；(2)写出 A质点的位移随时间变化的关系式；(3)在 t＝0.05 s 时 A质点的位移是多少？解析 (1)由题图知： A的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s； B的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s。(2)t＝0 时刻 A质点从平衡位置开始沿正方向振动，由 T＝0.4 s，得 ω ＝ ＝5π。则简2πT谐运动的表达式为 xA＝0.5sin 5π t cm。6(3)将 t＝0.05 s代入 A的表达式中得： xA＝0.5sin(5π×0.05) cm＝0.5× cm＝ 22 24cm。答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2) xA＝0.5sin 5π t cm(3) cm 24一、选择题(在每小题给出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。)1.振动周期指的是振动物体( )A.从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间B.从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间C.从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间D.经历了四个振幅的时间答案 CD2.周期为 2 s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是 60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )A.15次，2 cm B.30次，1 cmC.15次，1 cm D.60次，2 cm解析 振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为 4个振幅。答案 B3.质点沿直线以 O点为平衡位置做简谐运动， A、 B两点分别为正向最大位移与负向最大位移处的点， A、 B相距 10 cm，质点从 A到 B的时间为 0.1 s，从质点经过 O点时开始计时，经 0.5 s，则下述说法正确的是( )A.振幅为 5 cmB.振幅为 10 cmC.质点通过的路程为 50 cmD.质点位移为 50 cm解析 A、 B相距 10 cm，则振幅为 5 cm。由 A到 B历时 0.1 s，则周期 T＝0.2 s，从平衡位置开始经过 0.5 s，即为 2.5个周期，通过的路程为 s＝2.5×4×5 cm＝50 cm，位移为0，故 A、C 正确。7答案 AC4.如图 1所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为 O，把振子拉到 A点， OA＝1 cm，然后释放振子，经过 0.2 s 振子第 1次到达 O点，如果把振子拉到 A′点， OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第 1次到达 O点所需的时间为( )图 1A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s解析 简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第 1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的 ，它们相等。14答案 A5.一质点做简谐运动的图象如图 2所示，下列说法正确的是( )图 2A.质点的振动频率是 4 HzB.在 10 s内质点通过的路程是 20 cmC.第 4 s末质点的速度是零D.在 t＝1 s 和 t＝3 s 两时刻，质点位移大小相等、方向相同解析 根据振动图象可知，该简谐运动的周期 T＝4 s，所以频率 f＝ ＝0.25 Hz，A 错误；1T10 s内质点通过的路程 s＝ ×4A＝10 A＝10×2 cm＝20 cm，B 正确；第 4 s末质点经过104平衡位置，速度最大，C 错误；在 t＝1 s和 t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D 错误。答案 B6.如图 3甲是演示简谐运动图象的装置，当盛沙漏斗下的木板 N被匀速地拉出时，从摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板 N1和板 N2拉动的速度 v1和 v2的关系为 v2＝2 v1，则板 N1、 N2上曲线所代表的振动周期 T1和 T2的关系为( )8图 3A.T2＝ T1 B.T2＝2 T1C.T2＝4 T1 D.T2＝ T114解析 由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且 v2＝2 v1，则木板 N1上时间轴单位长度代表的时间 t1是木板 N2上时间轴单位长度的时间 t2的两倍，由图线可知，T1＝ t1， T2＝ t2，因而得出 t1＝4 T2，D 正确。12答案 D7.如图 4所示为某弹簧振子在 0～5 s 内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )图 4A.振动周期为 5 s，振幅为 8 cmB.第 2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值C.第 3 s末振子的速度为正向的最大值D.从第 1 s末到第 2 s末振子在做加速运动解析 根据图象可知，弹簧振子的周期 T＝4 s，振幅 A＝ 8 cm，选项 A错误；第 2 s末振子到达负方向位移最大位置，速度为零，加速度最大，且沿 x轴正方向，选项 B错误；第3 s末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向 x轴正方向运动，选项 C正确；从第 1 s末到第 2 s末振子经过平衡位置向下运动到达负方向位移最大位置，速度逐渐减小，选项D错误。答案 C8.质点沿 x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点 O。质点经过 a点( xa＝－5 cm)和 b点(xb＝5 cm)时速度相同，所用时间 tab＝0.2 s；质点由 b点回到 a点所用的最短时间tba＝0.4 s。则该质点做简谐运动的频率为( )9A.1 Hz B.1.25 HzC.2 Hz D.2.5 Hz解析 由题意可知： a、 b点在 O点的两侧，关于 O点对称，质点由 a点到 b点所用时间tab＝0.2 s，由 b点回到 a点所用最短时间 tba＝0.4 s，表明质点经过 b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于 5 cm，设周期为 T，由简谐运动的对称性可知，质点由 b点回到 a点的时间为 ，即 ＝0.4 s， T＝0.8 s，频率 f＝ ＝ Hz＝1.25 Hz，选项 B正确。T2 T2 1T 10.8答案 B9.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝ Asin t，则质点( )π4A.第 1 s末与第 3 s末的位移相同B.第 1 s末与第 3 s末的速度相同C.第 3 s末与第 5 s末的位移方向相同D.第 3 s末与第 5 s末的速度方向相同解析 根据 x＝ Asin t可求得该质点振动周期为 T＝8 s，则该质π4点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第 1 s末和第 3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项 A正确，B 错误；第 3 s末和第 5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项 C错误，D 正确。答案 AD10.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移 x＝ Asin ωt ，振动图象如图 5所示，则( )图 5A.弹簧在第 1 s末与第 5 s末的长度相同B.简谐运动的频率为 Hz1810C.第 3 s末，弹簧振子的位移大小为 A22D.弹簧振子在第 3 s末与第 5 s末的速度方向相同解析 在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，其位移 x的正、负表示弹簧被拉伸或压缩，所以弹簧在第 1 s末与第 5 s末时，虽然位移大小相同，但方向不同，弹簧长度不同，选项 A错误；由图象可知， T＝8 s，故频率为 f＝ Hz，选项 B正确； ω ＝ ＝ rad/s，18 2πT π4则将 t＝3 s代入 x＝ Asin t，可得弹簧振子的位移大小 x＝ A，选项 C正确；第 3 s末π4 22至第 5 s末弹簧振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的两点，故速度方向相同，选项 D正确。答案 BCD二、非选择题11.如图 6所示，一弹簧振子在 M、 N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点 O为平衡位置，MN＝8 cm。从小球向右经过图中 O点时开始计时，到第一次经过 N点的时间为 0.2 s则小球的振动周期为__________ s，振动方程为 x＝________ cm。图 6解析 从 O点到 N点刚好为 ，T4则有 ＝0.2 s，故 T＝0.8 s；T4由于 ω ＝ ＝ rad/s，2πT 5π2而振幅为 4 cm，从平衡位置处开始振动，所以振动方程为 x＝4sin t cm。5π2答案 0.8 4sin t5π212.有一弹簧振子在水平方向上的 B、 C之间做简谐运动，已知 B、 C间的距离为 20 cm，振子在 2 s内完成了 10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时( t＝0)，经过周期振子有负向最大加速度。1411图 7(1)求振子的振幅和周期；(2)在图 7中作出该振子的位移—时间图象；(3)写出振子的振动方程。解析 (1) xBC＝20 cm， t＝2 s， n＝10，由题意可知： A＝ ＝ ＝10 cm，xBC2 20 cm2T＝ ＝ ＝0.2 s。tn 2 s10(2)由从振子经过平衡位置开始计时，经过 周期振子有负向最大加14速度，可知振子此时在正向最大位移处。所以位移—时间图象如图所示。(3)由 A＝10 cm， T＝0.2 s，ω ＝ ＝10π rad/s2πT得振子的振动方程为 x＝10sin 10π t cm。答案 (1)10 cm 0.2 s (2)见解析图(3)x＝10sin 10π t cm