1、13.3.2 简单的线性规划问题课时作业A组 基础巩固1在 ABC中，三顶点分别为 A(2,4)， B(1,2)， C(1,0)，点 P(x， y)在 ABC内部及其边界上运动，则 m y x的取值范围为( )A1,3 B3,1C1,3 D3，1解析：直线 m y x的斜率 k11 kAB ，且 k11 kAC4，直线经过点 C(1,0)时 m23最小，为1，经过点 B(1,2)时 m最大，为 3.答案：C2若变量 x、 y满足约束条件Error!，则 z2 x y的最小值为( )A1 B0C1 D2解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点 A处取得最小值联立Error!，解
2、得 Error!， A(0,1)，所以 z2 x y在点 A处取得最小值为 2011.答案：A3已知 x， y满足Error!且 z2 x4 y的最小值为6，则常数 k( )A2 B9C3 D010解析：由题意知，当直线 z2 x4 y经过直线 x3 与 x y k0 的交点(3，3 k)时，z最小，所以6234(3 k)，解得 k0.答案：D4已知变量 x， y满足Error!则 x2 y2的取值范围是( )A 13,40 B13,40)C(13,40) D(13,40解析：作出可行域如图阴影部分所示2x2 y2可以看成点(0,0)与点( x， y)距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可
3、行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即 x2 y2最小，最小值为 13；点(0,0)与可行域内的点 B(2,6)连线的距离最大，即 x2 y2最大，最大值为 40.所以 x2 y2的取值范围为13,40答案：A5已知 ABCD的三个顶点为 A(1,2)， B(3,4)， C(4，2)，点( x， y)在 ABCD的内部，则 z2 x5 y的取值范围是( )A(14,16) B(14,20)C(12,18) D(12,20)解析：如图，由 ABCD的三个顶点 A(1,2)， B(3,4)，C(4，2)可知 D点坐标为(0，4)，由 z2 x5 y知y x ，25 z5当直线 y x 过点 B(
4、3,4)时，25 z5zmin14.当直线 y x 过点 D(0，4)时， zmax20.25 z53点( x， y)在 ABCD的内部不包括边界， z的取值范围为(14,20)答案：B6某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料 3吨、 B原料 2吨；生产每吨乙产品要用 A原料 1吨、 B原料 3吨销售每吨甲产品可获得利润 5万元、每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13吨、 B原料不超过 18吨，那么该企业可获得的最大利润是_万元解析：设生产甲产品 x吨、乙产品 y吨，则获得的利润为 z5 x3 y.由题意得Error!可行域如图阴影所示由
5、图可知当 x、 y在 A点取值时， z取得最大值，此时 x3， y4， z533427(万元)答案：277若 x， y满足约束条件Error!，则 z3 x y的最大值为_解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3 x y0，平移直线 l0，当直线 l： z3 x y过点 A时， z取最大值，由Error!解得 A(1,1)， z3 x y的最大值为 4.答案：48已知 x， y满足约束条件Error!则 x2 y2的最小值是_解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据 表示x2 y2可行域内一点到原点的距离，可知 x2 y2的最小值是| AO|2.由Error!得 A(1,
6、2)，所以| AO|25.答案：59已知实数 x， y满足Error!(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为 z x2 y，求 z的最小值解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：4(1)易求点 A、 B的坐标为：A(3,6)， B(3，6)，所以三角形 OAB的面积为：S OAB 12318.12(2)目标函数化为： y x z，作图知直线过 A时 z最小，可得 A(3,6)，12 12 zmin9.10某工厂制造 A种仪器 45台， B种仪器 55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积 2 m2，每张可作 A种仪器外壳 3个和B种仪器
7、外壳 5个，乙种钢板每张面积 3 m2，每张可作 A种仪器外壳 6个和 B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解析：设用甲种钢板 x张，乙种钢板 y张，依题意Error!钢板总面积 z2 x3 y.作出可行域如图所示由图可知当直线 z2 x3 y过点 P时，最小由方程组Error!得Error! .所以，甲、乙两种钢板各用 5张B组 能力提升51设 O为坐标原点， A(1,1)，若点 B(x， y)满足Error!则 取得最小值时，点 B的个OA OB 数是( )A1 B2C3 D无数个解析：如图，阴影部分为点 B(x， y)所在的区
8、域 x y，OA OB 令 z x y，则 y x z.由图可知，当点 B在 C点或 D点时， z取最小值，故点 B的个数为 2.答案：B2已知 a， b是正数，且满足 2a2 b4.那么 a2 b2的取值范围是( )A( ， ) B( ，16)45 165 45C(1,16) D( ，4)165解析：原不等式组等价为Error!，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a2 b2表示区域内的动点 P(a， b)到原点距离的平方，由图象可知当 P在 D点时， a2 b2最大，此时 a2 b24 216，原点到直线 a2 b20 的距离最小，即 d ，所以| 2|1 22 25a2 b2 d2
9、，即 a2 b2的取值范围是 a2 b216，选 B.45 45答案：B3已知实数 x， y满足不等式组Error!目标函数 z y ax(aR)若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数 a的取值范围是_6解析：如图所示，依题意直线 x y40 与 x y20 交于 A(1,3)，此时取最大值，故 a1.答案：(1，)4给定区域 D：Error!令点集 T( x0， y0) D|x0， y0Z，( x0， y0)是 z x y在 D上取得最大值或最小值的点，则 T中的点共确定_条不同的直线解析：画出平面区域 D，如图中阴影部分所示作出 z x y的基本直线 l0： x y0.经平移可知目标
10、函数 z x y在点 A(0,1)处取得最小值，在线段 BC处取得最大值而集合 T表示 z x y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段 BC上共有 5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故 T中的点共确定 6条不同的直线答案：65已知Error!(1)z x2 y210 y25 的最小值；(2)z 的范围y 1x 1解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9)(1)z x2( y5) 2表示可行域内任一点( x， y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M作直线AC的垂线，易知垂足 N在线段 AC上，故
11、 z的最小值是| MN|2 .927(2)z 表示可行域内任一点( x， y)与定点 Q(1，1)连线的斜率，因为y 1x 1kQA2， kQB ，12故 z的范围为 .12， 26已知1 x y3，且 2 x y4，求 2x3 y的范围解析：在直角坐标系中作出直线 x y3， x y1， x y4， x y2，则不等式组Error!表示的平面区域是矩形 ABCD区域内的部分设 2x3 y z，变形为平行直线系 l：y x .23 z3由图可知，当 l趋近于 A、 C两点时，截距 趋近于最大值与最小值，即 z趋近于最大值与z3最小值由Error! 求得点 A( ， )52 12所以 z2 3 .52 12 132由Error! 求得点 C( ， )32 52所以 z2 3( ) .32 52 92所以 2 x3 y .92 132
