1、 方案设计 1. （ 2018福建 A卷 10分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 ADMN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100米木栏 （ 1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD的长； （ 2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值 【分析】（ 1） 设 AB=xm，则 BC=（ 100 2x） m，利用矩形的面积公式得到 x（ 100 2x） =450，解方程得 x1=5， x2=45，然后计算 100 2x后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长； （ 2）设 AD=
2、xm，利用矩形面积得到 S= x（ 100 x），配方得到 S= （ x 50） 2+1250，讨论：当 a50 时， 根据二次函数的性质得 S的最大值为 1250；当 0 a 50 时，则当 0 xa 时，根据二次函数的性质得 S的最大值为 50a a2 【解答】解：（ 1）设 AB=xm，则 BC=（ 100 2x） m， 根据题意得 x（ 100 2x） =450，解得 x1=5， x2=45， 当 x=5时， 100 2x=90 20，不合题意舍去； 当 x=45时， 100 2x=10， 答： AD 的长为 10m； （ 2）设 AD=xm， S= x（ 100 x） = （ x 5
3、0） 2+1250， 当 a50 时，则 x=50 时， S的最大值为 1250； 当 0 a 50 时，则当 0 xa 时， S随 x的增大而增大，当 x=a时， S的最大值为 50a a2， 综上所述 ，当 a50 时， S的最大值为 1250；当 0 a 50 时， S的最大值为 50a a2 【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x的取值范围 2.（ 2018福建 B 卷 10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙
4、和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，已 知木栏总长为 100米 （ 1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米 如图 1，求所利用旧墙 AD的长； （ 2）已知 0 50，且空地足够大，如图 2请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩 形菜园 ABCD的面积最大，并求面积的最大值 【分析】（ 1）按题意设出 AD，表示 AB 构成方程； （ 2）根据旧墙长度 a和 AD 长度表示矩形菜园长 和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关系 【解答】解：（ 1）设 AD=x米，则 AB= 依题意得， 解得 x1=10， x
5、2=90 a=20 ，且 xa x=90 舍去 利用旧墙 AD的长为 10米 （ 2）设 AD=x米，矩形 ABCD的面积为 S平方米 如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S= ， 0 x a 0 50 x a 50 时， S随 x的增大而增大 当 x=a时， S 最大 =50a 如按图 2方案围成矩形菜园，依题意得 S= ， ax 50+ 当 a 25+ 50时，即 0 a 时， 则 x=25+ 时， S最大 =（ 25+ ） 2= 当 25+ a ，即 时， S随 x的增 大而减小 x=a 时， S 最大 = 综合 ，当 0 a 时， （ ） = ，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面
6、积最大，最大面积为平方米 当 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等 当 0 a 时，围成长和宽均为（ 25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米； 当 时，围成长为 a 米，宽为（ 50 ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（ ）平方米 【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系 3.（ 2018湖 南怀化 10 分 ）某学校积极响应怀化市 “ 三城同创 ” 的号召，绿化校园，计划购进 A， B两种树苗，共 21棵，已知 A 种树苗每棵 90元， B种树苗每棵 70 元设购买 A种树苗 x棵，购买两种树苗所需费用为 y元 （ 1
7、）求 y与 x的函数表达式，其中 0x21 ； （ 2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用 【分析】（ 1）根据购买两种树苗所需费用 =A种树苗费用 +B 种树苗费用，即可解答； （ 2）根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，列出不等式，确定 x 的取值范围，再根据（ 1）得出 的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案 【解答】解：（ 1）根据题意，得： y=90x+70（ 21 x） =20x+1470， 所以函数解析式为： y=20x+1470； （ 2） 购买 B种树
8、苗的数量少于 A 种树苗的数量， 21 x x， 解得： x 10.5， 又 y=20x+1470 ，且 x取整数， 当 x=11时， y有最小值 =1690， 使费用最省的方案是购买 B种树苗 10棵， A 种树苗 11棵，所需费用为 1690元 【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解 决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系 4.（ 2018 年湖南省娄底市） “ 绿水青山，就是金山银山 ” 某旅游景区为了保护环境，需购买A.B两种型号的垃圾处理设备共 10台已知每台 A型设备日处理能力为 12吨；每台 B型设备日处理能力为 15吨；购回
9、的设备日处理能力不低于 140 吨 （ 1）请你为该景区设计购买 A.B两种设备的方案； （ 2）已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元厂家为了促销产品，规定货款不低于 40 万元时，则按 9折优惠；问：采用（ 1）设计的哪种方 案，使购买费用最少，为什么？ 【分析】（ 1）设购买 A种设备 x台，则购买 B种设备（ 10 x）台，根据购回的设备日处理能力不低于 140吨列出不等式 12x+15（ 10 x） 140，求出解集，再根据 x 为正整数，得出 x=1， 2，3进而求解即可； （ 2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解 【解答】解：（ 1）设
10、购买 A种设备 x台，则购买 B种设备（ 10 x）台， 根据题意，得 12x+15（ 10 x） 140， 解得 x 3 ， x为正整数， x=1， 2， 3 该景区有三种设计方案： 方案一：购买 A种设备 1台， B种设备 9台； 方案二：购买 A种设备 2台， B种设备 8台； 方案三：购买 A种设备 3台， B种设备 7台； （ 2）各方案购买费用分别为： 方案一： 3 1+4.4 9=42.6 40，实际付款： 42.6 0.9=38.34（万元）； 方案二： 3 2+4.4 8=41.2 40，实际付款： 41.2 0.9=37.08（万元）； 方案三： 3 3+4.4 7=39.
11、8 40，实际付款： 39.8（万元）； 37.08 38.04 39.8， 采用（ 1）设计的第二种方案，使购买费用最少 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键 5.（ 2018 湖南湘西州 12.00 分）某商店销售 A 型和 B 型两种电脑，其中 A 型电脑每台的利润为400 元， B 型电脑每台的利润为 500 元该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B型电脑的进货量不超过 A型电脑的 2倍，设购进 A型电脑 x台，这 100台电脑的销售总利润为 y元 （ 1）求 y关于 x 的函数关系式； （ 2）该商
12、店购进 A型、 B型 电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （ 3）实际进货时，厂家对 A型电脑出厂价下调 a（ 0 a 200）元，且限定商店最多购进 A型电脑 60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案 【分析】 （ 1）根据 “ 总利润 =A型电脑每台利润 A电脑数量 +B型电脑每台利润 B电脑数量 ” 可得函数解析式； （ 2）根据 “B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍且电脑数量为整数 ” 求得 x 的范围，再结合（ 1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得； （ 3）据题意得 y=（ 40
13、0+a） x+500（ 100 x），即 y=（ a 100） x+50000，分三种情况讨论， 当0 a 100时， y随 x的增大而减小， a=100 时， y=50000， 当 100 m 200时， a 100 0，y随 x的增大而增大，分别进行求解 【解答】 解：（ 1）根据题意， y=400x+500（ 100 x） = 100x+50000； （ 2） 100 x 2x， x ， y= 100x+50000中 k= 100 0， y随 x的增大而减小， x为正数， x=34时， y 取得最大值，最大值为 46600， 答：该商店购进 A型 34台、 B 型电脑 66台，才能使销售
14、总利润最大，最大利润是 46600元； （ 3）据题意得， y=（ 400+a） x+500（ 100 x），即 y=（ a 100） x+50000， 33 x 60 当 0 a 100时， y随 x的增大而减小， 当 x=34时， y取最大值， 即商店购进 34台 A型电 脑和 66台 B型电脑的销售利润最大 a=100时， a 100=0， y=50000， 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 x 60的整数时，均获得最大利润； 当 100 a 200时， a 100 0， y随 x的增大而增大， 当 x=60时， y取得最大值 即商店购进 60台 A型电脑和 40台 B型电脑的销售利
15、润最大 【点评】 题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数 x值的增大而确定 y 值的增减情况 6.（ 2018山东济宁市 7分） 绿水 青 山就是金山银 山 ” ， 为保护生态环境 ， A， B 两村准备各自 清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表： 村庄 清理养鱼网箱人 数 /人 清理捕鱼网箱人 数 /人 总支 出 /元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （ 1）若 两 村清理 同类 渔具的 人 均支出 费 用 一 样，求 清 理养鱼 网 箱 和 捕鱼网箱的 人均支出费用各是多少元； （ 2） 在人均支出费用不变
16、的情况下 ， 为节约开支 ， 两村准备抽调 40 人共同清理 养鱼网箱和捕鱼网箱，要 使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼 网 箱人数小于 清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？ 【解答 】 解 ：（ 1） 设 清 理养鱼网箱的人均费用为 x 元 ， 清理捕鱼网箱的人均费用 为 y 元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：清理养鱼网箱的人均费用为 2000 元， 清 理捕鱼网箱的人均费用为 3000 元； （ 2）设 m 人清理养鱼网箱，则 （ 40 m） 人 清理捕鱼网箱， 根据题意，得： ， 解得： 18m 20， m 为整数， m= 18 或 m=19， 则分配清理人员
17、方案有两种： 方案一： 18 人清理 养 鱼网箱 ， 22 人清理 捕 鱼网箱； 方案二： 19 人清理 养 鱼网箱 ， 21 人清理 捕 鱼网箱 7.（ 2018 湖北省恩施 10 分 ） 某学校为改善办学条件，计划采购 A.B 两种型号的空调，已知采购 3台 A型 空调和 2台 B型空调，需费用 39000 元； 4台 A型空调比 5台 B型空调的费用多 6000元 （ 1）求 A型空调和 B 型空调每台各需多少元； （ 2）若学校计划采购 A.B两种型号空调共 30台，且 A型空调的台数不少于 B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000元，该校共有哪几种采购方案？ （
18、3）在（ 2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【分析】 （ 1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （ 2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案； （ 3）根据题 意和（ 2）中的结果，可以解答本题 【解答】 解：（ 1）设 A 型空调和 B型空调每台各需 x元、 y元， ，解得， ， 答： A型空调和 B型空调每台各需 9000元、 6000元； （ 2）设购买 A型空调 a台，则购买 B型空调（ 30 a）台， ， 解得， 10 a 12 ， a=10.11.12，共有三种采购方案， 方案一：采购 A型空调 10台， B型
19、空调 20 台， 方案二：采购 A型空调 11台， B型空调 19 台， 方案三：采购 A型空调 12台， B型空调 18 台； （ 3）设总费用为 w元， w=9000a+6000（ 30 a） =3000a+180000， 当 a=10时， w取得最小值，此时 w=210000， 即采购 A型空调 10台， B型空调 20台可使总费用最低，最低费用是 210000元 【点评】 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答 8.（ 2018贵州铜仁 12 分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌
20、若干张，并且每买 1 张办公桌必须买 2把椅子，椅子每把 100元，若学校购进 20张甲种办公桌和 15张乙种办公桌共花费 24000元；购买 10张甲种办公桌比购买 5张乙种办公桌多花费 2000元 （ 1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？ （ 2）若 学校购买甲乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用 【分析】 （ 1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y元，根据 “ 甲种桌子总钱数 +乙种桌子总钱数 +所有椅子的钱数 =24000、 10把甲种桌子钱数 5把乙种桌子钱数 +多出 5张桌子对应椅子的钱数
21、 =2000” 列方程组求解可得； （ 2）设甲种办公桌购买 a张，则购买乙种办公桌（ 40 a）张， 购买的总费用为 y，根据 “ 总费用 =甲种桌子总钱数 +乙种桌子总钱数 +所有椅子的总钱数 ” 得出函数解析式，再由 “ 甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3倍 ” 得出自变量 a的取值范围，继而利用一次函数的性质求解可得 【 解答】 解：（ 1）设甲种办公桌每张 x元，乙种办公桌每张 y元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：甲种办公桌每张 400元，乙种办公桌每张 600元； （ 2）设甲种办公桌购买 a张，则购买乙种办公桌（ 40 a）张，购买的总费用为 y， 则 y=400a+600（ 40 a） +2 40 100 = 200a+32000， a 3（ 40 a）， a 30， 200 0， y随 a的增大而减小， 当 a=30时， y取得最小值，最小值为 26000元
