1、理科数学 2018 年高三北京市朝阳区 2018 届高三(一模)数学(理)试题 理科数学考试时间：_分钟题型 单选题 填空题 总分得分单选题 （本大题共 8 小题，每小题 _分，共_分。） 1已知全集为实数集 ，集合 ， ，则A. B. C. D. 2复数 满足 ，则在复平面内复数 所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3直线 的参数方程为 （ 为参数），则 的倾斜角大小为A. B. C. D. 4已知 为非零向量，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5某单位安排甲、乙、丙、丁
2、4 名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有 1 人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A. B. C. D. 6某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A. B. C. D. 7庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：
3、“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 , ，动点 满足 ,其中 ，则所有点 构成的图形面积为A. B. C. D. 填空题 （本大题共 12 小题，每小题_ 分，共_分。） 9执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为_10若三个点 中恰有两个点在双曲线 上，则双曲线 的渐近线方程为_11函数 （ ）的部分图象如图所示，则_；函数 在区间 上的零点为_12已知点 ，若点 是圆 上的动点，则面积的最小值为_13等比数列 满足如下条
4、件： ；数列 的前 项和 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式_14已知 ，函数 当 时，函数 的最大值是_；若函数 的图象上有且只有两对点关于 轴对称，则 的取值范围是_15 (本小题满分 13 分)在 中，已知 ， （）若 ，求 的面积；（）若 为锐角，求 的值16(本小题满分 14 分)如图 1，在矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 中点将沿 折起到 ，使得平面 平面 （如图 2）（）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ? 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由17(本小题满分 13 分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和
5、英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某学校为了解高一年级 420 名学生选考科目的意向，随机选取 30 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的从选考方案确定的 8 位男生中随机选出 1 人，从选考方案确定的 1
6、0 位女生中随机选出 1 人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（）从选考方案确定的 8 名男生中随机选出 2 名，设随机变量求 的分布列及数学期望 18 (本小题满分 13 分)已知函数 （）当 时，（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求函数 的单调区间；（）若 ，求证： 19 (本小题满分 14 分)已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （）求椭圆 的方程；（）过椭圆 的左焦点的直线 与椭圆 交于 两点，直线 过坐标原点且与直线的斜率互为相反数若直线 与椭圆交于 两点且均不与点 重合，设直线 与轴所成的锐角为 ，直线 与 轴所成的锐角为 ，判断 与 大小关系并加以证明20 (本
7、小题满分 13 分)已知集合 是集合 的一个含有 8个元素的子集（）当 时，设 ，（i）写出方程 的解 ；（ii）若方程 至少有三组不同的解，写出 的所有可能取值；（）证明：对任意一个 ，存在正整数 ，使得方程 至少有三组不同的解答案单选题 1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 填空题 9. 410. 11. 12. 213. 14. 15. （）由 ，得 ，因为 ，所以 .因为 ，所以 故 的面积 .7 分（）因为 ，且 为锐角，所以 .所以 .13 分16. （）由已知 ，因为 为 中点，所以 因为平面 平面 ，且平面 平面 ，平面 ，所以 平面
8、又因为 平面 ，所以 .5 分（）设 为线段 上靠近 点的四等分点， 为 中点由已知易得 由（）可知， 平面 ，所以 ， .以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（如图）因为 ， ，所以 设平面 的一个法向量为 ，因为 ，所以 即取 ，得 而 .所以直线 与平面 所成角的正弦值 .10 分（）在线段 上存在点 ，使得 平面 .设 ，且 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 若 平面 ，则 .即 .由（）可知，平面 的一个法向量 ，即 ，解得 ，所以当 时， 平面 .14 分17. （）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 4 人，选考方案确定的女生中确定选考生物
9、的学生有 6 人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 人.3 分（）由数据可知，选考方案确定的 8 位男生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为 ；选考方案确定的 10 位女生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为 .8 分（）由数据可知，选考方案确定的男生中有 4 人选择物理、化学和生物；有 2 人选择物理、化学和历史；有 1 人选择物理、化学和地理；有 1 人选择物理、化学和政治由已知得 的取值为 ，或 .所以 的分布列为12所以 .13 分18. 当 时， .（）可得 ，又 ，所以 在点（ ）处的切线方程为
10、 .3 分（）在区间（ ）上 ，且 ，则 .在区间（ ）上 ，且 ，则 .所以 的单调递增区间为（ ），单调递减区间为（ ）. .8 分（）由 ， ，等价于 ，等价于 .设 ，只须证 成立.因为 ， ，由 ，得 有异号两根.令其正根为 ，则 .在 上 ，在 上 .则 的最小值为.又 ， ，所以 .则 .因此 ，即 .所以所以 . .13 分19. ）由题意得 解得 ， ， 故椭圆 的方程为 .5 分（） 证明如下：由题意可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，设点 ， ， 要证 ，即证直线 与直线 的斜率之和为零，即 因为由 得 ，所以 ， 由 得 ，所以 所以 所以 .14 分20. （）（
11、）方程 的解有： 2 分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合 的从小到大 8 个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这 28 个差数中，只有 4 出现 3 次、6 出现 4 次，其余都不超过 2 次，所以 的可能取值有 4，66 分（）证明：不妨设 ，记 ，共 13 个差数假设不存在满足条件的 ，则这 13 个数中至多两个 1、两个 2、两个 3、两个 4、两个 5、两个 6，从而. 又，这与矛盾！所以结论成立13 分解析单选题 略 略 略 略 略 略 略 略 填空题 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略
