1、- 1 -宜昌市部分示范高中教学协作体 2018 年春期末联考高二（理科）数学（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A. B. C. D. 2(1)i2(1)i2(1)i(1)i2.已知某随机变量 X 的分布如下（ p， qR）且 X 的数学期望 ，那么 X 的方差)2E等于（ ）()DX 1P p qA. B. C. D. 13234123.若 ，则 =（ ）102101()xaxax 130aA. 1 B. 1 C. 1023
2、 D. 10234.下列求导运算正确的是（ ）A. B. (cos)inx 3()logxeC. D. 1lgl0 2(cs)sinx5.已知 ， ， ，则动点 P 的轨迹是（ ）(2,)M(,)N4PMNA. 一条射线 B. 双曲线 C. 双曲线左支 D. 双曲线右支6.已知 m， n R，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）0n21xymnA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件7.由曲线 ， 围成的封闭图形的面积为（ ）2yx- 2 -A. B. 1 C. D. 162318.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A=“取
3、到的 2 个数之和为偶数”，事件B=“取到的 2 个数均为偶数”，则 （ ）(/)PBA. B. C. D. 8145129.在区间 上随机取两个数 x， y，记 P 为事件“ ”的概率，则 P=（ ）0,1 3xyA. B. C. D. 2312492910.设双曲线 的离心率是 3，则其渐近线的方程为（ ）2(0,)xyabbA. B. C. D. 2xy80xy80xy11.图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A1，A 2，A 14，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（
4、）A. 7 B. 8 C. 9 D. 1012.已知命题 p： ，使得 ，若 是假命题，则实数 a 的取值范围为（ 1,2x0xeap）- 3 -A. B. C. D. 2(,e(,e,)2,)e二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡题中横线上13.设随机变量 X ，且 ，则 _2(,)N(4)0.2PX(4)PX14.设 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为_310xyzxy15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方 0.674.9yx零件数 x 个 10 20
5、 30 40 50加工时间 y(min) 62 75 81 89现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_16.观察下列式子： ， ， ，根据以上式213215322174子可以猜想： _220三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（12 分）已知二次函数 ，其图象过点（2, 4），且 2()fxab(1)3f（1）求 a， b 的值；（2）设函数 ，求曲线 h(x)在 x =1 处的切线方程()ln()hxf- 4 -18.（12 分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图
6、（如图所示），规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败 （1）求图中 a 的值；（2）根据已知条件完成下表，并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 E(X)(参考公式： ，其中 dcban)22()nadbck0P0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419（12 分）如图，设 P 是圆 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影， M 为 PD
7、上25xy一点，且 45MD（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（2）求过点（3,0），且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度45晋级成功 晋级失败 合计男 16女 50合计- 5 -20（12 分）已知函数 2()lnfxax（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；2a（2）若 在1,+）上是单调增函数，求实数 a 的取值范围()gxfx21（12 分）已知圆 C： ，一动圆与直线 相切且与圆 C 外切21()4xy12x（1）求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程；（2）若经过定点 Q（6,0）的直线 l 与曲线 T 相交于 A、 B 两点， M 是线段 AB 的中点，过
8、M作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N，试问是否存在直线 l，使得 ，若存在，求出NB直线 l 的方程，若不存在，说明理由选考题（10 分）请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆 C 的极坐标是，直线 l 的参数方程是 （t 为参数）2sina354tay（1）若 a=2， M 为直线 l 与 x 轴的交点， N 是圆 C 上一动点，求 的最大值；MN（2）若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ，求 a 的值26- 6 -23已知函数 ， M
9、 为不等式 的解集1()2fxx()2fx（1）求 M；（2）证明：当 a， b M 时， 1ab- 7 -宜昌市部分示范高中教学协作体 2018 年春期末联考高二理科数学答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案 C B D C A C D B D B D B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、0.6 14、3 15、68 16、40213三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17（本小题满分 12 分）解：由题意可得 ，即为 ， 1 分又 ，可得 ， 3 分解方程可
10、得 ； 5 分函数， 导数 ， 7 分即有曲线 在 处的切线斜率为 ， 9 分切点为 ， 10 分则曲线 在 处的切线方程为 ，即为 12 分18（本小题满分 12 分）解：由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知 ，解得 ； 2 分由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，所以晋级成功的人数为 人，填表如下： 晋级成功 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50- 8 -合计 25 75 100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关； 6 分由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中
11、，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，所以 X 可视为服从二项分布，即 ，故 ，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 410 分数学期望为 ，或 12 分19.（本小题满分 12 分）- 9 -解： 设 M 的坐标为 ， P 的坐标为 ，由 ，解得：在圆上，即 ，整理得： ，即 C 的方程为： ； 4 分过点 ，斜率为 ，的直线方程为： 6 分设直线与 C 的交点为 ， ，将直线方程 代入 C 的方程，得 ，整理得：8 分由韦达定理可知： ， 10 分线段 AB 的长度为 ，线段 AB 的长度丨 AB 丨 12 分20（本小题满分 12 分）解： 函数 ， 函数 的定义域为
12、1 分当 时， 3 分当 x 变化时， 和 的值的变化情况如下表：x 10递减 极小值 递增由上表可知，函数 的单调递减区间是 、单调递增区间是 、极小值是 6 分- 10 -由 ，得 若函数 为 上的单调增函数，则 在 上恒成立， 8 分即不等式 在 上恒成立也即 在 上恒成立 9 分令 ，则 当 时， ，在 上为减函数， 11 分的取值范围为 12 分21（本小题满分 12 分）解：设 ，则由题意， ， 2 分， 3 分化简可得动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程为 ； 5 分设 ，由题意，设直线 l 的方程为 ，联立抛物线方程可得 ， ， ， 8 分- 11 -假设存在 ，使得 ，则 ，代入化简可得 ，存在直线 l： ，使得 12 分22（本小题满分 10 分）解： 直线 l 的参数方程是 ， 时，化为普通方程： 令 ，解得 ，可得 圆 C 的极坐标是 ，即 ，可得直角坐标方程：，即 ， 的最大值为 5 分圆 C 的方程为： ，直线 l 的方程为： ，圆心 C 到直线 l 的距离 ，解得 10 分23（本小题满分 10 分）解： 当 时，不等式 可化为： ，解得： ，当 时，不等式 可化为： ，此时不等式恒成立，- 12 -，当 时，不等式 可化为： ，解得： ，综上可得： ； 5 分 证明：当 a， 时，即 ，即 ，即 ，即 10 分
