1、1浅谈估算法在函数、数列中的应用吕 跃 （湖北省沙市中学 434100）胡耀宇 （ 湖北省监利一中 433300）估算，顾名思义，估摸着计算，它的基本特点是对数值作适当的扩大或缩小，对图象作粗略的观察，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计 1.有人说：“估算，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键一眼看穿 ”.高中数学课程标准明确提出要注重提高学生的数学思维能力，并作为数学教育的基本目标之一 2.要提高学生空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，提高数学地提出、分析和解决问
2、题的能力.新教材调整后的内容添加了算法这一模块，就体现了这样理念，可见运算能力作为学生的一项基本能力成为学生必备素质.同样，近几年高考为体现新课程标准的要求，在函数、数列的运算能力中也特别注重了“估算”的考查，本文拟从四个方面谈谈肤浅的认识.1 特值引路，精打细算例 1 (2007 年湖北卷理科)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q2，则)n(limqpnA 0 B 1 C D qp1qp法 1：取 p=1,q=2, ，选 C.2nlim1)n(lin2n 法 2： 1nCn1Cli1)n(limq2q10q pppnqpn 2qpn1C1nCqplimq23q2ppn 一般化、特殊
3、化和类比被并列地称为“获得发现的伟大源泉”.可见特殊化思想的重要性，本题取 p=1，q=2 ，不仅“四两拨千斤 ”，选出结果易如反掌，而且从中得到暗示 3，可沿着二项式定理展开的方向进行一般化的探求.例 2 (2006 福建卷文科)已知二次函数 f(x)，不等式 f(x)1 时n2)l()nl(1=n1n0n C)(C)1( 2)1(C12n2n=1 时， ，故 ， (n=1 时，取“=”)2)()12ln)l(取 ，易知 ，g(x) 递增；3x(g,x1)g 0xg,x时递减.),0(,2(x时问题得证.2ln16leln41)(g4本题参考解答是构造函数 考查 h(x)在 递增，且),1x
4、l(x)(h3),04h(0)=0.解法比上述别解更直接，但别解显示了掌握 之后的另一种构3)n1(2造韵味.3 数形结合，胸有成竹例 5 (2007 年厦门双十期末测试)函数 恒成1xk)(f,0x,)1ln()x(f 时若立，求正整数 k 的最大值.法 1：当 恒成立.0)(f1k)x(f1,0x 对即时设 ，只需 .ln)(f()g min)x(gk令 ，即 x2xln01lx设方程对应解为 x=x0，则 时， 递减； ，),()x(g,0)( ),x(0g(x)递增.,0)x(g其中，x 0 满足 ，1x)ln(1)()xg( 000min )1xln(00下证 20, (2) (3)
5、0故 2x03， ，由 ，k 的最大值是 3.)4,3()(g0min)(gk0min法 2： 恒成立，只需0x1xlxt,1xk)(f 对即即可.0)x(tmin令 递减；)x(t,0t),1e,0(x,1ex,0k2)ln()t 2kk 当得递增.(t,xt,1e(x2k0ek)()t 22kmin记 ,2k1(s,sk知,0e3),0e2)( 又递减，k(s4,4s时且 0)(s5的最大值是 3.k又象魔术师帽子中跑出来的两只兔子，无论是对 中0)1xln()x(0的 x0 的估计，还是 的取值，似乎都如从天而降.k0ek)(s2中其实只要联想两个超越方程 和 所对应的图象(见图)1xl
6、n(00ek21，图 2)，思路就顺理成章了.伟大数学家欧拉告诫我们：数学这门学科，需要观察，也需要实验.4 直觉估算，难题亦易例 6：(2007 湖北卷理科)已知 m、n 为正整数.(1)用数学归纳法证明：当 时， ；1xmx1)(2)对于 n,.2,)(3n,2)3n1(,n 求 证已 知(3)求出满足 的所有正整数 n.n)(4解：(1)(2)略.(3)当 时，由(2)可知6n .n,21m,)21(3nm1( 分 别 以 1)()321()31( n ，即 也就是1)n(n2 ,)3n(24n方程无 的解，故只需讨论 n=1,2,3,4,5,时的情形 .6当 n=1 时，3 4；当 n
7、=2 时， 2253当 n=3 时， ；当 n=4 时，365 4447653当 n=5 时， 综上，所求 n=2 或者 n=3.5874图 1 图 26其理能懂，其法太妙，妙难想到！其实，本题利用直觉就可估算出结果，首先勾股数 ，就知道特殊22543值 n=2 可行，于是如法炮制求出 n=2,n=3，但不至于一直验证下去呀？回头重新审题，会看到第(2)问中条件 n6 在前面的证明中用处不大；而第(2)问与第(3) 问中 n+3 这个代数式的相同就产生了方程两边同时除以(n+3) n 的变形想法，后面的不等式就不难想到了.估算在上述问题的解决中的确发挥了重要作用，甚至成为解决问题的关键和灵感源泉.在现今高考中，不再用繁琐的计算、机械的重复来考查学生的运算能力，代之以基本数学思想指导下的一题多解，同时兼顾对算理和逻辑推理的考查 4，这时“估算”往往成为“神来之笔”的推动力，成为不合情理中的合情推理手段.参考资料1杨品方 用估算法对几何命题作判断，数学通讯 2004.92中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 人民教育出版社 2003.4 3G波利亚 怎样解题 科学出版社 19824田光利 如何提高学生的运算能力 数学通讯 2002.17作者简介吕跃，(1968-) ，男，湖北监利人，湖北省沙市中学高级教师。
