1、 动态问题 专题 一 .选择题 1.（ 2018山东烟台市 3分） 如图，矩形 ABCD 中， AB=8cm， BC=6cm，点 P从点 A出发，以 lcm/s的速度沿 ADC 方向匀速运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 ABC 方向匀速运动，当一个点到达点 C时，另一个点也随之停止设运动时间为 t（ s）， APQ的面积为 S（ cm2），下列能大致反映 S与 t之间函数关系的图象是（ ） A B C D 【分析】先根据动点 P和 Q的运动时间和速度表示： AP=t， AQ=2t， 当 0t4 时， Q 在边 AB 上， P在边 AD上，如图 1，计算 S与 t的关系
2、式，发现是开口向上的抛物线，可知：选项 C.D不正确； 当 4 t6 时， Q 在边 BC 上， P在边 AD 上，如图 2，计算 S与 t的关系式，发现是一次函数，是一条直线，可知：选项 B不正确，从而得结论 【解答】解：由题意得： AP=t， AQ=2t， 当 0t4 时， Q在边 AB 上， P在边 AD上，如图 1， S APQ= APAQ= =t2， 故选项 C.D不正确； 当 4 t6 时， Q在边 BC 上， P在边 AD上，如图 2， S APQ= APAB= =4t， 故选项 B不正确； 故选： A 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点 P 和 Q 的位置的不同确定
3、三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 S与 t的函数关系式 2. （ 2018广西玉林 3分）如图， AOB=60， OA=OB，动点 C从点 O 出发，沿射线 OB方向移动，以 AC为边在右侧作等边 ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是（ ） A平行 B相交 C垂直 D平行、相交或垂直 【分析】先判断出 OA=OB， OAB= ABO，分两种情况判断出 ABD= AOB=60，进而判断出AOC ABD，即可得出结论 【解答】解： AOB=60， OA=OB， OAB是等边三角形， OA=AB， OAB= ABO=60 当点 C在线段 OB上
4、时，如图 1， ACD是等边三角形， AC=AD， CAD=60， OAC= BAD， 在 AOC和 ABD中， ， AOC ABD， ABD= AOC=60， ABE=180 ABO ABD=60 = AOB， BD OA， 当点 C在 OB的延长线上时，如图 2， 同的方法得出 OA BD， ACD是等边三角形， AC=AD， CAD=60， OAC= BAD， 在 AOC和 ABD中， ， AOC ABD， ABD= AOC=60， ABE=180 ABO ABD=60 = AOB， BD OA， 故选： A 3. （ 2018广西桂林 3分 ） 如图，在平面直角坐标系中， M、 N、
5、C三点的坐标分别为 （ ， 1），（ 3， 1），（ 3， 0），点 A为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A作 交 y轴于点 B，当点 A从 M运动到 N时，点 B随之运动，设点 B的坐标为（ 0， b），则 b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 分析：分两种情形：当 A与点 N、 M重合时来确 定 b的最大与最小值即可 . 详解：如图 1， 当点 A与点 N重合时， CA AB， MN是直线 AB的一部分， N（ 3， 1） OB=1，此时 b=1； 当点 A与点 M重合时 ， 如图 2，延长 NM交 y轴于点 D， 易证 ACN BMD MN=3
6、-=,DM=， CN=1 BD= OB=BD-OD=-1=,即 b=-， b的取值范围是 . 故选 A. 点 睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键 4.（ 2018广东 3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设 PAD的面积为 y， P点的运动时间为 x，则 y 关于 x的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可 【解答】解：分三种情况
7、： 当 P在 AB 边上时，如图 1， 设菱形的高为 h， y= APh， AP随 x的增大而增大， h不变， y随 x的增大而增大， 故选项 C不正确； 当 P在边 BC上时，如图 2， y= ADh， AD和 h都不变， 在这个过程中， y不变， 故选项 A不正确； 当 P在边 CD上时，如图 3， y= PDh， PD随 x的增大而减小， h不变， y随 x的增大而减小， P点从点 A出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D， P在三条线段上运动的时间相同， 故选项 D不正确； 故选： B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出 PAD的面
8、积的表达式是解题的关键 5. （ 2018广东 3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设 PAD的面积为 y， P点的运动时间为 x，则 y 关于 x的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可 【解答】解：分三种情况： 当 P在 AB 边上时，如图 1， 设菱形的高为 h， y= APh， AP随 x的增大而增大， h不变， y随 x的增大而增大， 故选项 C不正确；
9、当 P在边 BC上时，如图 2， y= ADh， AD和 h都不变， 在这个过程中， y不变， 故选项 A不正确； 当 P在边 CD上时，如图 3， y= PDh， PD随 x的增大而减小， h不变， y随 x的增大而减小， P点从点 A出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D， P在三条线段上运动的时间相同， 故选项 D不正确； 故选： B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出 PAD的面积的表达式是解题的关键 二 .填空题 【点评】本题考查了等边三角形的性质、 直角三角形 30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b的
10、最值就是确认 OH 最值的范围 1.（ 2018江苏无锡 2 分 ）如图，已知 XOY=60 ，点 A 在边 OX 上， OA=2过点 A 作 AC OY于点 C，以 AC 为一边在 XOY内作等边三角形 ABC，点 P是 ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P作 PD OY交 OX于点 D，作 PE OX交 OY于点 E设 OD=a， OE=b，则 a+2b的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，构建 30度的直角三角形，先证明四边形 EODP是平行四边形，得 EP=OD=a，在 Rt HEP 中， EPH=30 ，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH 最大和最
11、小值的位置，可得结论 【解答】解：过 P作 PH OY交于点 H， PD OY， PE OX， 四边形 EODP是平行四边形， HEP= XOY=60 ， EP=OD=a， Rt HEP中， EPH=30 ， EH= EP= a， a+2b=2（ a+b） =2（ EH+EO） =2OH， 当 P在 AC边上时， H与 C重合，此时 OH的最小值 =OC= OA=1，即 a+2b 的最小值是 2； 当 P在点 B时， OH的最大值是： 1+ = ，即（ a+2b）的最大值是 5， 2a+2b5 2. （ 2018达州 3 分）如图， Rt ABC中， C=90 ， AC=2， BC=5，点 D
12、是 BC边上一点且 CD=1，点 P是线段 DB上一动点，连接 AP，以 AP为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt AOP当 P从点 D出发运动至点 B停止 时，点 O的运动路径长为 【分析】过 O 点作 OE CA于 E， OF BC于 F，连接 CO，如图，易得四边形 OECF为矩形，由 AOP为等腰直角三角形得到 OA=OP， AOP=90 ，则可证明 OAE OPF，所以 AE=PF， OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到 CO 平分 ACP，从而可判断当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O的运动路径为一条线段，接着证明 CE= （ AC+CP），然后分别计算 P点
13、在 D点和 B点时 OC的长，从而计算它们的差即可得到 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 【解答】解：过 O点作 OE CA于 E， OF BC于 F，连接 CO，如图， AOP为等腰直角三角形， OA=OP， AOP=90 ， 易得四边形 OECF为矩形， EOF=90 ， CE=CF， AOE= POF， OAE OPF， AE=PF， OE=OF， CO平分 ACP， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径为一条线段， AE=PF， 即 AC CE=CF CP， 而 CE=CF， CE= （ AC+CP）， OC= CE= （ AC+CP）， 当 AC
14、=2， CP=CD=1时， OC= （ 2+1） = ， 当 AC=2， CP=CB=5时， OC= （ 2+5） = ， 当 P从点 D出发运动至点 B停止时，点 O的运动路径长 = =2 故答案为 2 【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算也考查了全等三角形的判定与性质 3. （ 2018杭州 4 分 ） 折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作： 把 ADE 翻折，点 A落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上； 把纸片展开并铺平； 把 CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点
15、 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边 上，若AB=AD+2， EH=1，则 AD=_。 【答案】 或 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折 叠问题） 【解析】【解答】 当点 H 在线段 AE 上时把 ADE 翻折，点 A 落 在 DC边上的点 F处，折痕为 DE，点 E在 AB 边上 四边形 ADFE是正方形 AD=AE AH=AE-EH=AD-1 把 CDG翻折，点 C落在直线 AE上的点 H处，折痕为 DG，点 G在 BC边上 DC=DH=AB=AD+2 在 Rt ADH中， AD2+AH2=DH2 AD2+（ AD-1） 2=（ AD+2） 2 解之： A
16、D=3+2 ， AD=3-2 （舍去） AD=3+2 当点 H在线段 BE 上时 则 AH=AE-EH=AD+1 在 Rt ADH中， AD2+AH2=DH2 AD2+（ AD+1） 2=（ AD+2） 2 解之： AD=3， AD=-1（舍去） 故答案为： 或 3 【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据 的折叠，可得出四边形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1），再根据 的折叠可得出 DH=AD+2，然后根 据勾股定理求出 AD的长。 4. （ 2018嘉兴 4分 .） 如图 ,在矩
17、形 中 , , ,点 在 上 , ,点 是边 上一动点 ,以 为斜边作 .若点 在矩形 的边上 ,且这样的直角三角形恰好有两个 ,则的值是 _. 【答案】 0或 或 4 【解析】 【分析】在点 F的运动过程中分别以 EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形 边的交点个数即可得到结论 . 【解 答】当点 F与点 A重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意 . 当点 F从点 A向点 B运动时， 当 时，共有 4 个点 P使 是以 为斜边 . 当 时，有 1个点 P使 是以 为斜边 . 当 时，有 2个点 P使 是以 为斜边 . 当 时，有 3个点 P使 是以 为斜边 . 当 时，有 4个点 P使 是以
18、为斜边 . 当点 F与点 B重合时，以 为斜边 恰好有两个，符合题意 . 故答案为： 0或 或 4 【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键 .注意分类讨论思想在数学中的应用 . 三 .解答题 1.（ 2018江苏宿迁 12分 ） 如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，动点 E.F分别在边 AB.CD上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点 M 不与点 A.D 重合），点 C落在点 N处， MN 与 CD 交于点 P，设 BE=x， （ 1）当 AM= 时，求 x的值； （ 2）随着点 M在边 AD上位置的变化， PD
19、M的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （ 3）设四边形 BEFC的面积为 S，求 S与 x之间的函数表达式，并求出 S的最小值 . 【分析】（ 1）由折叠性质可知 BE=ME=x，结合已知条件知 AE=1-x，在 Rt AME 中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+ =x2 ， 解得： x= . （ 2） PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2.连接 BM、 BP，过点 B 作 BH MN，根据折叠性质知 BE=ME，由等边对等角得 EBM= EMB，由等角的余角相等得 MBC= BMN，由全等三角形的判定 AAS 得 Rt ABM Rt HBM，根据全等三角形的性
20、质得 AM=HM， AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定 HL得 Rt BHP Rt BCP，根据全等三角形的性质得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出 PDM周长为定值 2. （ 3）过 F 作 FQ AB，连接 BM，由折叠性质可知： BEF= MEF,BM EF，由等角的余角相等得 EBM= EMB= QFE，由全等三角形的判定 ASA 得 Rt ABM Rt QFE，据全等三角形的性质得AM=QE；设 AM 长为 a，在 Rt AEM中，根据勾股定理得（ 1-x） 2+a2=x2,从而 得 AM=QE= , BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出 S与 x的函数
21、关系式；又由（ 1-x） 2+a2=x2,得 x= =AM=BE， BQ=CF= -a（ 0a1），代入梯形面积公式即可转为关于 a的二次函数，配方从而求得 S的最小值 . 【详解】解：（ 1）由折叠性质可知： BE=ME=x， 正方形 ABCD边长为 1， AE=1-x， 在 Rt AME中， AE2+AM2=ME2 ， 即（ 1-x） 2+ =x2 ， 解得： x= . （ 2） PDM的周长不会发生变化，且为定值 2. 连接 BM、 BP，过点 B作 BH MN， BE=ME， EBM= EMB， 又 EBC= EMN=90 ，即 EBM+ MBC= EMB+ BMN=90 ， MBC=
22、 BMN， 又 正方形 ABCD， AD BC， AB=BC， AMB= MBC= BMN， 在 Rt ABM和 Rt HBM 中， , Rt ABM Rt HBM（ AAS）， AM=HM， AB=HB=BC， 在 Rt BHP和 Rt BCP 中， , Rt BHP Rt BCP（ HL）， HP=CP， 又 C PDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2. PDM的周长不 会发生变化，且为定值 2. （ 3）解：过 F作 FQ AB，连接 BM， 由折叠性质可知： BEF= MEF,BM EF， EBM+ BEF= EMB+ MEF= QFE
23、+ BEF=90, EBM= EMB= QFE， 在 Rt ABM和 Rt QFE 中， , Rt ABM Rt QFE（ ASA）， AM=QE， 设 AM长为 a，在 Rt AEM中， AE2+AM2=EM2,即（ 1-x） 2+a2=x2, AM=QE= , BQ=CF=x- ， S= （ CF+BE） BC = （ x- +x） 1= （ 2x- ） , 又 （ 1-x） 2+a2=x2, x= =AM=BE， BQ=CF= -a， S= （ -a+ ） 1= （ a2-a+1） = （ a- ） 2+ ， 0a1， 当 a= 时， S 最小值 = . 【点睛】二次函数的最值，全等三角
24、形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，翻折变换（折叠问题） . 2.（ 2018江苏徐州 10 分）如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC， AC=DE， ABC= DEF=90 ， EDF=30 操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E放置于三角板 ABC的斜边 AC上，再将三角板 DEF绕点 E旋转，并使边 DE与边 AB交于点 P，边 EF与边 BC 于点 Q 探究一：在旋转过程中， （ 1）如图 2，当 时， EP与 EQ满足怎样的数量关系？并给出证明； （ 2）如图 3，当 时， EP与 EQ满足 怎样的数量关系？并说明理由； （ 3）根据你对（ 1）、（ 2）的探究结果，试写出当
25、 时， EP与 EQ满足的数量关系式为 EP：EQ=1： m ，其中 m的取值范围是 0 m2+ （直接写出结论，不必证明） 探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设 EPQ的面积为 S（ cm2），在旋转过程中： （ 1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由 （ 2）随着 S取不同的值，对应 EPQ的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围 【分析】探究一：（ 1）连接 BE，根据已知条件得到 E是 AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 BE=CE， PBE= C根据等角的余角相等 可以证明 BEP= CEQ即可得到全等三角形，从而证
26、明结论； （ 2）作 EM AB， EN BC 于 M、 N，根据两个角对应相等证明 MEP NWQ，发现 EP： EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到 EM： EN=AE： CE； （ 3）根据（ 2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析 探究二：（ 1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x表示出三角形的面积，根据 x的最值求得面积的最值； （ 2）首先求得 EQ和 EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论 【解答】解：探究一 ：（ 1）连接 BE，根据 E是 AC的中点和等腰直角三角形的性质，得 BE=CE， PBE= C，
27、又 BEP= CEQ，则 BEP CEQ，得 EP=EQ； （ 2）作 EM AB， EN BC于 M， N， EMP= ENC， MEP+ PEN= PEN+ NEF=90 ， MEP= NEF， MEP NEQ， EP： EQ=EM： EN=AE： CE=1： 2； （ 3）过 E点作 EM AB于点 M，作 EN BC 于点 N， 在四边形 PEQB中， B= PEQ=90 ， EPB+ EQB=180 （四边形的内角 和是 360 ）， 又 EPB+ MPE=180 （平角是 180 ）， MPE= EQN（等量代换）， Rt MEP Rt NEQ（ AA）， （两个相似三角形的对应边
28、成比例）； 在 Rt AME Rt ENC =m=， =1： m= ， EP与 EQ 满足的数量关系式为 EP： EQ=1： m， 0 m2+ ；（当 m 2+ 时， EF与 BC不会相交） 探究二：若 AC=30cm， （ 1）设 EQ=x，则 S= x2，所以当 x=10 时，面积最小，是 50cm2； 当 x=10 时，面积最大，是 75cm2 （ 2）当 x=EB=5 时， S=62.5cm2， 故当 50 S62.5 时，这样的三角形有 2个； 当 S=50或 62.5 S75 时，这样的三角形有一个 【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解 3.（ 20
29、18江苏淮安 12 分）如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数 y= x+4 的图象与 x 轴和y 轴分别相交于 A.B 两点动点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O作匀速运动，到达点 O停止运动，点 A关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ为边向上作正方形PQMN设运动时间为 t秒 （ 1）当 t= 秒时，点 Q的坐标是 （ 4， 0） ； （ 2）在运动过程中，设正方形 PQMN与 AOB重叠部分的面积为 S，求 S与 t的函数表达式； （ 3）若正方形 PQMN对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT 的最小值 【分析】（ 1）先确定
30、出点 A的坐标，进而求出 AP，利用对称性即可得出结论； （ 2）分三种情况， 利用正方形的面积减去三角形的面积， 利用矩形的面积减去三角形的面积， 利用梯形的面积，即可得出结论； （ 3）先确定出点 T的运动 轨迹，进而找出 OT+PT 最小时的点 T的位置，即可得出结论 【解答】解：（ 1）令 y=0， x+4=0， x=6， A（ 6， 0）， 当 t= 秒时， AP=3 =1， OP=OA AP=5， P（ 5， 0）， 由对称性得， Q（ 4， 0）； 故答案为（ 4， 0）； （ 2）当点 Q在原点 O时， OQ=6， AP= OQ=3， t=33=1 ， 当 0 t1 时，如图
31、1，令 x=0， y=4， B（ 0， 4）， OB=4， A（ 6， 0）， OA=6， 在 Rt AOB中， tan OAB= = ， 由运动知， AP=3t， P（ 6 3t， 0）， Q（ 6 6t， 0）， PQ=AP=3t， 四边形 PQMN是正方形， MN OA， PN=PQ=3t， 在 Rt APD中， tan OAB= = = ， PD=2t， DN=t， MN OA DCN= OAB， tan DCN= = = ， CN= t， S=S 正方形 PQMN S CDN=（ 3t） 2 t t= t2； 当 1 t 时，如图 2，同 的方法得， DN=t， CN= t， S=S
32、 矩形 OENP S CDN=3t （ 6 3t） t t= t2+18t； 当 t2 时 ， 如图 3， S=S 梯形 OBDP= （ 2t+4）（ 6 3t） = 3t2+12； （ 3）如图 4，由运动知， P（ 6 3t， 0）， Q（ 6 6t， 0）， M（ 6 6t， 3t）， T是正方形 PQMN的对角线交点， T（ 6 t， t） 点 T是直线 y= x+2上的一段线段，（ 3x 6）， 作出点 O关于直线 y= x+2的对称点 O交此直线于 G，过点 O作 OF x轴，则 OF就是 OT+PT的最小值， 由对称知， OO=2OG， 易知， OH=2， OA=6， AH= =
33、2 ， S AOH= OHOA= AHOG ， OG= ， OO= 在 Rt AOH中， sin OHA= = = ， HOG+ AOG=90 ， HOG+ OHA=90 ， AOG= OHA， 在 Rt OFO中， OF=OOsin OOF= = ， 即： OT+PT的最小值为 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的 思想解决问题是解本题的关键，找出点 T的位置是解本题（ 3）的难点 4.（ 2018江苏苏州 10分）如图 ，直线 l表示一条东西走向的笔直公路，四边形 ABCD是一块边长为 100米的正
34、方形草地，点 A， D在直线 l上，小明从点 A出发，沿公路 l向西走了若干米后到达点 E处，然后转身沿射线 EB方向走到点 F处，接着又改变方向沿射线 FC 方向走到公路 l上的点 G处，最后沿公路 l回到点 A处设 AE=x 米（其中 x 0）， GA=y米，已知 y与 x之间的函数关系如图 所示， （ 1）求图 中线段 MN所在直线的函数表达式； （ 2）试问小明从 起点 A 出发直至最后回到点 A 处，所走过的路径（即 EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应 x的值；如果不可以，说明理由 【分析】（ 1）根据点 M、 N 的坐标，利用待定系数法即可求出图 中线段 MN 所
35、在直线的函数表达式； （ 2）分 FE=FG、 FG=EG 及 EF=EG三种情况考虑： 考虑 FE=FG是否成立，连接 EC，通过计算可得出 ED=GD，结合 CD EG，可得出 CE=CG，根据等腰三角形的性质可得 出 CGE= CEG、 FEG CGE，进而可得出 FEFG ； 考虑 FG=EG 是否成立，由正方形的性质可得出 BC EG，进而可得 出 FBC FEG，根据相似三角形的性质可得出若 FG=EG 则 FC=BC，进而可得出 CG、 DG 的长度，在 Rt CDG 中，利用勾股定理即可求出 x 的值； 考虑 EF=EG 是 否成立，同理可得出若EF=EG 则 FB=BC，进而
36、可得出 BE 的长度， 在 Rt ABE 中，利用勾股定理即可求出 x 的值综上即可得出结论 【解答】解：（ 1）设线段 MN所在直线的函数表达式为 y=kx+b， 将 M（ 30， 230）、 N（ 100， 300）代入 y=kx+b， ，解得： ， 线段 MN所在直线的函数表达式为 y=x+200 （ 2）分三种情况考虑： 考虑 FE=FG是否成立，连接 EC，如图所示 AE=x， AD=100， GA=x+200， ED=GD=x+100 又 CD EG， CE=CG， CGE= CEG， FEG CGE， FEFG ； 考虑 FG=EG是否成立 四边形 ABCD是正方形， BC EG
37、， FBC FEG 假设 FG=EG成立，则 FC=BC成立， FC=BC=100 AE=x， GA=x+200， FG=EG=AE+GA=2x+200， CG=FG FC=2x+200 100=2x+100 在 Rt CDG中， CD=100， GD=x+100， CG=2x+100， 1002+（ x+100） 2=（ 2x+100） 2， 解得： x1= 100（不合题意，舍去）， x2= ； 考虑 EF=EG是否成立 同理，假设 EF=EG成立，则 FB=BC成立， BE=EF FB=2x+200 100=2x+100 在 Rt ABE中， AE=x， AB=100， BE=2x+10
38、0， 1002+x2=（ 2x+100） 2， 解得： x1=0（不合题意，舍去）， x2= （不合题意，舍去） 综上所述：当 x= 时， EFG 是一个等腰三角形 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（ 1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（ 2）分 FE=FG、 FG=EG及 EF=EG三种情况求出 x的值 5. （ 2018嘉兴 12 分 ） 我们定义 :如果一个三角形一条边上的高等于这条边 ,那么这个三角形叫做 “ 等高底 ” 三角形 ,这条边叫做这个三角形的 “ 等底 ”
39、 。 （ 1）概念理解 : 如图 1,在 中 , , . ,试判断 是否是 “ 等高底 ” 三角形，请说明理由 . （ 2）问题探究 : 如图 2, 是 “ 等高底 ” 三角形 , 是 “ 等底 ” ，作 关于 所在直线的对称图形得到,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心 ,求 的值 . （ 3）应用拓展 : 如图 3,已知 ,与 之间的距离为 2.“ 等高底 ” 的 “ 等底 ” 在直线 上 ,点 在直线 上 ,有一边的长是 的 倍 .将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在直线交 于点 .求的值 . 【答案】 （ 1） 证明见解析 ；（ 2） （ 3） 的值为 , ,2 【解析】 分析
40、 ： （ 1）过点 A作 AD 直线 CB 于点 D，可以得到 AD=BC=3，即可得到结论； （ 2）根据 ABC是 “ 等高底 ” 三角形， BC是 “ 等底 ” ，得到 AD=BC， 再由 A BC与 ABC关于直线 BC对称， 得到 ADC=90 ，由重心的性质，得到 BC=2BD设 BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得 AC= x，即可得到结论； （ 3）分两种情况讨论即可 ： 当 AB= BC时，再分两种情况讨论； 当 AC= BC时，再分两种情况讨论即可 详解 ： （ 1）是理由如下： 如图 1，过点 A作 AD 直线 CB于点 D， ADC为直角三角形，
41、ADC=90 ACB=30 ， AC=6， AD=AC=3， AD=BC=3， 即 ABC是 “ 等高底 ” 三角形 （ 2）如图 2， ABC是 “ 等高底 ” 三角形， BC是 “ 等底 ” ， AD=BC， A BC 与 ABC关于直线 BC 对称， ADC=90 点 B是 AA C的重心， BC=2BD 设 BD=x，则 AD=BC=2x， CD=3x ， 由勾股定理得 AC= x， （ 3） 当 AB= BC时， 如图 3，作 AE l1于点 E， DF AC于点 F “ 等高底 ” ABC的 “ 等底 ” 为 BC， l1/l2， l1与 l2之间的距离为 2， AB= BC， B
42、C=AE=2， AB=2 ， BE=2，即 EC=4， AC= ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45 得到 A B C， CDF=45 设 DF=CF=x l1/l2， ACE= DAF， ，即 AF=2x AC=3x= ，可得 x= ， CD= x= 如图 4，此时 ABC是等腰直角三角形， ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45 得到 A B C， ACD是等腰直角三角形， CD= AC= 当 AC= BC时， 如图 5，此时 ABC是等腰直角三角形 ABC绕点 C按顺时针方向旋转 45 得到 A B C， A C l1， CD=AB=BC=2 如图 6，作 AE l1于点 E，则 AE=B
43、C， AC= BC= AE， ACE=45 ， ABC绕点 C按顺时针方向 旋转 45 得到 A B C时， 点 A 在直线 l1上， A C l2，即直线 A C 与 l2无交点 综上所述： CD的值为 ， ， 2 点睛 ： 本题是几何变换 -旋转综合题 考查了重心的性质 ， 勾 股定理 ， 旋转的性质以及阅读理解能力 解题的关键是对新概念 “ 等高底 ” 三角形的理解 6. （ 2018黑龙江 龙东地区 10分 ） 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的边 AB 在 x轴上，点 B 坐标（ 3， 0），点 C在 y 轴正半轴上，且 sin CBO= ，点 P从原点 O 出发，以每秒一个
44、单位长度的速度沿 x 轴正方向移动，移动时间为 t（ 0t5 ）秒，过点 P作平行于 y 轴的直线l，直线 l扫过四边形 OCDA的面积为 S （ 1）求点 D坐标 （ 2）求 S关于 t的函数关系式 （ 3）在直线 l 移动过程中， l 上是否存在一点 Q，使以 B.C.Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（ 1）在 Rt BOC中， OB=3， sin CBO= = ，设 CO=4k， BC=5k，根据 BC2=CO2+OB2，可得 25k2=16k2+9，推出 k=1或 1（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题； （ 2） 如图
45、1中，当 0t2 时，直线 l扫过的图象是四边形 CCQP， S=4t 如图 2中，当 2 t5 时，直线 l扫过的图形是五边形 OCQTA分别求解即可解决问题； （ 3）分三种情形分解求解即可解决问题； 【解答】解：（ 1）在 Rt BOC中， OB=3， sin CBO= = ，设 CO=4k， BC=5k， BC2=CO2+OB2， 25k2=16k2+9， k=1或 1（ 舍弃 ）， BC=5， OC=4， 四边形 ABCD是菱形 ， CD=BC=5， D（ 5， 4） （ 2） 如图 1中，当 0t2 时，直线 l扫过的图象是四边形 CCQP， S=4t 如图 2中，当 2 t5 时，直线 l扫过的图形是五边形 OCQTA S=S 梯形 OCDA S DQT= （ 2+5） 4 （ 5 t） （ 5 t） = t2+ t （ 3）如图 3中， 当 QB=QC， BQC=90 ， Q（ ， ） 当 BC=CQ ， BCQ=90 时， Q （ 4， 1）； 当 BC=BQ ， CBQ=90 时， Q （ 1， 3）； 综上所述，满足条件的点 Q坐标为
