2019届高考数学一轮复习 第六章 不等式课堂达标（打包4套）文 新人教版.zip

1课堂达标(三十) 不等关系与不等式[A 基础巩固练]1．(2018·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )A．若 ab， cd，则 acbdB．若 acbc，则 abC．若 b， cd，则 a－ cb－ d[解析] (1)A：取 a＝2， b＝1， c＝－1， d＝－2，可知 A 错误；B：当 cbc⇒a0，所以 ab0，则下列不等式中一定成立的是( )A． a＋ b＋ B. 1b 1a bab＋ 1a＋ 1C． a－ b－ D. 1b 1a 2a＋ ba＋ 2bab[解析] 取 a＝2， b＝1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)＝ x－ 是(0，＋∞)上的增函1x数，但函数 g(x)＝ x＋ 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当 ab0 时， f(a)1xf(b)必定成立，即 a－ b－ ⇔a＋ b＋ ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a[答案] A4．(2016·浙江高考)已知 a， b0 且 a≠1， b≠1，若 logab1，则( )2A．( a－1)( b－1)0C．( b－1)( b－ a)0[解析] ∵ a， b0 且 a≠1， b≠1，∴当 a1，即 a－10 时，不等式 logab1 可化为log log ，即 ba1，ba a∴( a－1)( a－ b)0，( b－1)( b－ a)0.当 01 可化为 log ba a0，( b－1)( b－ a)0.[答案] D5．若不等式(－2) na－3 n－1 －(－3) n .13 (32) 13 (32) 12当 n 为偶数 时，2 n(a－1)yz， x＋ y＋ z＝0，则下列不等式中成立的是( )A． xyyz B． xzyzC． xyxz D． x|y|z|y|[解析] 因为 xyz， x＋ y＋ z＝0，所以 3xx＋ y＋ z＝0,3 z0， zxz.[答案] C7．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为__________．[解析] 矩形靠墙的一边长为 x m，则另一边长为 m，即 m，30－ x2 (15－ x2)根据题意知Error![答案] Error!38．已知 a＋ b0，则 ＋ 与 ＋ 的大小关系是______．ab2 ba2 1a 1b[解析] ＋ － ＝ ＋ab2 ba2 (1a＋ 1b) a－ bb2 b－ aa2＝( a－ b)· ＝ .(1b2－ 1a2)  a＋ b  a－ b 2a2b2∵ a＋ b0，( a－ b)2≥0，∴ ≥0. a＋ b  a－ b 2a2b2∴ ＋ ≥ ＋ .ab2 ba2 1a 1b[答案] ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b9．已知存在实数 a 满足 ab2aab，则实数 b 的取值范围是______．[解析] ∵ ab2aab，∴ a≠0，当 a0 时， b21b，即Error! 解得 bn≥2，所以 mn≥4；结合定义及 p⊕ q≤2 可得Error!或Error!即qb0， m≠－ a，则 时， m 满足的条件是______．b＋ ma＋ mba[解析] 由 得 0，b＋ ma＋ mba  a－ b ma a＋ m因为 ab0，所以 0.即Error!或Error!mm＋ a∴ m0 或 m0 或 m0 或 mq0，则提价多的方案是p＋ q25______．[解析] 设原价为 a，方案甲提价后为 a(1＋ p%)(1＋ q%)，方案乙提价后为 a 2，(1＋p＋ q2%)∵ 2＝ 2(1＋p＋ q2%) (1＋ p%＋ 1＋ q%2 )≥ 2＝ (1＋ p%)(1＋ q%)，(  1＋ p%  1＋ q% )又∵ pq0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．[答案] 乙5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠． ”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠． ”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有 n 人( n∈N *)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1元，坐乙车需花y2元，则 y1＝ x＋ x·(n－1)＝ x＋ xn， y2＝ nx.所以 y1－ y2＝ x＋ xn－ nx34 14 34 45 14 34 45＝ x－ nx＝ x .当 n＝5 时， y1＝ y2；14 120 14(1－ n5)当 n5 时， y1y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，甲车队更优惠；少于5 人时，乙车队更优惠．[C 尖子生专练]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为 s，甲、乙两人的步行速度为 v1，跑步速度为 v2，且 v1＜ v2.甲所用的时间 t 甲 ＝ ＋ ＝ ，s2v1 s2v2 s v1＋ v22v1v2乙所用的时间 t 乙 ＝ ，2sv1＋ v2∴ ＝ × ＝t甲t乙 s v1＋ v22v1v2 v1＋ v22s  v1＋ v2 24v1v2＝ ＞ ＝1.v21＋ v2＋ 2v1v24v1v2 4v1v24v1v2∵ t 甲 ＞0， t 乙 ＞0，6∴ t 甲 ＞ t 乙 ，即乙先到教室．1课堂达标(三十一) 一元二次不等式及其解法[A基础巩固练]1．(2018·潍坊模拟)函数 f(x)＝ 的定义域是( )1ln － x2＋ 4x－ 3A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)[解析] 由题意得－ x2＋4 x－30，即 x2－4 x＋30的解集为{ x|－2320，即 x2－28 x＋1920 在区间[1,5]上有解，则 a的取值范围是( )A. B.(－235， ＋ ∞ ) [－ 235， 1]C．(1，＋∞) D.(－ ∞ ， －235][解析] 设 f(x)＝ x2＋ ax－2，由 Δ ＝ a2＋80，知方程 f(x)＝0 恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)≥0， f(1)≤0，解得 a≥－ ，且 a≤1，故 a的取值范围为235 [－ 235， 1][答案] B7．已知 f(x)＝Error!则不等式 x＋( x＋1) f(x－1)≤3 的解集是______．[解析] ∵ f(x－1)＝Error!，∴ x＋( x＋1) f(x－1)≤3 等价于Error!，或 Error!，解得－3≤ x－| x＋3|＋ m对任意实数 x恒成立，即| x－2|＋| x＋3| m恒成立．因为对任意实数 x恒有|x－2|＋| x＋3|≥|( x－2)－( x＋3)|＝5，所以 mb的解集为 ，则关于 x的不等式 ax2＋ bx－ a0的(－ ∞ ，15) 45解集为______．[解析] 由已知 axb的解集为 ，(－ ∞ ，15)可知 a0两边同除以 a，得 x2＋ x－ 0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2 x)3或－2 x .32 12[答案] A2．已知函数 f(x)＝－ x2＋ ax＋ b2－ b＋1( a∈R， b∈R)，对任意实数 x都有 f(1－ x)＝ f(1＋ x)成立，当 x∈[－1,1]时， f(x)0恒成立，则 b的取值范围是( )A．－12C． b2 D．不能确定[解析] 由 f(1－ x)＝ f(1＋ x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x＝1，则有 ＝1，故 a＝2.a2由 f(x)的图象可知 f(x)在[－1,1]上为增函数．∴ x∈[－1,1]时， f(x)min＝ f(－1)＝－1－2＋ b2－ b＋1＝ b2－ b－2，令 b2－ b－20，解得 b2.[答案] C3．(2018·温州模拟)若关于 x的不等式 4x－2 x＋1 － a≥0 在[1,2]上恒成立，则实数 a的取值范围为______．[解析] ∵4 x－2 x＋1 － a≥0 在[1,2]上恒成立，∴4 x－2 x＋1 ≥ a在[1,2]上恒成立，令 y＝4 x－2 x＋1 ＝(2 x)2－2×2 x＋1－1＝(2 x－1) 2－1.∵1≤ x≤2，∴2≤2 x≤4，由二次函数的性质可知：当 2x＝2，即 x＝1 时， y有最小值0.∴ a的取值范围为(－∞，0]．[答案] (－∞，0]4．已知 f(x)是定义域为 R的偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，那么，不等式f(x＋2)0，∵ x≥0 时， f(x)＝ x2－4 x，∴ f(－ x)＝(－ x)2－4(－ x)＝ x2＋4 x，又 f(x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ x0)的最小值；f xx(2)对于任意的 x∈[0,2]，不等式 f(x)≤ a成立，试求 a的取值范围．[解] (1)依题意得 y＝ ＝ ＝ x＋ －4.f xx x2－ 4x＋ 1x 1x因为 x0，所以 x＋ ≥2.1x当且仅当 x＝ 时，即 x＝1 时，等号成立．1x所以 y≥－2.所以当 x＝1 时， y＝ 的最小值为－2.f xx(2)因为 f(x)－ a＝ x2－2 ax－1，所以要使得“∀ x∈[0,2] ，不等式 f(x)≤ a成立”只要“ x2－2 ax－1≤0 在[0,2]恒成立” ．不妨设 g(x)＝ x2－2 ax－1，则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可．所以Error! 即Error!解得 a＞ .34则 a的取值范围为 .[34， ＋ ∞ )[C尖子生专练]某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为 G(x)万元，其中固定成本为 2万元，并且每生产 100台的生产成本为 1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入 R(x)满足 R(x)＝Error!假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量 x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？[解] 依题意得 G(x)＝ x＋2，设利润函数为 f(x)，则 f(x)＝ R(x)－ G(x)，所以 f(x)＝Error!(1)要使工厂有盈利，则有 f(x)0，因为f(x)0⇔Error!或Error! ⇔Error!或 55时， f(x)8.2－5＝3.2，所以当工厂生产 400台产品时，盈利最大，又 x＝4时， ＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．故此时每台产品的售价为 240元．R 441课堂达标(三十二) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[A 基础巩固练]1．下列不等式一定成立的是( )A．lg lg x(x0)(x2＋14)B．sin x＋ ≥2( x≠ kπ， k∈Z)1sin xC． x2＋1≥2| x|(x∈R)D. 1(x∈R)1x2＋ 1[解析] 当 x0 时， x2＋ ≥2· x· ＝ x，所以 lg ≥lg x(x0)，14 12 (x2＋ 14)故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正” “二定” “三相等” ，而当 x≠ kπ， k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x＝0 时，有 ＝1，故选项 D 不正确．1x2＋ 1[答案] C2．(高考湖南卷)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B．2 2C．2 D．42[解析] 由 ＋ ＝ 知 a0， b0，所以 ＝ ＋ ≥2 ，即 ab≥2 ，当且仅当1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2Error!即 a＝ ， b＝2 时取“＝” ，所以 ab 的最小值为 2 .42 42 2[答案] C3．(2017·山东)若 ab0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( )A． a＋ b0，且 ab＝1，所以 a1,0b2alog22 ＝1,2 a＋ a＋ a＋ b⇒a＋ log2(a＋ b)，所以选 B.ab1b 1b 1b2[答案] B4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线 ax＋ by－6＝0( a0， b0)被圆x2＋ y2－2 x－4 y＝0 截得的弦长为 2 ，则 ab 的最大值是( )5A．9 B. 92C．4 D.52[解析] 将圆的一般方程化为标准方程为( x－1) 2＋( y－2) 2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径 r＝ ，故直线过圆心，即 a＋2 b＝6，∴ a＋2 b＝6≥2 ，可得 ab≤ ，当且仅当5 a·2b92a＝2 b＝3 时等号成立，即 ab 的最大值是 ，故选 B.92[答案] B5．正数 a， b 满足 ＋ ＝1，若不等式 a＋ b≥－ x2＋4 x＋18＝ m 对任意实数 x 恒成立，1a 9b则实数 m 的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)[解析] 因为 a0， b0， ＋ ＝1，1a 9b所以 a＋ b＝( a＋ b) ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，由题意，得(1a＋ 9b) ba 9ab 916≥－ x2＋4 x＋18－ m，即 x2－4 x－2≥－ m 对任意实数 x 恒成立，而 x2－4 x－2＝( x－2) 2－6，所以x2－4 x－2 的最小值为－6，所以－6≥－ m，即 m≥6.[答案] D6．(2018·吉林九校第二次联考)若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值是1a 1b 1a－ 1 9b－ 1( )A．1 B．6C．9 D．16[解析] ∵正数 a， b 满足 ＋ ＝1，∴ b＝ 0，解得 a1.同理可得 b1，所以1a 1b aa－ 1＋ ＝ ＋ ＝ ＋9( a－1)≥2 ＝6，当且仅当1a－ 1 9b－ 1 1a－ 1 9aa－ 1－ 1 1a－ 1 1a－ 1·9 a－ 13＝9( a－1)，即 a＝ 时等号成立，所以最小值为 6.故选 B.1a－ 1 43[答案] B7．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知 x＞0， y＞0， x＋2 y＋2 xy＝8，则 x＋2 y 的最小值是______．[解] 考察基本不等式 x＋2 y＝8－ x·(2y)≥8－ 2(当且仅当 x＝2 y 时取等号)(x＋ 2y2 )整理得( x＋2 y)2＋4( x＋2 y)－32≥0即( x＋2 y－4)( x＋2 y＋8)≥0，又 x＋2 y＞0，所以 x＋2 y≥4(当且仅当 x＝2 y 时取等号)则 x＋2 y 的最小值是 4.[答案] 48．(2018·盐城三模)若 a， b 均为非负实数，且 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值1a＋ 2b 42a＋ b为______．[解析] 由题意可知：3 a＋3 b＝3，故： ＋1a＋ 2b 42a＋ b＝ ×[(a＋2 b)＋(2 a＋ b)]13 ( 1a＋ 2b＋ 42a＋ b)＝13[5＋ 2a＋ ba＋ 2b＋ 4 a＋ 2b2a＋ b ]≥ × ＝ ×9＝3.13 (5＋ 22a＋ ba＋ 2b×4 a＋ 2b2a＋ b ) 13当且仅当 a＝1， b＝0 时等号成立．[答案] 39．(高考重庆卷)设 a， b0， a＋ b＝5，则 ＋ 的最大值为______．a＋ 1 b＋ 3[解析] 令 t＝ ＋ ，则 t2＝ a＋1＋ b＋3＋2 ＝9＋2 a＋ 1 b＋ 3  a＋ 1  b＋ 3≤9＋ a＋ 1＋ b＋3＝13＋ a＋ b＝13＋5＝18，当且仅当 a＋1＝ b＋3 时取 a＋ 1  b＋ 3等号，此时 a＝ ， b＝ .所以 tmax＝ ＝3 .72 32 18 2[答案] 3 210．已知 x0， y0，且 2x＋5 y＝20.(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；(2)求 ＋ 的最小值．1x 1y[解] (1)∵ x0， y0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 .10xy4∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20， xy≤10，当且仅当 2x＝5 y 时，等号成立．因此有10xyError!解得 Error!此时 xy 有最大值 10.∴ u＝lg x＋lg x＝lg( xy)≤lg 10＝1.∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y 有最大值 1.(2)∵ x0， y0，∴ ＋ ＝ · ＝ ≥ ＝1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y20 120(7＋ 5yx＋ 2xy) 120(7＋ 25yx·2xy)，当且仅当 ＝ 时，等号成立．7＋ 21020 5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 .1x 1y 7＋ 21020[B 能力提升练]1．(2018·河北五校联考)设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数z＝ ax＋ by(a0， b0)的最大值为 12，则 ＋ 的最小值为( )3a 2bA. B. 256 83C. D．4113[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ ax＋ by 得 y＝－ x＋ ，当 z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为ab zb－ ，在 y 轴上的截距为 ，由图可知当直线经过点 A(4,6)时，在 y 轴上的截距最大，从而ab zbz 也最大，所以 4a＋6 b＝12，即 2a＋3 b＝6，所以＋ ＝ · ＝ ≥4，当且仅当 a＝ ， b＝1 时等号成立．3a 2b 2a＋ 3b6 (3a＋ 2b) 16(6＋ 6＋ 4ab＋ 9ba) 32[答案] D2．已知各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得＝ 4a1，则 ＋ 的最小值为 ( )aman1m 4nA. B.32 535C. D.94 256[解析] 由各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，可得 a1q6＝ a1q5＋2 a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)．因为 ＝4 a1，所以 qm＋ n－2 ＝16，aman所以 2m＋2－2 ＝2 4，所以 m＋ n＝6.所以 ＋ ＝ (m＋ n)1m 4n 16 (1m＋ 4n)＝ ≥ ＝ .16(5＋ nm＋ 4mn) 16(5＋ 2nm·4mn) 32当且仅当 ＝ 时，等号成立，nm 4mn又 m＋ n＝6，解得 m＝2， n＝4，符合题意．故 ＋ 的最小值等于 .1m 4n 32[答案] A3．(2018·潍坊模拟)已知 a， b 为正实数，直线 x＋ y＋ a＝0 与圆( x－ b)2＋( y－1)2＝2 相切，则 的取值范围是______．a2b＋ 1[解析] ∵ x＋ y＋ a＝0 与圆( x－ b)2＋( y－1) 2＝2 相切，∴ d＝ ＝ ，∴ a＋ b＋1＝2，即 a＋ b＝1，|b＋ 1＋ a|2 2∴ ＝ ＝a2b＋ 1  1－ b 2b＋ 1  b＋ 1 2－ 4 b＋ 1 ＋ 4b＋ 1＝( b＋1)＋ －4≥2 －4＝0.4b＋ 1 4又∵ a， b 为正实数，∴ 的取值范围是(0，＋∞)．a2b＋ 1[答案] (0，＋∞)4．(2018·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 x＝3－ 函数关系式．已知网店每月固定的各种费2t＋ 1用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是6______万元．[解析] 利润等于收入减成本，所以 y＝ ·x－32 x－ t－3＝16 x－ －3(48＋t2x) t2＝16 x＋ －3＝16( x－3)＋ ＋48－2.5x－ 12 x－ 3 1x－ 3因为 x＝3－ x1≥35，100x则 f(x1)－ f(x2)＝ －(x1＋100x1) (x2＋ 100x2)＝ .∵ x2x1≥35， x2－ x1  100－ x1x2x1x2∴ x2－ x10， x1x20,100－ x1x20，故 f(x1)－ f(x2)0， f(x1)f(x2)，即 f(x)＝ x＋ ，100x当 x≥35 时为增函数．则当 x＝35 时，8f(x)有最小值，此时 y210 989.因此该厂应接受此优惠条件．1课堂达标(三十三) 基本不等式[A 基础巩固练]1．下列不等式一定成立的是( )A．lg lg x(x0)(x2＋14)B．sin x＋ ≥2( x≠ kπ， k∈Z)1sin xC． x2＋1≥2| x|(x∈R)D. 1(x∈R)1x2＋ 1[解析] 当 x0 时， x2＋ ≥2· x· ＝ x，所以 lg ≥lg x(x0)，14 12 (x2＋ 14)故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正” “二定” “三相等” ，而当 x≠ kπ， k∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；当 x＝0 时，有 ＝1，故选项 D 不正确．1x2＋ 1[答案] C2．(高考湖南卷)若实数 a， b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B．2 2C．2 D．42[解析] 由 ＋ ＝ 知 a0， b0，所以 ＝ ＋ ≥2 ，即 ab≥2 ，当且仅当1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2Error!即 a＝ ， b＝2 时取“＝” ，所以 ab 的最小值为 2 .42 42 2[答案] C3．(2017·山东)若 ab0，且 ab＝1，则下列不等式成立的是( )A． a＋ b0，且 ab＝1，所以 a1,0b2alog22 ＝1,2 a＋ a＋ a＋ b⇒a＋ log2(a＋ b)，所以选 B.ab1b 1b 1b2[答案] B4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线 ax＋ by－6＝0( a0， b0)被圆x2＋ y2－2 x－4 y＝0 截得的弦长为 2 ，则 ab 的最大值是( )5A．9 B. 92C．4 D.52[解析] 将圆的一般方程化为标准方程为( x－1) 2＋( y－2) 2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径 r＝ ，故直线过圆心，即 a＋2 b＝6，∴ a＋2 b＝6≥2 ，可得 ab≤ ，当且仅当5 a·2b92a＝2 b＝3 时等号成立，即 ab 的最大值是 ，故选 B.92[答案] B5．正数 a， b 满足 ＋ ＝1，若不等式 a＋ b≥－ x2＋4 x＋18＝ m 对任意实数 x 恒成立，1a 9b则实数 m 的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)[解析] 因为 a0， b0， ＋ ＝1，1a 9b所以 a＋ b＝( a＋ b) ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，由题意，得(1a＋ 9b) ba 9ab 916≥－ x2＋4 x＋18－ m，即 x2－4 x－2≥－ m 对任意实数 x 恒成立，而 x2－4 x－2＝( x－2) 2－6，所以x2－4 x－2 的最小值为－6，所以－6≥－ m，即 m≥6.[答案] D6．(2018·吉林九校第二次联考)若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值是1a 1b 1a－ 1 9b－ 1( )A．1 B．6C．9 D．16[解析] ∵正数 a， b 满足 ＋ ＝1，∴ b＝ 0，解得 a1.同理可得 b1，所以1a 1b aa－ 1＋ ＝ ＋ ＝ ＋9( a－1)≥2 ＝6，当且仅当1a－ 1 9b－ 1 1a－ 1 9aa－ 1－ 1 1a－ 1 1a－ 1·9 a－ 13＝9( a－1)，即 a＝ 时等号成立，所以最小值为 6.故选 B.1a－ 1 43[答案] B7．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知 x＞0， y＞0， x＋2 y＋2 xy＝8，则 x＋2 y 的最小值是______．[解] 考察基本不等式 x＋2 y＝8－ x·(2y)≥8－ 2(当且仅当 x＝2 y 时取等号)(x＋ 2y2 )整理得( x＋2 y)2＋4( x＋2 y)－32≥0即( x＋2 y－4)( x＋2 y＋8)≥0，又 x＋2 y＞0，所以 x＋2 y≥4(当且仅当 x＝2 y 时取等号)则 x＋2 y 的最小值是 4.[答案] 48．(2018·盐城三模)若 a， b 均为非负实数，且 a＋ b＝1，则 ＋ 的最小值1a＋ 2b 42a＋ b为______．[解析] 由题意可知：3 a＋3 b＝3，故： ＋1a＋ 2b 42a＋ b＝ ×[(a＋2 b)＋(2 a＋ b)]13 ( 1a＋ 2b＋ 42a＋ b)＝13[5＋ 2a＋ ba＋ 2b＋ 4 a＋ 2b2a＋ b ]≥ × ＝ ×9＝3.13 (5＋ 22a＋ ba＋ 2b×4 a＋ 2b2a＋ b ) 13当且仅当 a＝1， b＝0 时等号成立．[答案] 39．(高考重庆卷)设 a， b0， a＋ b＝5，则 ＋ 的最大值为______．a＋ 1 b＋ 3[解析] 令 t＝ ＋ ，则 t2＝ a＋1＋ b＋3＋2 ＝9＋2 a＋ 1 b＋ 3  a＋ 1  b＋ 3≤9＋ a＋ 1＋ b＋3＝13＋ a＋ b＝13＋5＝18，当且仅当 a＋1＝ b＋3 时取 a＋ 1  b＋ 3等号，此时 a＝ ， b＝ .所以 tmax＝ ＝3 .72 32 18 2[答案] 3 210．已知 x0， y0，且 2x＋5 y＝20.(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；(2)求 ＋ 的最小值．1x 1y[解] (1)∵ x0， y0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 .10xy4∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20， xy≤10，当且仅当 2x＝5 y 时，等号成立．因此有10xyError!解得 Error!此时 xy 有最大值 10.∴ u＝lg x＋lg x＝lg( xy)≤lg 10＝1.∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y 有最大值 1.(2)∵ x0， y0，∴ ＋ ＝ · ＝ ≥ ＝1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y20 120(7＋ 5yx＋ 2xy) 120(7＋ 25yx·2xy)，当且仅当 ＝ 时，等号成立．7＋ 21020 5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 .1x 1y 7＋ 21020[B 能力提升练]1．(2018·河北五校联考)设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数z＝ ax＋ by(a0， b0)的最大值为 12，则 ＋ 的最小值为( )3a 2bA. B. 256 83C. D．4113[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ ax＋ by 得 y＝－ x＋ ，当 z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为ab zb－ ，在 y 轴上的截距为 ，由图可知当直线经过点 A(4,6)时，在 y 轴上的截距最大，从而ab zbz 也最大，所以 4a＋6 b＝12，即 2a＋3 b＝6，所以＋ ＝ · ＝ ≥4，当且仅当 a＝ ， b＝1 时等号成立．3a 2b 2a＋ 3b6 (3a＋ 2b) 16(6＋ 6＋ 4ab＋ 9ba) 32[答案] D2．已知各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得＝ 4a1，则 ＋ 的最小值为 ( )aman1m 4nA. B.32 535C. D.94 256[解析] 由各项均为正数的等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，可得 a1q6＝ a1q5＋2 a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去)．因为 ＝4 a1，所以 qm＋ n－2 ＝16，aman所以 2m＋2－2 ＝2 4，所以 m＋ n＝6.所以 ＋ ＝ (m＋ n)1m 4n 16 (1m＋ 4n)＝ ≥ ＝ .16(5＋ nm＋ 4mn) 16(5＋ 2nm·4mn) 32当且仅当 ＝ 时，等号成立，nm 4mn又 m＋ n＝6，解得 m＝2， n＝4，符合题意．故 ＋ 的最小值等于 .1m 4n 32[答案] A3．(2018·潍坊模拟)已知 a， b 为正实数，直线 x＋ y＋ a＝0 与圆( x－ b)2＋( y－1)2＝2 相切，则 的取值范围是______．a2b＋ 1[解析] ∵ x＋ y＋ a＝0 与圆( x－ b)2＋( y－1) 2＝2 相切，∴ d＝ ＝ ，∴ a＋ b＋1＝2，即 a＋ b＝1，|b＋ 1＋ a|2 2∴ ＝ ＝a2b＋ 1  1－ b 2b＋ 1  b＋ 1 2－ 4 b＋ 1 ＋ 4b＋ 1＝( b＋1)＋ －4≥2 －4＝0.4b＋ 1 4又∵ a， b 为正实数，∴ 的取值范围是(0，＋∞)．a2b＋ 1[答案] (0，＋∞)4．(2018·南昌二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 x＝3－ 函数关系式．已知网店每月固定的各种费2t＋ 1用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是6______万元．[解析] 利润等于收入减成本，所以 y＝ ·x－32 x－ t－3＝16 x－ －3(48＋t2x) t2＝16 x＋ －3＝16( x－3)＋ ＋48－2.5x－ 12 x－ 3 1x－ 3因为 x＝3－ x1≥35，100x则 f(x1)－ f(x2)＝ －(x1＋100x1) (x2＋ 100x2)＝ .∵ x2x1≥35， x2－ x1  100－ x1x2x1x2∴ x2－ x10， x1x20,100－ x1x20，故 f(x1)－ f(x2)0， f(x1)f(x2)，即 f(x)＝ x＋ ，100x当 x≥35 时为增函数．则当 x＝35 时，8f(x)有最小值，此时 y210 989.因此该厂应接受此优惠条件．