1、15.3 分式方程第 1 课时 解分式方程【教学目标】1.通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，增强“用数学”的意识.2.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程.3.通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.4.了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.【重点难点】重点：正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.难点：产生增根的原因.教学过程设计教学过程 设计意图一、创设情境，导入新课问题 1：
2、课件出示本章引言中的问题.让学生独立思考，回忆以往所学知识，顺势复习分式以及方程的相关知识.问题 2：为了帮助遭受地震的灾区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？有了问题 1，估计问题 2 学生能轻松拿下，得到答案.至此得到两个方程： ， .9030 v 6030 v 4800x 5000x 20议一议：上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？以前我们学过什么方程？试举例说明.明确：不是，以前学过一元一次方程和
3、二元一次方程，如 x13，xy7 等.比一比：以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有什么不同？以前学过的都是整式方程，里面没有分式，而刚才的两个方程都含分式，且有未知数处在分母的位置上.说一说：你能尝试给它一个名字吗？说一说命名的原因.估计学生能答出分式方程，因为里面含有分式.问题 1 是本章章前的引例，以此实际问题复习分式及方程的有关知识，避开了生拖硬拽，顺乎学生的心理需求；考虑到一个方程不足以引起学生的心理指向，于是设置了问题 2，二者合起来，为分式方程的现身提供了“物质”载体.想一想：方程 x (x1) 是不是分式方程？为12 13 16什么？你能归纳出分式方程的概念吗？不是，因为它不含
4、分式，分母中没有未知数.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.师总结：分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上述 2 个问题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”.二、师生互动，探究新知问题 1：试解分式方程：(1) ；(2)9030 v 6030 v .4800x 5000x 20为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：(1)回顾一下一元一次方程是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？可师生共解方程 2.3x 12 5
5、x 23(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？在学生回答的基础上，基本形成求解的思路，抓住时机让学生尝试练习，两中等生板演.由于长时间解整式方程的惯性，检验环节已经淡化，估计学生会忘记检验.师：在学生完成后，概括出：解分式方程的过程实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.至此，虽然不完善，但已经通过模仿解决了怎样化“整”的问题，应肯定学生所为，并通过巡视、交流发现问题，尤其要抓住去分母的关键确定最简公分母.着重提炼出求解的基本思想以及与含分母的整式方程的差异.
6、接着为了突出检验的必要性，完善解分式方程的步骤，特出示以下练习：试一试：解方程 .1x 1 2x2 1设置问题 1，蕴藏矛盾，通过尝试练习挑起矛盾，设置问题 2，3 深化矛盾，引导学生刨根问底化解矛盾，在反思中形成解分式方程的方法、步骤.学生易得：方程两边同乘以(x1)(x1)，约去分母，得x12.解这个整式方程，得x1.反问：x1 真是原分式方程的解吗？督促学生进行检验、反思.学生通过代回发现：x1时，原方程的分母为 0，分式根本没有意义，产生困惑：问题出在哪里？组织学生讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤一点问题都没有.师捕住时机，提出问题 2.问题 2：同样是分式方程
7、，前面解的两个方程为什么没有碰到这样的麻烦？解一元一次方程为什么也没有这些麻烦？具体一些，就是为什么 去分母后所得9030 v 6030 v整式方程 90(30v)60(30v)的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程 x12 的解1x 1 2x2 1却不是原分式方程的解呢？真理愈辩愈明，通过学生们思想的交流、思维的碰撞，在相互补遗和老师的参与下明朗起来：因为在去分母时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先不知道的，我们实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使“(30v)(30v)”等于零，避开了麻烦，而 去分母后所得整式1x 1 2x2 1方程的解恰好使得两边乘
8、的整式“(x1)(x1)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象，因此 x1 只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验.问题 3：解分式方程，如何检验？组织学生讨论，由于有了前面解方程的基本经验和刚才的辩论，估计学生能作答.方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等.方法二：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.三、
9、运用新知，解决问题1.解方程： .2x 3 3x分析：题小能量大，注意挖掘，鼓励学生算法的多样性.思路一：方程两边同乘最简公分母 x(x3)；思路二：利用比例的性质“内项之积等于外项之积” ；思路三：利用“分式的基本性质” ，左右通分，得 2xx（ x 3）再求解.3（ x 3）x（ x 3）2.解方程： 1 .xx 1 3（ x 1） （ x 2）完成后，提出思考题：1.由以上两个例子及前面的解题经历，请同学们归纳解分式方程的基本思想、基本方法和基本步骤.2.你推测一下，可化为一元一次方程的分式方程的解的情况.明确：1.(1)基本思想：分式方程 整式方程. 去 分 母 (2)基本方法：方程两
10、边乘以最简公分母.(3)基本步骤：在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)；解这个整式方程；检验.2.此类分式方程要么有一解，要么无解，两种可能.四、课堂小结，提炼观点在探索中遇到困难，你是怎么办的？对自己在本节课的学习情况进行反思、评价.本节课你能提出什么问题？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第 154 页 复习巩固 1选做题：解方程：(1) 3x2 2x 1 2（ x 1） 2 4x；11 x2(2) .xx 2 2xx 3 1 x2x（ x 5） 6【板书设计】解分式方程 9030 v 6030 v 4800x 5000x 20一般步骤：去分母；求解；检验.
11、【教学反思】本设计首先创设出生活情境，让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，以及分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性.第 2 课时 分式方程的实际应用【教学目标】1.会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性.2.以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.【重点难点】重点：实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.教学过程设计 教学过程 设计意图一、创设情境，导入新课问题 1：快速解方
12、程.(1) 8；(2) .x 8x 7 17 x 7x2 x 1x2 x 6x2 1反思 1：解分式方程的基本思路和步骤是什么？反思 2：解分式方程与解整式方程的根本区别是什么？问题 2：你能解决如下实际问题吗？某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有即时到位，只好先用人工装运，6 小时完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 小时完成了后一半任务.(如果设单独采用机械装运 x 小时可以完成后一半任务，那么 x 满足怎样的方程？请找出此题中存在的数量关系)基本知识是应用能否顺利进行的资本.通过问题 1 的解决返扣上一节的所学，为应用的开展铺设好“路基”.然后通过问题 2，把生活中常
13、见的工程问题摆出来.二、师生互动，探究新知学生交流上述问题 2，达成基本共识.等量关系：(人工装运的工作效率机械装运的这一环节意在实现从解分式方程到列分式方程的过渡，通过答问，窥探工作效率)1 .12由人工搬运 6 小时完成一半任务可知，完成整个搬运任务需要 12 小时，故人工单独搬运 1 小时完成整个任务的 ，亦即人工装运的工作效率；由单112独采用机械装运 x 小时可以完成后一半任务可知，单独采用机械装运完成整个搬运任务需要 2x 小时，故单独采用机械装运 1 小时完成整个搬运任务的 ，12x也就是机械装运的工作效率.通过以上分析可得：1 ，即 1.12x12 16 1x教师小结：客观世界
14、中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词：“学以致用”.学生的“学习现实” ，为信息交流提供丰实的资源，以此体现数学学习是不断生成问题和解决问题的过程，在这个过程中把工程问题的基本规律揭示出来.三、运用新知，解决问题教材第 152 页例 3.分析：本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为 1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的 ，设乙队如果单独施工 1 个月能完成总13工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半1x 16个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的 12x 16
15、.等量关系为：甲队单独做的工作量两队共同做12x的工作量总工程量 1，则有 1.13 16 12x四、课堂小结，提炼观点本节课学习了哪些知识？对本节课的学习情况进行反思、评价，你有哪些收获？五、布置作业，巩固提升必做题：教材第 154 页 综合运用第 4、5 题选做题：1.请你根据所给方程 1 联系生活16 3x实际，编写一道应用题.2.一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时，由 B港到 A 港逆流需行 8 小时，一天，小船从早晨 6 点由 A 港出发顺流到 B 港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，1 小时后找到救生圈.问：(1)若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需要多少小
16、时？(2)救生圈是何时掉入水中的？【板书设计】列分式方程解决实际问题工程问题： ( )1112 12x 12 113 16 12x【教学反思】本节课整堂精心铺垫，结合具体的数学内容采用“问题情境建立数学模型解释应用与拓展”的模式展开，选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，能够自觉地用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.第 3 课时 含字母系数的分式方程【教学
17、目标】 1.会解简单的字母系数的分式方程，能应用分式方程的解法进行简单的公式变形.2.以路程问题为依托，正确分析实际问题中的数量关系，找准等量关系，进而列出分式方程，加深对方程模型的认识.【重点难点】重点：通过建立数学模型，发展思维以及解含字母系数的分式方程.难点：通过建立数学模型，发展思维以及解含字母系数的分式方程.教学过程设计教学过程 设计意图一、创设情境，导入新课问题：动物趣闻自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书.乌龟先生：我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距 12 米的大柳树下，比赛枪声响后，先
18、到者是冠军.蚂蚁比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的 1.2 倍，提前 1 分钟跑到终点，请你算算它们各自的速度.本问题将分式方程的应用镶嵌于学生喜闻乐见的童话故事中，意在拨开学生的兴趣之门，激发学生的学习热情，知趣共融，双收双赢.二、师生互动，探究新知为了帮助学生形成对此类问题清晰的思路，学会使用列表等辅助手段，特出示以下表格，让学生填空.设蚂蚁的速度为 x 米/分.速度(米/分) 路程(米) 时间(分)蚂蚁乌龟教师板书解题过程.教学说明：在解答过程中，有关路程问题的关系式路程速度时间得到强化，为后续学习打开局面.另外，本题的思路不唯一，可根据速度关系或时间关系列方程，要注意方
19、法的多样化.解答完成后，要不失时机地进行德育教育，激励学生学习乌龟这种锲而不舍的精神，做学习中的常胜将军.有了情境带来的兴致，就容易激发学生高涨的热情，教师要善于利用图表帮助学生理清思路，展开充分的交流，把涉及路程问题的规律揭示出来，为后续解决问题打开局面.三、运用新知，解决问题1.第六次火车大提速后，从北京到上海的火车运行速度提高了 25%，运行时间缩短了 2h.已知北京到上海的铁路全长为 1462km.设火车原来的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是( )A. 2 B.1462x 1462x（ 1 25%） 21462x（ 1 25%） 1462xC. 2 D. 2146225%x 1
20、462x 1462x 146225%2.教材第 153 页例 4.分析：本题是一个典型的行程问题，基本关系是速度 .由于题中用字母表示已知数(量)，容易路 程时 间干扰学生的审题，当然，它们的实现都离不开化归思想的支持.等量关系：提速前所用的时间提速后所用的时间.四、课堂小结，提炼观点本节课学习了哪些知识？你有什么收获？还有哪些困惑？五、布置作业，巩固提升教材第 154、155 页 综合运用第 2、3、6 题【板书设计】列分式方程解决实际问题行程问题： 112x 121.2xsx s 50x v【教学反思】本节课是在充分钻研教材的基础上，遵循新课程理念教师要创造性地使用教材的要求，从学生已有的知识经验出发，选择了学生更感兴趣的、更贴近学生生活实际的教学内容，以期让数学学习成为生动有趣的、富于创造性的过程，改变多数学生提起应用题就头疼的局面.
