1、1二 用数学归纳法证明不等式举例课时作业A 组 基础巩固1用数学归纳法证明 1 1)时，第一步即证下述哪个不12 13 12n 1等式成立( )A11，第一步 n2，左边1 ，右边2，12 13即 1 成立时，起始值 n0至少应取( )12 14 12n 112764A7 B8C9 D10解析：1 ，12 14 18 116 164 12764n16， n7，故 n08.答案：B3用数学归纳法证明 “ Sn 1(nN )”时， S1等于( )1n 1 1n 2 1n 3 13n 1A. B12 14C. D 12 13 12 13 14解析：因为 S1的首项为 ，末项为 ，所以 S1 ，故11
2、 1 12 131 1 14 11 1 11 2 11 3选 D.答案：D4设 f(x)是定义在正整数集上的函数，有 f(k)满足：当“ f(k) k2成立时，总可推出f(k1)( k1) 2成立” 那么下列命题总成立的是( )A若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k) k2成立2B若 f(5)25 成立，则当 k4 2，因此对于任意的 k4，均有 f(k) k2成立答案：D5某个命题与正整数 n 有关，如果当 n k(kN )时命题成立，那么可推得当 n k1 时，命题也成立现已知当 n5 时该命题不成立，那么可推得( )A当 n6 时该命题不成立B当 n6 时该命题成立C当 n
3、4 时该命题不成立D当 n4 时该命题成立解析：与“如果当 n k(kN )时命题成立，那么可推得当 n k1 时命题也成立”等价的命题为“如果当 n k1 时命题不成立，则当 n k(kN )时，命题也不成立” 故知当n5 时，该命题不成立，可推得当 n4 时该命题不成立，故选 C.答案：C6观察下列式子：1 ，1 1,1 ，1 2,12 12 13 12 13 1732 12 13 1151 ，由此猜测第 n(nN )个不等式为( )12 13 13152A1 12 13 12nn 12B1 12 13 12n 1n2C1 12 13 12n 1n2D1 12 13 12n 1n2解析：1
4、,3,7,15,31，的通项公式为 an2 n1，不等式左边应是 1 .12 13 12n 1 ，1，2，的通项公式为 bn ，12 32 52 n2不等式右边应是 .n2答案：C2用数学归纳法证明不等式“ (n2， nN )”时的过程中，由1n 1 1n 2 12n1324n k 到 n k1 时，不等式的左边( )A增加了一项12 k 1B增加了两项 ，12k 1 12 k 1C增加了两项 ， ，又减少了一项12k 1 12 k 1 1k 15D增加了一项 ，又减少了一项12 k 1 1k 1解析：当 n k 时，左边 .1k 1 1k 2 12k当 n k1 时，左边 .1k 1 1 1
5、k 1 2 12 k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2故由 n k 到 n k1 时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项答案：C3用数学归纳法证明某不等式，其中证 n k1 时不等式成立的关键一步是： ( ) ， k 1 k 23 k 2 k 3 k 1 k 23 k 2 k 33括号中应填的式子是_解析：由 k2，联系不等式的形式可知，应填 k2. k 2 k 3答案： k24设 a， b 均为正实数， nN ，已知 M( a b)n， N an nan1 b，则 M， N 的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令 x )ba解析：令 x ， M( a b)n， N
6、 an nan1 b，ba (1 x)n， 1 nx.Man Nan a0， b0， x0.由贝努利不等式得(1 x)n1 nx. ， MNManNan答案： MN5对于一切正整数 n，先猜出使 tnn2成立的最小的正整数 t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式： n(n1) lg(123n)lg 34证明：猜想当 t3 时，对一切正整数 n 使 3nn2成立下面用数学归纳法进行证明当 n1 时，3 1311 2，命题成立假设 n k(k1， kN )时，3 kk2成立，则有 3k k21.对 n k1,3 k1 33 k3 k23 kk22( k21)3 k21.(3 k21)( k1)
7、262 k22 k2 k(k1)0，3 k1 (k1) 2，对 n k1，命题成立由上知，当 t3 时，对一切 nN ，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1) lg(123n)lg 34当 n1 时，1(11) 0lg 1，命题成立lg 34 lg 32假设 n k(k1， kN )时，k(k1) lg(123k)成立lg 34当 n k1 时，( k1)( k2)lg 34 k(k1) 2( k1)lg 34 lg 34lg(123k) lg 3k112lg(123k) lg(k1) 212lg123 k(k1)，命题成立由上可知，对一切正整数 n，命题成立6已知等比数列 an的首项 a1
8、2，公比 q3， Sn是它的前 n 项和求证： .Sn 1Sn 3n 1n证明：由已知，得 Sn3 n1， 等价于 ，即 3n2 n1.(*)Sn 1Sn 3n 1n 3n 1 13n 1 3n 1n法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当 n1 时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当 n k 时，(*)成立，即 3k2 k1，那么当 n k1 时，3k1 33 k3(2 k1)6 k32 k32( k1)1，所以当 n k1 时，(*)成立综合，得 3n2 n1 成立所以 .Sn 1Sn 3n 1n法二：当 n1 时，左边3，右边3，所以(*)成立7当 n2 时，3 n(12) nC C 2C 22C 2n12 n12 n，所以(*)0n 1n 2n n成立所以 .Sn 1Sn 3n 1n
