1、 图形的展开与叠折 一 .选择题 （ 2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市 3分 ）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A三棱柱 B三棱锥 C圆柱 D圆锥 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱 故选： A 【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解 一 .选择题 2.（ 2018江苏徐州 2 分 ）下列平面展开图是由 5 个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（ ） A B C D 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题 【解答】解：由四棱柱四个侧面和
2、上下两个底面的特征可知， A， C， D选项可以拼成一个正方体，而 B选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图 故选： B 【点评】解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形 3.（ 2018江苏无锡 3 分 ）下面每个图形都是由 6 个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ） A B C D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题能组成正方体的 “ 一，四，一 ”“ 三，三 ”“ 二，二，二 ”“ 一，三，二 ” 的基本形态要记牢 【解答】 解：能折叠成正方体的是 故选： C 【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟练正方体的展开图是解题的关键 4.
3、 （ 2018遂宁 4 分）如图， 5个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选： D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 5. （ 2018资阳 3分）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解：从正面看可得从左往右 2列正方形的个数依次为 2， 1， 故选： A 【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到
4、的视图 6. （ 2018乌鲁木齐 4分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B正方体 C三棱柱 D圆柱 【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得 【解答】解： A.长方体的三视图均为矩形，不符合题意； B.正方体的三视图均为正方形，不符合题意； C.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意； D.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意； 故选： C 【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图 7. （ 2018湖 州 3 分 ）如图，已知在 ABC 中， BAC 90 ，点 D 为 BC 的中点，点 E 在A
5、C 上，将 CDE 沿 DE 折叠，使得点 C 恰好落在 BA 的延长线上的点 F 处，连结 AD，则下列结论不一定正确的是（ ） A. AE=EF B. AB=2DE C. ADF和 ADE的面积相等 D. ADE和 FDE的面积相等 【答案】 C 【解析】分析：先判断出 BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出 A 正确，进而判断出 AE=CE，得出 CE 是 ABC的中位线判断出 B正确，利用等式的性质判断出 D正确 详解：如图，连接 CF， 点 D是 BC 中点， BD=CD， 由折叠知， ACB= DFE， CD=DF， BD=CD=DF， BFC是直角三角形， BFC=90 ，
6、 BD=DF， B= BFD， EAF= B+ ACB= BFD+ DFE= AFE， AE=EF，故 A正确， 由折叠知， EF=CE， AE=CE， BD=CD， DE是 ABC的中位线， AB=2DE，故 B正确， AE=CE， S ADE=S CDE， 由折叠知， CDE FDE， S CDE=S FDE， S ADE=S FDE，故 D正确， C选项不正确， 故选： C 点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键 8. （ 2018嘉兴 3 分 ）将一张正方形纸片按如图步骤 , 沿虚线对折两次 ,然后沿 中平行于底边的虚线剪去
7、一个角 ,展开铺平后的图形是（ ） A. （ A） B. （ B） C. （ C） D. （ D） 【答案】 A 【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠 , 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上 , 根据 的剪法，中间应该是一个正方形 . 【解答】根据题意，两次折叠都是沿着 正方形的对角线折叠的，根据 的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上 ,而且中间应该是一个正方形 . 故选 A 【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键 9. （ 2018黑龙江大庆 3分 ） 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如
8、图所示的平面图形，则原正方体中与 “ 创 ” 字所在的面相对的面上标的字是（ ） A庆 B力 C大 D魅 【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解答】 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “ 建 ” 与 “ 力 ” 是相对面， “ 创 ” 与 “ 庆 ” 是相对面， “ 魅 ” 与 “ 大 ” 是相对面 故选： A 10. （ 2018遂宁 4 分）如图， 5 个完全相同的小正方体组成了一个几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正
9、方形，第二层中间一个小 正方形， 故选： D 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 11. （ 2018资阳 3分）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解：从正面看可得从左往右 2列正方形的个数依次为 2， 1， 故选： A 【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图 12. （ 2018乌鲁木齐 4分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B正方体 C三棱柱 D圆柱 【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得 【解答】解： A.长方体的三视图
10、均为矩形，不符合题意； B.正方体的三视图均为正方形，不符合题意； C.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意； D.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为圆，不符合题意； 故选： C 【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图 二 .填空题 1. （ 2018湖南郴州 3 分 ）如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇 形）的弧长为 12 cm（结果用 表示） 【分析】 根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解 【解答】 解：设底面圆的半径为 rcm， 由勾股定理得： r= =6， 2 r=2 6=12 ，
11、故答案为： 12 【点评】 此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般 2.（ 2018江苏徐州 3分）如图， RtABC 中， B=90 ， AB=3cm， AC=5cm，将 ABC 折叠，使点 C与 A重合，得折痕 DE，则 ABE 的周长等于 7 cm 【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案 【解答】解：在 RtABC 中， B=90 ， AB=3cm， AC=5cm， 由勾股定理，得 BC= =4 由翻折的性质，得 CE=AE ABE 的周长 =A
12、B+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7 故答案为： 7 【点评】本题考查了翻折的性质，利用了勾股定 理，利用翻折的性质得出 CE与 AE的关系是阶梯关键，又利用了等量代换 3.（ 2018山东东营市 3 分） 如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A处沿圆柱表面爬到对角 C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ） A B C D 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解 【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A.C的最短距离为线段 AC的长 在 RtADC 中， ADC=90 ， CD
13、=AB=3， AD 为底面半圆弧长， AD=1.5 ， 所以 AC= ， 故选： C 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答 4.（ 2018临安 3 分 .） 马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经 折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） 【分析】 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题 【解答】 解： ， 故答案为： 【点评】 本题通过考查正方体的侧面
14、展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平我们有些老师在教学 “ 展开与折叠 ”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了 5. （ 2018黑龙江大庆 3 分 ） 已知圆柱的底面积为 60cm2，高为 4cm，则这 个圆柱体积为 240 cm3 【分析】 根据圆柱体积 =底面积 高，即可求出结论 【解答】 解： V=Sh=60 4=240（ cm3） 故答案为： 240 6. （ 2018黑龙江 龙东地区 3 分 ） 用一块半径为 4，圆心角为 90 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥
15、的高为 【分析】设圆锥的 底面圆的半径为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 2 r= ，然后求出 r 后利用勾股定理计算圆锥的高 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2 r= ，解得 r=1， 所以此圆锥的高 = = 故答案为 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 三 .解答题 1.（ 2018江苏宿迁 12 分 ） 如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，动点 E.F分别在边 AB.CD上 ，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应
16、点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D重合），点 C落在点 N 处， MN与 CD 交于点 P，设 BE=x， （ 1）当 AM= 时，求 x的值； （ 2）随着点 M在边 AD 上位置的变化， PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （ 3）设四边 形 BEFC的面积为 S，求 S与 x之间的函数表达式，并求出 S的最小值 . 【分析】（ 1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt AME中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+ =x2 ， 解得： x= . （ 2） PDM的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、
17、 BP，过点 B作 BH MN，根据折叠性质知 BE=ME，由等边对等角得 EBM= EMB，由等角的余角相等得 MBC= BMN，由全等三角形的判定 AAS得 Rt ABM Rt HBM，根据全等三角形的性质得 AM=HM， AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL 得 Rt BHP Rt BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出 PDM周长为定值 2. （ 3）过 F作 FQ AB，连接 BM，由折叠性质可知： BEF= MEF,BM EF，由等角的余角相等得 EBM= EMB= QFE，由全等三角形的判定 ASA得 Rt ABM Rt QFE，据全
18、等三角形的性质得 AM=QE；设 AM 长为 a，在 Rt AEM 中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+a2=x2,从而得 AM=QE= , BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S与 x的函数关系式；又由（ 1-x）2+a2=x2,得 x= =AM=BE， BQ=CF= -a（ 0a1），代入梯形面积公式即可转为关于 a的二次函数，配方从而求得 S的最小值 . 【详解】解：（ 1）由折叠性质可知： BE=ME=x， 正方形 ABCD边长为 1， AE=1-x， 在 Rt AME中， AE2+AM2=ME2 ， 即（ 1-x） 2+ =x2 ， 解得： x= . （ 2） PDM
19、的周长不会发生变化，且为定值 2. 连接 BM、 BP，过点 B作 BH MN， BE=ME， EBM= EMB， 又 EBC= EMN=90 ，即 EBM+ MBC= EMB+ BMN=90 ， MBC= BMN， 又 正方形 ABCD， AD BC， AB=BC， AMB= MBC= BMN， 在 Rt ABM和 Rt HBM 中， , Rt ABM Rt HBM（ AAS）， AM=HM， AB=HB=BC， 在 Rt BHP和 Rt BCP 中， , Rt BHP Rt BCP（ HL）， HP=CP， 又 C PDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=
20、AD+DC=2. PDM的周长不会发生变化，且为定值 2. （ 3）解：过 F作 FQ AB，连接 BM， 由折叠性质可知： BEF= MEF,BM EF， EBM+ BEF= EMB+ MEF= QFE+ BEF=90, EBM= EMB= QFE， 在 Rt ABM和 Rt QFE 中， , Rt ABM Rt QFE（ ASA）， AM=QE， 设 AM长为 a，在 Rt AEM中， AE2+AM2=EM2,即（ 1-x） 2+a2=x2, AM=QE= , BQ=CF=x- ， S= （ CF+BE） BC = （ x- +x） 1= （ 2x- ） , 又 （ 1-x） 2+a2=x
21、2, x= =AM=BE， BQ=CF= -a， S= （ -a+ ） 1= （ a2-a+1） = （ a- ） 2+ ， 0a1， 当 a= 时， S 最小值 = . 【点睛】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形 的性质，翻折变换（折叠问题） . 2. （ 2018黑龙江齐齐哈尔 12 分 ） 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩
22、形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论 实践操作 如图 1，将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC 翻折，使 点 B 落在矩形 ABCD所在平面内， BC和 AD相交于点 E，连接 BD 解决向题 （ 1）在图 1中， BD 和 AC 的位置关系为 平行 ； 将 AEC 剪下后展开，得到的图形是 菱形 ； （ 2）若图 1中的矩形变为平行四边形时（ ABBC ），如图 2所示，结论 和结论 是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； （ 3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠
23、后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 1： 1或 ： 1 ； 拓展应用 （ 4）在图 2 中，若 B=30 ， AB=4 ，当 ABD 恰好为直角三角形时， BC 的长度为 4或 6或 8或 12 【分析】（ 1） 根据内错角相等两直线平行即可判断； 根据菱形的判定方法即可解决问题； （ 2）只要证明 AE=EC，即可证明结论 成立；只要证明 ADB=DAC ，即可推出 BDAC ； （ 3）分两种 情形分别讨论即可解决问题； （ 4）先证得四边形 ACBD 是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题； 【解答】解：（ 1） BDAC 将 AEC 剪下后展开，得到的图
24、形是菱形； 故答案为 BDAC ，菱形； （ 2） 选择 证明如下： 四边形 ABCD是平行四边形， ADBC ， DAC=ACB ， 将 ABC 沿 AC 翻折至 ABC ， ACB=ACB ， DAC=ACB ， AE=CE ， AEC 是等腰三角形； 将 AEC 剪下后展开，得到的图形四边相等， 将 AEC 剪下后展开，得到的图形四边是菱形 选择 证明如下， 四边形 ABCD是平行四边形， AD=BC ， 将 ABC 沿 AC 翻折至 ABC ， BC=BC ， BC=AD ， BE=DE ， CBD=ADB ， AEC=BED ， ACB=CAD ADB=DAC ， BDAC （ 3）
25、 当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为 1： 1；ABD+ADB=90 ， y 30+y=90 ， 当矩形的长宽之比为 ： 1 时，满足条件，此时可以证明四边形 ACDB 是等腰梯形，是轴对称图形； 综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为 1： 1或 ： 1； （ 4） AD=BC ， BC=BC ， AD=BC ， ACBD ， 四边形 ACBD 是等腰梯形， B=30 ， ABC=CDA=30 ， ABD 是直角三角形， 当 BAD=90 ， AB BC时，如图 3中， 设 ADB=CBD=y ， ABD=y 30 ， 解得 y=60 ， ABD=y 30=30 ， A
26、B=AB=4 ， AD= 4 =4， BC=4 ， 当 ADB =90 ， AB BC时，如图 4， AD=BC ， BC=BC ， AD=BC ， ACBD ， 四边形 ACBD 是等腰梯形， ADB=90 ， 四边形 ACBD 是矩形， ACB=90 ， ACB=90 ， B=30 ， AB=4 ， BC= AB= 4 =6； 当 BAD=90 ， AB BC时，如图 5， AD=BC ， BC=BC ， AD=BC ， ACBD ， BAD=90 ， B=30 ， AB=4 ， ABC=30 ， AE=4 ， BE=2AE=8 ， AE=EC=4 ， CB=12 ， 当 ABD=90 时，如图 6， AD=BC ， BC=BC ， AD=BC ， ACBD ， 四边形 ACDB 是等腰梯形， ABD=90 ， 四边形 ACDB 是矩形， BAC=90 ， B=30 ， AB=4 ， BC=AB =8； 已知当 BC 的长为 4 或 6或 8或 12时， ABD 是直角三角形 故答案为：平行，菱形， 1： 1或 ： 1， 4或 6或 8或 12； 【点评】本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，本题综合性比较强，属于中考压轴题
