1、 综合性问题 一 .选择题 1. （ 2018湖南怀化 4分 ）下列命题是真命题的是（ ） A两直线平行，同位角相等 B相似三角形的面积比等于相似比 C菱形的对角线相等 D相等的两个角是对顶角 【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可 【解答】解：两直线平行，同位角相等， A是真命题； 相似三角形的面积比等于相似比的平方， B是假命题； 菱形的对角线互相垂直，不一定相等， C是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角， D是假命题； 故选： A 【点评】本题考查的是命题的真假判 断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定
2、理 2.（ 2018江苏苏州 3 分）如图，矩形 ABCD的顶点 A， B在 x轴的正半轴上，反比例函数 y=在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E若 AB=4， CE=2BE， tan AOD= ，则 k的值为（ ） A 3 B 2 C 6 D 12 【分析】由 tan AOD= = 可设 AD=3A.OA=4a，在表示出点 D.E 的坐标，由反比例函数经过点 D.E列出关于 a的方程，解之求得 a的值即可得出答案 【解答】解： tan AOD= = ， 设 AD=3A.OA=4a， 则 BC=AD=3a，点 D坐标为（ 4a， 3a）， CE=2BE， BE= BC=a， AB=
3、4， 点 E（ 4+4a， a）， 反比例函数 y= 经过点 D.E， k=12a2=（ 4+4a） a，解得： a= 或 a=0（舍），则 k=12 =3， 故选： A 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D.E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k 3.（ 2018内蒙古包头市 3分） 已知下列命题： 若 a3 b3，则 a2 b2； 若点 A（ x1， y1）和点 B（ x2， y2）在二次函数 y=x2 2x 1的图象上，且满足 x1 x2 1，则 y1 y2 2； 在同一平面内， a， b， c是直线，且 a b， b
4、c，则 a c； 周长相等的所有等腰直角三角形全等 其中真命题的个数是（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 【分析】依据 a， b 的符号以及绝对值，即可得到 a2 b2不一定成立；依据二次函数 y=x22x 1 图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得 y1 y2 2；依据 a b， b c，即可得到 a c；依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等 【解答】解： 若 a3 b3，则 a2 b2不一定成立，故错误； 若点 A（ x1， y1）和点 B（ x2， y2）在二次函数 y=x2 2x 1的图象上，且满足 x1 x2 1，则 y1 y2 2，故正确；
5、在同一平面内 ， a， b， c是直线，且 a b， b c，则 a c，故错误； 周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确 故选： C 【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 4.（ 2018山东东营市 3分） 如图，点 E在 DBC的边 DB上，点 A在 DBC内部， DAE=BAC=90 ， AD=AE， AB=AC给出下列结论： BD=CE； ABD+ ECB=45 ； BD CE； BE2=2（ AD2+AB2） CD2其中正确的是（ ） A B C D 【分析】只要证明 DAB
6、EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断； 【解答】解： DAE= BAC=90 ， DAB= EAC AD=AE， AB=AC， DAB EAC， BD=CE， ABD= ECA，故 正确， ABD+ ECB= ECA+ ECB= ACB=45 ，故 正确， ECB+ EBC= ABD+ ECB+ ABC=45+45=90 ， CEB=90 ，即 CE BD，故 正确， BE2=BC2 EC2=2AB2（ CD2 DE2） =2AB2 CD2+2AD2=2（ AD2+AB2） CD2故 正确， 故选： A 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关
7、键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 5. （ 2018遂宁 4 分）已知如图，在正方形 ABCD 中， AD=4， E， F分别是 CD， BC上的一点，且 EAF=45 ， EC=1，将 ADE绕点 A沿顺时针方向旋转 90 后与 ABG重合，连接 EF，过点 B作 BM AG，交 AF于点 M，则以下结论： DE+BF=EF， BF= ， AF= ， S MBF=中正确的是（ ） A B C D 【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出 BF 的长，再利用相似三角形的性质求出 BMF的面积即可 【解答】解： AG=AE， FAE= FAG=45 ， AF=AF，
8、AFE AFG， EF=FG， DE=BG， EF=FG=BG+FB=DE+BF，故 正确， BC=CD=AD=4， EC=1， DE=3，设 BF=x，则 EF=x+3， CF=4 x， 在 Rt ECF中，（ x+3） 2=（ 4 x） 2+12， 解得 x= ， BF= ， AF= = ，故 正确， 错误， BM AG， FBM FGA， =（ ） 2， S FBM= ，故 正确， 故选： D 【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 6. （ 201
9、8乌鲁木齐 4 分）如图 ，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线BE ED DC 运动到点 C时停止；点 Q从点 B沿 BC 运动到点 C时停止，速度均为每秒 1个单位长度如果点 P、 Q 同时开始运动，设运动时间为 t， BPQ的面积为 y，已知 y与 t的函数图象如图 所示以下结论： BC=10； cos ABE= ； 当 0t10 时， y= t2； 当 t=12时， BPQ是等腰三角形； 当 14t20 时， y=110 5t中正确的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 【分析】根据题意，确定 10t14 ， PQ的运动状态，得到 BE.B
10、C.ED问 题可解 【解答】解：由图象可知，当 10t14 时， y值不变，则此时， Q点到 C， P 从 E到 D BE=BC=10， ED=4故 正确 AE=6 Rt ABE中， AB= cos ABE= ；故 错误 当 0t10 时， BPQ的面积为 正确； t=12时， P在点 E右侧 2单位，此时 BP BE=BC PC= BPQ不是等腰三角形 错误； 当 14t20 时，点 P由 D向 C运动， Q在 C点， BPQ的面积为 则 正确 故选： B 【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动 点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联 7. （ 2018广西玉林
11、 3分 ）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 【分析】根据一次函数的定义，可得答案 【解答】解：设等腰三角形的底角为 y，顶角为 x，由题意，得 y= x+90 ， 故选： B 8. （ 2018广西玉林 3 分）圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的 等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ） A 90 B 120 C 150 D 180 【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为 4.侧面展开图扇形的半径为4，据此利用弧长公式求解可得 【解答】解：圆锥的主视图与左视图都是边长为 4的等边三角形， 圆锥的母线长为
12、 4.底面圆的直径为 4， 则圆锥的侧面展开图扇形的半径为 4， 设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 n， 根据题意，得： =4 ， 解得： n=180， 故选： D 9.（ 2018广西贵港 3 分）下列命题中真命题是（ ） A =（ ） 2一定成立 B位似图形不可能全等 C正多边形都是轴对称图形 D圆锥的主视图一定是等边三角形 【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得 【解答】解： A. =（ ） 2当 a 0不成立，假命题； B.位似图形在位似比为 1时全等，假命题； C.正多边形都是轴对称图形，真命题； D.圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命
13、题； 故选： C 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念是解题的关键 10.（ 2018广西贵港 3分）如图，抛物线 y= （ x+2）（ x 8）与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C，顶点为 M，以 AB 为直径作 D下列结论： 抛物线的对称轴是直线 x=3； D 的面积为 16 ； 抛物线上存在点 E，使四边形 ACED 为平行四边形； 直线 CM 与 D相切其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 根据抛物线的解析式得出抛物线与 x轴的 交点 A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定； 求得
14、D的直径 AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定， 过点 C作 CE AB，交抛物线于 E，如果 CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； 求得直线 CM、直线 CD的解析式通过它们的斜率进行判定 【解答】解： 在 y= （ x+2）（ x 8）中，当 y=0 时， x= 2或 x=8， 点 A（ 2， 0）、 B（ 8， 0）， 抛物线的对称轴为 x= =3，故 正确； D的直径为 8（ 2） =10，即半径为 5， D的面积为 25 ，故 错误； 在 y= （ x+2）（ x 8） = x2 x 4中，当 x=0 时 y= 4， 点 C（ 0， 4）， 当
15、 y= 4时， x2 x 4= 4， 解得： x1=0、 x2=6， 所以点 E（ 6， 4）， 则 CE=6， AD=3（ 2） =5， ADCE ， 四边形 ACED不是平行四边形，故 错 误； y= x2 x 4= （ x 3） 2 ， 点 M（ 3， ）， 设直线 CM解析式为 y=kx+b， 将点 C（ 0， 4）、 M（ 3， ）代入，得： ， 解得： ， 所以直 线 CM 解析式为 y= x 4； 设直线 CD解析式为 y=mx+n， 将点 C（ 0， 4）、 D（ 3， 0）代入，得： ， 解得： ， 所以直线 CD 解析式为 y= x 4， 由 = 1知 CM CD 于点 C
16、， 直线 CM与 D相切，故 正确； 故选： B 【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定 等 11.（ 2018贵州遵义 3 分）如图，四边形 ABCD 中， AD BC， ABC=90 ， AB=5， BC=10，连接 AC.BD，以 BD为直径的圆交 AC于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【分析】先求出 AC，进而判断出 ADF CAB，即可设 DF=x， AD= x，利用勾股定理求出BD，再判断出 DEF DBA，得出比例式建立方程即可得出结
17、论 【解答】解：如图，在 Rt ABC中， AB=5， BC=10， AC=5 过点 D作 DF AC 于 F， AFD= CBA， AD BC， DAF= ACB， ADF CAB， ， ， 设 DF=x，则 AD= x， 在 Rt ABD中， BD= = ， DEF= DBA， DFE= DAB=90 ， DEF DBA， ， ， x=2， AD= x=2 ， 故选： D 二、填空题 1. （ 2018湖北随州 3分 ）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=5， BC=CD且 BC AB， BD=8给出以下判断： AC垂直平分 BD； 四边形 ABCD的面积 S=ACBD； 顺次连接四
18、边形 ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； 当 A， B， C， D四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ； 将 ABD沿直线 BD对折，点 A落在点 E处，连接 BE并延长交 CD于点 F，当 BF CD时，点 F到直线 AB的距离为 其中正确的是 （写 出所有 正确判断的序号） 【分析】依据 AB=AD=5， BC=CD，可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线，故 正确；依据四边形ABCD的面积 S= ，故 错误；依据 AC=BD，可得顺次连接四边形 ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故 正确；当 A， B， C， D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（ r 3
19、） 2+42，得 r= ，故 正确；连接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED是菱形， AB=BE=5=AD=GD， BO=DO=4，依据 S BDE= BD OE= BE DF，可得 DF= ，进而得出 GF= ，再根据 S ABF=S 梯形 ABFD S ADF，即可得到 h= ，故 错误 【解答】解： 在四边形 ABCD中， AB=AD=5， BC=CD， AC是线段 BD的垂直平分线，故 正确； 四边形 ABCD的面积 S= ，故 错误； 当 AC=BD时，顺次连接四边形 ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故 正确； 当 A， B， C， D四
20、点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（ r 3） 2+42， 得 r= ，故 正确； 将 ABD沿直线 BD对折，点 A落在点 E处，连接 BE并延长交 CD 于点 F，如图所示， 连接 AF，设点 F到直线 AB 的距离为 h， 由折叠可得，四边形 ABED是菱形， AB=BE=5=AD=GD， BO=DO=4， AO=EO=3， S BDE= BD OE= BE DF， DF= = ， BF CD， BF AD， AD CD， GF= = ， S ABF=S 梯形 ABFD S ADF， 5h= （ 5+5+ ） 5 ， 解得 h= ，故 错误； 故答案为： 【点评】本题主 要
21、考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算 2. （ 2018江苏宿迁 3分 ）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （ x 0）与正比例函数 y=kx、 （ k 1）的图象分别交于点 A.B，若 AOB 45 ，则 AOB的面积是_. 【答案】 2 【 分析】作 BDx 轴， ACy 轴， OHAB （如图），设 A（ x1， y1）， B（ x2 ， y2），根据反比例函数 k的几何意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx， y=联立，解得 x1= ， x2= ，从而得 x1x2=2，所以 y1=x
22、2， y2=x1， 根据 SAS得 ACOBDO ，由全等三角形性质得 AO=BO，AOC=BOD ，由垂直定义和已知条件得 AOC=BOD=AOH=BOH=22.5 ，根据 AAS得 ACOBDOAHOBHO ，根据三角形面积公式得 S ABO=S AHO+S BHO=S ACO+S BDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2. 【详解】如图：作 BDx 轴， ACy 轴， OH AB， 设 A（ x1， y1）， B（ x2 ， y2）， A.B在反比例函数上， x 1y1=x2y2=2， ， 解得： x1= ， 又 ， 解得： x2= ， x 1x2= =2， y 1=x2， y2=x
23、1， 即 OC=OD， AC=BD， BDx 轴， ACy 轴， ACO=BD O=90 ， ACOBDO （ SAS）， AO=BO ， AOC=BOD ， 又 AOB 45 ， OHAB ， AOC=BOD=AOH=BOH=22.5 ， ACOBDOAHOBHO ， S ABO=S AHO+S BHO=S ACO+S BDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2 ， 故答案为： 2. 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键 . 3.（ 2018江苏宿迁 3 分 ）如图，将含有 30 角的直角三角板
24、 ABC放入平面直角坐标系，顶点 A， B分别落在 x、 y 轴的正 半轴上， OAB 60 ， 点 A的坐标为（ 1， 0），将三角板 ABC沿 x轴向右作无滑动的滚动（先绕点 A按顺时针方向旋转 60 ，再绕点 C按顺时针方向旋转 90 ， ）当点 B第一次落在 x轴上时，则点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_. 【答案】 + 【分析】在 Rt AOB中，由 A点坐标得 OA=1，根据锐角三角形函数可得 AB=2， OB= ，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S= ，计算即可得出答案 . 【详解】在 Rt AOB中， A （ 1，
25、0）， OA=1 ， 又 OAB 60 ， cos60= ， AB=2 ， OB= ， 在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变， 点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积： S= = ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键 . 4.（ 2018江苏无锡 2分 ）如图，已知 XOY=60 ，点 A在边 OX上， OA=2过点 A作 ACOY于点 C，以 AC为一边在 XOY内作等边三角形 ABC，点 P是 ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P作 PD OY 交 OX 于点 D，作 PE OX交 OY于点
26、E设 OD=a， OE=b，则 a+2b的取值范围是 2a+2b5 【分析】作辅助线，构建 30度的直角三角形，先证明四边形 EODP是平行四边形，得 EP=OD=a，在 Rt HEP中， EPH=30 ，可得 EH的长，计算 a+2b=2OH，确认 OH最大和最小值的位置，可得结论 【解答】解：过 P作 PH OY交于点 H， PD OY， PE OX， 四边形 EODP是平行四边形， HEP= XOY=60 ， EP=OD=a， Rt HEP中， EPH=30 ， EH= EP= a， a+2b=2（ a+b） =2（ EH+EO） =2OH， 当 P在 AC边上时， H与 C重合，此时
27、OH的最小值 =OC= OA=1，即 a+2b的最小值是 2； 当 P在点 B时， OH的最大值是： 1+ = ，即（ a+2b）的最大值是 5， 2a+2b5 【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b的最值就是确认 OH最值的范围 5.（ 2018江苏苏州 3 分）如图，在 Rt ABC 中， B=90 ， AB=2 ， BC= 将 ABC绕点 A按逆时针方向旋转 90 得到 ABC ，连接 BC，则 sin ACB= 【分析】根据勾股定理求 出 AC，过 C作 CM AB 于 M，过 A作 AN CB 于 N，求出
28、 BM 、CM，根据勾股定理求出 BC ，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可 【解答】解：在 Rt ABC中，由勾股定理得： AC= =5， 过 C作 CM AB 于 M，过 A作 AN CB 于 N， 根据旋转得出 AB=AB=2 ， BAB=90 ，即 CMA= MAB= B=90 ， CM=AB=2 ， AM=BC= ， BM=2 = ， 在 Rt BMC 中，由勾股定理得： BC= = =5， S ABC = = ， 5AN=2 2 ，解得： AN=4， sin ACB= = ， 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正 确作出辅助线
29、是解此题的关键 6.（ 2018江苏苏州 3 分 ）如图，已知 AB=8， P为线段 AB上的一个动点，分别以 AP， PB为边在 AB 的同侧作菱形 APCD和菱形 PBFE，点 P， C， E在一条直线上， DAP=60 M， N分别是对角线 AC， BE的中点当点 P在线段 AB上移动时，点 M， N之间的距离最短为 2 （结果留根号） 【分析】连接 PM、 PN首先证明 MPN=90 设 PA=2a，则 PB=8 2a， PM=a， PN= （ 4 a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：连接 PM、 PN 四边形 APCD，四边形 PBFE是菱形， DAP=
30、60 ， APC=120 ， EPB=60 ， M， N分别是对角线 AC， BE的中点， CPM= APC=60 ， EPN= EPB=30 ， MPN=60+30=90 ， 设 PA=2a，则 PB=8 2a， PM=a， PN= （ 4 a）， MN= = = ， a=3时， MN有最小值，最小值为 2 ， 故答案为 2 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题 7.（ 2018内蒙古包头市 3 分） 如图，在 Rt ACB 中， ACB=90 ， AC=BC， D 是 AB上的一个动点（不与点 A， B 重合）
31、，连接 CD，将 CD绕点 C顺时针旋转 90 得到 CE，连接 DE， DE与 AC相交于点 F，连接 AE下列结论： ACE BCD； 若 BCD=25 ，则 AED=65 ； DE2=2CFCA； 若 AB=3 ， AD=2BD，则 AF= 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【分析】先判断出 BCD= ACE，即可判断出 正确； 先求出 BDC=110 ，进而得出 AEC=110 ，即可判断出 正确； 先判断出 CAE= CEF，进而得出 CEF CAE，即可得出 CE2=CFAC，最后用勾股定理即可得出 正确； 先求出 BC=AC=3，再求出 BD= ，进而求出 CE=CD
32、= ，求出 CF= ，即可判断出 错误 【解答】解： ACB=90 ， 由旋转知， CD=CE， DCE=90= ACB， BCD= ACE， 在 BCD和 ACE中， ， BCD ACE，故 正确； ACB=90 ， BC=AC， B=45 BCD=25 ， BDC=180 45 25=110 ， BCD ACE， AEC= BDC=110 ， DCE=90 ， CD=CE， CED=45 ， 则 AED= AEC CED=65 ，故 正确； BCD ACE， CAE= CBD=45= CEF， ECF= ACE， CEF CAE， ， CE2=CFAC， 在等腰直角三角形 CDE 中， D
33、E2=2CE2=2CFAC，故 正确； 如图，过点 D作 DG BC于 G， AB=3 ， AC=BC=3， AD=2BD， BD= AB= ， DG=BG=1， CG=BC BG=3 1=2， 在 Rt CDG中，根据勾股定理得， CD= = ， BCD ACE， CE= ， CE2=CFAC， CF= = ， AF=AC CF=3 = ，故 错误， 故答案为： 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 BCD ACE 是解本题的关键 题 8. （ 2018遂宁 4分）如图，已知抛物线 y=ax2
34、 4x+c（ a0 ）与反比例函数 y= 的图象相交于点 B，且 B 点的横坐标为 3，抛物线与 y 轴交于点 C（ 0， 6）， A 是抛物线 y=ax2 4x+c的顶点， P点是 x轴上一动点，当 PA+PB最小时， P点的坐标为 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出 点 B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点 A 的坐标，进而求得 A 的坐标，从而可以求得直线 AB 的函数解析式，进而求得与 x轴的交点，从而可以解答本题 【解答】解：作点 A关于 x轴的对称点 A ，连接 AB ，则 AB 与 x轴的交点即为所求， 抛物线 y=ax2 4x+c（ a0 ）与反比例函数 y
35、= 的图象相交于点 B，且 B点的横坐标为 3，抛物线与 y轴交于点 C（ 0， 6）， 点 B（ 3， 3）， ， 解得， ， y=x2 4x+6=（ x 2） 2+2， 点 A的坐标为（ 2， 2）， 点 A 的坐标为（ 2， 2）， 设过点 A （ 2， 2）和点 B（ 3， 3）的直线解析式为 y=mx+n， ，得 ， 直线 AB 的函数解析式为 y=5x 12， 令 y=0，则 0=5x 12 得 x= ， 故答案为：（ ， 0） 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
36、利用数形结合的思想解答 9. （ 2018广西桂林 3分 ） 如图，矩形 OABC的边 AB与 x轴交于点 D，与反比例函数 (k0)在第一象限的图像交于点 E， AOD=30 ，点 E的纵坐标为 1， ODE的面积是 ，则 k的值是 _ 【答案】 【解析】 分析：过 E作 EF x轴，垂足为 F，则 EF=1，易求 DEF=30 ，从而 DE= ，根据 ODE的面积是 求出 OD= ，从而 OF=3 ，所以 k=3 . 详解：如图，过点 E作 EF x轴，垂足为点 F， 点 E的纵坐标为 1， EF=1， ODE的面积是 ， OD= ， 四边形 OABC是矩形，且 AOD=30, DEF=3
37、0, DF= OF=3 ，所以点 E的坐标为（ 3 ， 1）， 把点 E的坐标代入反比例函数的解析式，可得 k=3 . 故答案为 3 . 点睛：本题是正方形和反比例函数的综合试题，解题过程中涉及解直角三角形，确定反比例函数的解析式等，确定点 E的坐标是解题关键 . 10.（ 2018贵州黔西南州 3 分）如图，已知在 ABC中， BC边上的高 AD与 AC边上的高 BE交于点 F，且 BAC=45 ， BD=6， CD=4，则 ABC的面积为 60 【分析】首先证明 AEF BEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x由 ADC BDF，推出 = ，构建方程求出 x即可解决问题； 【解答】解：
38、 AD BC， BE AC， AEF= BEC= BDF=90 ， BAC=45 ， AE=EB， EAF+ C=90 ， CBE+ C=90 ， EAF= CBE， AEF BEC， AF=BC=10，设 DF=x ADC BDF， = ， = ， 整理得 x2+10x 24=0， 解得 x=2或 12（舍弃）， AD=AF+DF=12， S ABC= BCAD= 10 12=60 故答案为 60 【点评】 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 11.（ 2018海南 4 分）如图，
39、在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（ 20， 0），点 B 的坐标是（ 16， 0），点 C.D 在以 OA 为直径的半圆 M上，且四边形 OCDB是平行四边形，则点 C的坐标为 （ 2， 6） 【分析】过点 M 作 MF CD 于点 F，则 CF= CD=8，过点 C 作 CE OA 于点 E，由勾股定理可求得 MF 的长，从而得出 OE 的长，然后写出点 C的坐标 【解答】解： 四边形 OCDB是平行四边形， B（ 16， 0）， CD OA， CD=OB=16， 过点 M作 MF CD 于点 F，则 CF= CD=8， 过点 C作 CE OA 于点 E， A（ 20， 0）， OE=O
40、M ME=OM CF=10 8=2 连接 MC，则 MC= OA=10， 在 Rt CMF中，由勾股定理得 MF= =6 点 C的坐标为（ 2， 6） 故答案为：（ 2， 6） 【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题关键 三 .解答题 1. （ 2018湖南郴州 8分 ）已知 BC是 O的直径，点 D是 BC延长线上一点， AB=AD， AE是 O的弦， AEC=30 （ 1）求证：直线 AD是 O的切线； （ 2）若 AE BC，垂足为 M， O的半径为 4，求 AE的长 【分析】（ 1）先求出 ABC=30 ，进而求出 BAD=120
41、 ，即可求出 OAB=30 ，结论得证； （ 2）先求出 AOC=60 ，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论 【解答】解：（ 1）如图， AEC=30 ， ABC=30 ， AB=AD， D= ABC=30 ， 根据三角形的内角和定理得， BAD=120 ， 连接 OA， OA=OB， OAB= ABC=30 ， OAD= BAD OAB=90 ， OA AD， 点 A在 O上， 直线 AD是 O的切线； （ 2）连接 OA， AEC=30 ， AOC=60 ， BC AE于 M， AE=2AM， OMA=90 ， 在 Rt AOM中， AM=OAsin AOM=4 sin60=2
42、 ， AE=2AM=4 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出 AOC=60 是解本题的关键 2. （ 12.00分）在矩形 ABCD中， AD AB，点 P是 CD边上的任意一点（不含 C， D两端点），过点 P作 PF BC，交对角线 BD于点 F （ 1）如图 1，将 PDF 沿对角线 BD翻折得到 QDF， QF交 AD于点 E 求证： DEF是等腰三角形； （ 2）如 图 2，将 PDF 绕点 D逆时针方向旋转得到 PDF，连接 PC， FB设旋转角为 （ 0 180 ） 若 0 BDC，即 DF在 BDC的内部
43、时，求证： DPC DFB 如图 3，若点 P是 CD的中点， DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tan DBF的值，如果不能，请说明理由 【分析】（ 1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知 DFQ= ADF，所以 DEF 是等腰 三角形； （ 2） 由于 PF BC，所以 DPF DCB，从而易证 DPF DCB； 由于 DFB 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论 【解答】解：（ 1）由翻折可知： DFP= DFQ， PF BC， DFP= ADF， DFQ= ADF， DEF是等腰三角形， （ 2） 若 0 BDC，即 DF在 BDC的内部时
44、， PDF= PDF， PDF FDC= PDF FDC ， PDC= FDB ， 由旋转 的性质可知： DPF DPF， PF BC， DPF DCB， DPF DCB ， DPC DFB 当 FDB=90 时，如图所示， DF=DF= BD， = ， tan DBF= = ， 当 DBF=90 ， 此时 DF 是斜边， 即 DF DB，不符合题意， 当 DFB=90 时，如图所示， DF=DF= BD， DBF=30 ， tan DBF= 【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识 3. （ 2018湖南怀化 12分 ）已知：如图，在四边形 ABCD中， AD BC点 E为 CD边上
