1、3.三个正数的算术-几何平均不等式A 组1.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为( )A.3 B.2 C.12 D.12解析: 2x0,4y0,8z0, 2x+4y+8z=2x+22y+23z3 =3 =34=12.当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立.答案:C2.设 a,bR +,且 a+b=3,则 ab2 的最大值为( )A.2 B.3 C.4 D.6解析: ab2=4a4=4 =413=4,当且仅当 a= =1 时,等号成立. ab2 的最大值为 4.答案:C3.若 logxy=-2,则 x+y 的最小值是( )A. B. C. D
2、.解析: logxy=-2, x0,且 x1,y0,且 y=x-2. x+y=x+x-2= 3 .当且仅当 ,即 x= 时,等号成立.答案:A4.若 n0,则 n+ 的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.8解析: n+ , n+ 3 =6 .答案:C5.设 x0,则 x2+ . 解析: x0, x2+ =x2+3 =3.当且仅当 x2= ,即 x=1 时,等号成立. x2+ 3.答案:36.已知 a0,b0,c0,且 a+b+c=1,证明下列不等式:(1)abc ;(2)a2+b2+c2 ;(3)ab+bc+ca .证明:(1) a,b,c(0,+), 1=a+b+c3 , 09.证明:=
3、3+ . a,b,c 同号,且 a+b+c=1, a0,b0,c0. 均大于 0.又 a,b,c 互不相等, 3+3+6 =9. 9.8.设 a1,a2,an 为正实数,求证 + 2 .证明: a1,a2,an 为正实数, + n =na1a2an,当且仅当 a1=a2=an 时,等号成立.又 na1a2an+ 2 ,当且仅当 na1a2an= 时,等号成立, + 2 .B 组1.若 ab0,则 a+ 的最小值为( )A.0 B.1C.2 D.3解析: a+ =(a-b)+b+ 3 =3,当且仅当 a=2,b=1 时取等号, a+的最小值为 3.答案:D2.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为
4、V,则下列不等式正确的是( )A.V B.VC.V D.V 解析:如图,设圆柱的半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3.V=Sh=R2h=RRh =,当且仅当 R=R=h=1 时,等号成立.答案:B3.若实数 x,y 满足 xy0,且 x2y=2,则 xy+x2 的最小值为 . 解析: xy0,x2y0, xy+x2= xy+ xy+x23 =3 =3,当且仅当 xy=x2,即 y=2x 时,等号成立 .答案:34.已知实数 a,b,cR ,a+b+c=1,求 4a+4b+ 的最小值,并求出取最小值时 a,b,c 的值.解:由基本不等式,得 4a+4b+ 3 =3 (当且仅
5、当 a=b=c2 时,等号成立) . a+b+c=1, a+b=1-c.则 a+b+c2=c2-c+1= ,当 c= 时 ,a+b+c2 取得最小值 .从而当 a=b= ,c= 时,4 a+4b+ 取最小值,最小值为 3 .5.有一块边长为 36 cm 的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?解:剪下的三个全等的四边形如图所示 ,设 A1F1=xcm,则 AF1= xcm, A1B1=F1F2=(36-2 x)cm. V= (36-2 x)2x= (6 -x)(6 -x)2x. 00.又(6 -x)+(6 -x)+2x=12 , 当 6 -x=2x,即 x=2 时,V 有最大值,这时 V 最大 = (4 )3=864(cm3). =x x= x2=12 (cm2), 三个四边形面积之和等于 36 cm2.
