1、12.1 平面向量的实际背景及基本概念课时作业A 组 基础巩固1下列各量中是向量的是( )A密度 B电流C面积 D浮力解析：只有浮力既有大小又有方向答案：D2若向量 a 与向量 b 不相等，则 a 与 b 一定( )A不共线 B长度不相等C不都是单位向量 D不都是零向量解析：若向量 a 与向量 b 不相等，则说明向量 a 与向量 b 的方向或长度至少有一个不同，所以 a 与 b 有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故 A，B，C 都错误，但a 与 b 一定不都是零向量答案：D3若| | |且 ，则四边形 ABCD 的形状为( )AB AD BA CD A平行四边形 B矩形C菱形 D
2、等腰梯形解析：由 知 AB CD 且 AB CD，即四边形 ABCD 为平行四边形，又因为| | |，BA CD AB AD 所以四边形 ABCD 为菱形答案：C4设 O 为坐标原点，且| |1，则动点 M 的集合是( )OM A一条线段 B一个圆面C一个圆 D一个圆弧解析：动点 M 到原点 O 的距离等于定长 1，故动点 M 的轨迹是以 O 为圆心，1 为半径的圆答案：C5如图， D， E， F 分别是 ABC 边 AB， BC， CA上的中点，有下列 4 个结论： ， ；AD FE AF DE ；| | |；DF CB CF DE .FD BE 2其中正确的为( )A BC D解析：因为
3、D， E， F 分别为 ABC 边 AB， BC， CA 的中点，所以 EF 綊 AB AD， AF 綊12DE， DF CB， DE 綊 CF，故正确答案：B6.设 O 是正方形 ABCD 的中心，则 ； ； 与 共AO OC AO AC AB CD 线； .其中，所有正确的序号为_AO BO 解析：正方形的对角线互相平分，则 ，正确； 与 的方向AO OC AO AC 相同，所以 ，正确； 与 的方向相反，所以 与 共线，AO AC AB CD AB CD 正确；尽管| | |，然而 与 的方向不相同，所以 ，不正确AO BO AO BO AO BO 答案：7已知 A， B， C 是不共线
4、的三点，向量 m 与向量 是平行向量，与 是共线向量，则AB BC m_.解析： A， B， C 不共线， 与 不共线AB BC 又 m 与 ， 都共线，AB BC m0.答案：08给出下列命题：| | |；AB BA 若 a 与 b 方向相反，则 a b；若 、 是共线向量，则 A、 B、 C、 D 四点共线；AB CD 有向线段是向量，向量就是有向线段；其中所有真命题的序号是_解析：共线向量指方向相同或相反的向量，向量 、 是共线向量，也可能有 AB CD，故AB CD 是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段” ，比如 0 不能用有向线段表示，另外，向量
5、有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故是假命题3答案：9如图所示，43 的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与 相等的向量共有几个？AB (2)与 方向相同且模为 3 的向量共有几个？AB 2解析：(1)与向量 相等的向量共有 5 个(不包括 本身)如图 1.AB AB (2)与向量 方向相同且模为 3 的向量共有 2 个，如图 2.AB 210在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点 O，并求终点的坐标(1)|a|2， a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60，与 y 轴正方向的夹角为 30；(2)|a|4，
6、 a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30，与 y 轴正方向的夹角为 120；(3)|a|4 ， a 的方向与 x 轴、 y 轴正方向的夹角都是 135.2解析：如图所示：B 组 能力提升1如图，在菱形 ABCD 中， DAB120，则以下说法错误的是( )A与 相等的向量只有一个(不含 )AB AB B与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB AB C. 的模恰为 模的 倍BD DA 3D. 与 不共线CB DA 解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同两向量共线只要求方向相同或相反D4中 ， 所在直线平行，向量方向相同，故共线CB DA 答案：D2下列说法中：(1)若 a 是单位向量
7、， b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反(2)若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量AB BA (3)两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3解析：由单位向量的定义知，凡长度为 1 的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为| | |，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故(2)正确；AB BA AB BA 据相等向量的概念知，(3)是正确的答案：C3给出下列四个条件： a b； |a| b|； a 与 b 方向相反；| a|0 或| b|0，其中能使 a b 成立的条件是_解析：因为 a 与 b 为相等向量，所以
8、 ab ，即能够使 ab 成立；由于| a| b|并没有确定 a 与 b 的方向，即不能够使 ab 成立；因为 a 与 b 方向相反时， ab ，即能够使ab 成立；因为零向量与任意向量共线，所以| a|0 或| b|0 时， ab 能够成立故使ab 成立的条件是.答案：4给出下列命题：向量 和向量 长度相等；AB BA 方向不同的两个向量一定不平行；向量 是有向线段；BC 向量 0 0；向量 大于向量 ；AB CD 若向量 与 是共线向量，则 A， B， C， D 必在同一直线上；AB CD 一个向量方向不定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同其中正确的是_(只填序号)解
9、析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可正确不正确因为5平行向量包括方向相同和相反两种情况不正确向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来不正确.0 是一个向量，而 0 是一个数量不正确向量不能比较大小，这是向量与数量的本质区别不正确共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同一直线上正确零向量的模为零且方向不定不正确共线的向量，若起点不同，终点也可以相同故填.答案：5如图所示，已知四边形 ABCD 中， M， N 分别是 BC， AD 的中点，又 且 ，求AB DC CN MA 证： .DN MB 证明：因为 ，AB DC 所以| | |且 AB DC，AB DC 所
10、以四边形 ABCD 是平行四边形，所以| | |且 DA CB，DA CB 又因为 与 的方向相同，DA CB 所以 .CB DA 同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，所以 .CM NA 因为| | |，| | |，CB DA CM NA 所以| | |，MB DN 又 与 的方向相同，DN MB 所以 .DN MB 6 “马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A 处，可以跳到 E 处，也可以跳到 F 处，分别用向量 、 表示“马”AE AF 走了一步(1)试标出“马”在点 B、 C、 D 处走了一步的所有情
11、况；6(2)“马”在 D 处是否能跳到相邻的 B 点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？解析：(1)如图，在点 A 处的“马”只能有 2 条路线；点 B 处的“马”有 4 条路线： 、 、 、 ；点 C 处的“马”有 8 条路线：BQ BR BS BT 、 、 、 、 、 、 、 ；点 D 处的“马”有 3 条路线： 、 、CG CF CP CO CN CM CL CH DU DV ，因此在中国象棋中“马”有八面威风之说，那么通过作图我们可以知道，当“马”在DW 棋盘上的一个角时，它行走的路线只有两种走法；若记棋盘的一个格子边长为 1，当“马”在边线上且距最近的边线为 1 时， “马”有三种走法；当“马”不在边线上且距最近的边线长为 1 时， “马”有四种或六种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线长不小于 2 时；“马”有八种走法，这时的“马”的威力最大，才八面威风(2)事实上， “马”由点 D 到点 B 处，只需沿向量 ， ， 走三步即可(请同学们自己标出)DV VQ QB 也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点由递推关系可得， “马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点所谓“活用马者，象棋高手也” ，道理即是如此
