1、13 三个正数的算术-几何平均不等式课时作业A 组 基础巩固1设 x， y， z0 且 x y z6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( )A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：lg xlg ylg zlg( xyz)，而 xyz 32 3，(x y z3 )lg xlg ylg zlg 2 33lg 2，当且仅当 x y z2 时，取等号答案：B2函数 y x2(15 x)(0 x )的最大值为( )15A. B.4675 2657C. D.4645 2675解析：0 x ，15 x0，15 y x2(15 x) x x(15 x)42552 52
2、3 .42552x 52x 1 5x3 4675当且仅当 x15 x，52即 x 时取“” ，故选 A.215答案：A3已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列不等式正确的是( )A V B VC V D V 18 18解析：如图，设圆柱半径为 R，高为 h，则 4R2 h6，即 2R h3.V Sh R2h RRh 3，当且仅当 R R h1(R R h3 )时取等号2答案：B4设 a， b， cR ，且 a b c1，若 M ，则必有( )(1a 1) (1b 1) (1c 1)A0 M0， y2 x 2( x )224，当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x 1x 1x答案：C6若
3、 x0，则函数 y4 x2 的最小值是_1x解析： x0， y4 x2 4 x2 1x 12x 12x3 3.34x212x12x当且仅当 4x2 (x0)，12x3即 x 时，取“” ，12当 x 时，12y4 x2 (x0)的最小值为 3.1x答案：37若 a2， b3，则 a b 的最小值为_1 a 2 b 3解析： a2， b3， a20， b30， a b1 a 2 b 3( a2)( b3) 51 a 2 b 33 53 a 2 b 3 1 a 2 b 3358(当且仅当 a3， b4 时等号成立)答案：88设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为_解
4、析：设底面边长为 x，高为 h，则x2h V，34所以 h ，43V3x2又 S 表 2 x23 xh34 x23 x x232 43V3x2 32 43Vx 32(x2 8Vx) 32(x2 4Vx 4Vx) 3 3 ，32 316V2 3 32V2当且仅当 x2 ，即 x 时， S 表 最小4Vx 34V答案： 34V9已知 x， y 均为正数，且 xy，求证：2 x 2 y3.1x2 2xy y24证明：因为 x0， y0， x y0，2x 2 y1x2 2xy y22( x y)1 x y 2( x y)( x y)1 x y 23 3，3 x y 2 1 x y 2所以 2x 2 y
5、3.1x2 2xy y210如图(1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值解析：设正六棱柱容器底面边长为 x(x0)，高为 h，由图可有 2h x ，3 3 h (1 x)，32V S 底 h6 x2h34 x2 (1 x)332 322 (1 x)3332 x2 x29 3 .(x2 x2 1 x3 ) 13当且仅当 1 x，x2 x2即 x 时，等号成立235所以当底面边长为 时，正六棱柱容器的容积最大，为 .23 13B 组 能力提升1已知 a， b， cR ， x ，
6、y ， z ，则( )a b c3 3abc a2 b2 c23A x y z B y x zC y z x D z y x解析： a， b， cR ， ，a b c3 3abc x y，又 x2 ， z2 ，a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac9 3a2 3b2 3c29 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，三式相加得： a2 b2 c2 ab bc ca.3 a23 b23 c2( a b c)2， z2 x2， z x，即 y x z.答案：B2若实数 x， y 满足 xy0，且 x2y2，则 xy x2的最小值是( )A1 B2C3 D4解析： xy x
7、2 xy xy x212 123 3 3 3.312xy12xyx2 314 x2y 2 344答案：C3设 x ，则函数 y4sin 2xcos x 的最大值为_(0， 2)解析： y216sin 2xsin2xcos2x8(sin 2xsin2x2cos2x)8( )38 ，sin2x sin2x 2cos2x3 827 6427 y2 ，当且仅当 sin2x2cos 2x，6427即 tan x 时，等号成立 ymax .2839答案：8394设正数 a， b， c 满足 a b c1，则 的最小值为_13a 2 13b 2 13c 2解析： a， b， c 均为正数，且 a b c1，
8、6(3 a2)(3 b2)(3 c2)9.( )(3a2)(3 b2)(3 c2)13a 2 13b 2 13c 23 3 9.3 1 3a 2 3b 2 3c 2 3 3a 2 3b 2 3c 2当且仅当 a b c 时等号成立13即 1.13a 2 13b 2 13c 2故 的最小值为 1.13a 2 13b 2 13c 2答案：15设 a， b， c 为正实数，求证： abc2 .1a3 1b3 1c3 3证明：因为 a， b， c 为正实数，由算术几何平均不等式可得 3 ，1a3 1b3 1c3 31a31b31c3即 (当且仅当 a b c 时，等号成立)1a3 1b3 1c3 3a
9、bc所以 abc abc.1a3 1b3 1c3 3abc而 abc2 2 (当且仅当 a2b2c23 时，等号成立)，3abc 3abcabc 3所以 abc2 (当且仅当 a b c 时，等号成立)1a3 1b3 1c3 3 636已知某轮船速度为每小时 10 千米，燃料费为每小时 30 元，其余费用(不随速度变化)为每小时 480 元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小解析：设船速为 V 千米/小时，燃料费为 A 元/小时，则依题意有 A kV3，且有30 k103， k .3100 A V3.3100设每千米的航行费用为 R，需时间为 小时，1V R ( V3480) V21V 3100 3100 480V V2 3100 240V 240V73 36.33100V2240V240V当且仅当 V2 ，即 V20 时取最小值3100 240V答：轮船航行速度为 20 千米/小时时，每千米航行费用总和最小
