第一章静电场.doc

1、电磁学电子教案 第一章静电场1第一章静电场1 静电场基本现象和基本规律一.电荷、电荷守恒定律 二.库仑定律2 电场 电场强度一、电场 二、电场强度矢量三、场强的计算3 高斯定理一、电力线及其数密度 二电通量三高斯定理 四.高斯定理五.高斯定理的应用举例 六.高斯定理求场强的方法4 电位及其梯度一、静电场力做功与路径无关 二、静电场的环路定理三、电位及电位差 四.电位的计算五.等位面回首页注：引自南昌大学精品课程电磁学场的概念的建立是物理学自牛顿以来最重大的进展。在场概念建立之前，物理学研究的对象主要是质点、质点组、刚体这些具有惯性的离散的实体。其基本规律是牛顿定律，整个力学现象的复杂性归结为初

2、始条件的多样性。自从法拉第和麦克斯为建立场的概念后，场是区别于事物的另一类具有广泛的连续分布的实在，成为物理学重要的研究对象，它蕴含了极为丰富的研究内容，新的研究对象具有新的形式的运动规律，也带来了新的描述方法和处理方法。过去，你们在中学的学习阶段虽然也初步接触过一些电场和磁场的知识，但是，当市场仅仅作为描述电荷间以及电流之间相互作用的辅助手段，并未触及其实质。现在，我们开始全面而系统地学习场的知识和研究方法。从概念到方法都是新的，也具有一定的难度。例如，研究场时，需要引入“通量”和“环量”的概念，由此才能得到描述电磁场的两个定理。而本章及第二章的学习尤为重要，是电磁学课程的基础，是学好后继各

3、章的关键。静电场即静止的电荷产生的场。主要研究真空中静电场的基本规律以及带电体在静电场中的受力情况以及平衡条件。电磁学电子教案 第一章静电场21 静电地基本现象和基本规律一.电荷、电荷守恒定律1.电荷物体所具有的一种属性。物体经摩擦之后具有吸引倾销物体的性质，就说它带了电，或者说有了电荷。带电的物体带电体，带电亦为起电带电体所带电荷数量的多少电量，用 表示，单位为库仑)(qQ2.电荷的种类美国物理学家富兰克林首先以正电荷、负电荷的名称来区分两种电荷，一直至今。3.电荷的量子性实验证明，在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现。电荷的这个特性叫做。电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值

4、，常以 表示（ ） 。ec19062.),321(neQ1913 年密立根设计了有名的油滴试验，直接测定了此基元电荷的量值。实际上他 1909始就在进行这一工作。为了表彰他的工作，密立根第二次为人民所称道的工作是他对光电效应的研究，他获得了 1923 年若贝尔物理学奖。现在已经知道，许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷。微观粒子所带的基元电荷数常叫做他们各自的电荷数，都是正整数或负整数。近代物理从理论上预言基本粒子由若干种夸克或反夸克组成。二.库仑定律（1785 年确立）两个点电荷之间相互作用规律库仑是法国物理学家、军事工程师，退休后从事电学研究。他在 18 世纪发明了扭称（见书 P23）这是

5、一个非常灵敏的测力仪器，使他有可能直接测量不同距离的电荷之间极其微弱的静电力，并且确立了平方反比关系。使电现象由定性 定量。1. 库仑定律的表述：真空中，两个静止电荷 及 之间相互作用力的大小和 与1q2 1q的乘积成正比，和它们之间距离 的平方成反比。方向沿两作用力的联线，同号2qr相斥，异号相吸。点电荷理想化模型。带电体视为点电荷，不仅取决于本身的大小，而且取决于两带电体之间的距离。只有当本身的几何线度远远小于两者之间的距离时，它们的形状及电荷在其中的分布已无关重要，可视为点电荷，使之大大简化。电磁学电子教案 第一章静电场3真空中为去掉其他点和影响，其他物质受两电荷电场的作用，产生 ， ，

6、极q感原有的电荷必受影响，所受力复杂。但是，有其它物质存在时，库仑定律仍成立！静止为了避免磁效应。2. 库仑定律的矢量式中学常用的是标量式 ，可反映力的大小，但不能表示出方向，所以必21rqkF须用矢量式表示！电磁学常用形式为 ikiikr2电动力学常用的形式 ikiikiik rqrqF32注意区分： 与 ikri ikiqkq=kiriikr（ ）位量矢（矢径） ikri（ ）单位矢ii模（大小） ikir= 模： 1ikri ikr由此可见，单位矢 是与位量矢 同方向，但长度为 1 的矢量ikikr3. 矢量式的优点1） 可表示出作用力的方向ikr ikriqkqi kqikFikF电磁

7、学电子教案 第一章静电场4当 0（同性电荷） ，则iqk 02ikrq与 方向一致，表现为斥力ikiikrF2ikFi当 0 的方向与 一致Er方向： 0 正通量n2edE ）处的 =？rEPrqOdSdERP在球面外任取一点 ，使 = 以 为球心， 为半径，过 电作于带电球面PrOr同心的高斯面 。S取电荷元 。怎样取？讲求面粉成一个有宽度的带环，在环上取对称的 和dq dS小面元，有对称性分析可知面元 的 与 的 抵消，而 与 方向一ddSyEydxEx致，为加强其他对称位置的面元情况类似。可见， 得大小在面上各点相等。的方向垂直与高斯面，电场的分布具有球对称性，力线呈辐射状，据高斯定理E

8、内Siqd01其中 24cosrEdSES 即 024qr 20q同点电荷公式rE202）.面内（ 时，我们可以把带电球体无限细分为一层层的同心带电球面，r利用例 1结果，各层球面上的电荷好像全部集中在球心处。（径向）204rErqE2042）当 0 ）2rR同理，上、下底面没有 线通过， =0 EelrEe22侧020/lqirRE20= 处， 值连续 =r0例 5 无限长均匀带电圆柱面的电场解 该柱面半径为 ，电荷面密度 ，其产生的电场也具有对称性，分不同R带电柱体呈辐射状。1)0 （柱面外）rR取 点，以柱轴线为中心，连接 ，以 = 为半径，高为 作一2PO2Pr2l封闭圆柱面lrEdS

9、dSEdSSdE 2coscoscos 侧下 底上 底而 002RlqirlrE02外= 处， 值不连续rRR1rP22EORr实际上，当 时， （在无限长带电圆柱体及无限长带电圆r柱面外部）可视它们的电量集中于柱轴线上，结果， 值同无限长直带电线一样，均为E= 。见下面推导E02即 对于带电柱体： lRq2l此时， rrE00202电磁学电子教案 第一章静电场20对于带电柱面： Rlq2Rlq2此时 rrE000例 6 无限大均匀带电平面的电场解 设板带电，面密度为 ，经过对称性分析，板可视为无数带电长直线组成。在任意平行于带电板的平面上， 得大小相同，方向垂直平面，指向两侧。选一横放圆柱面

10、为高斯面，其表面积由 组成侧右左 、 SSEddEdSSdES2coscoscos 侧右左 而 00qi0 垂直板面向外五.高斯定理的应用举例ESn若为两块无限大均匀带电平板，按场强叠加原理II I IIIABBE在 II，III 区域里， 大小相等，方向相反， =0E而在 I 区域里， 大小相等，方向相同，为匀强场02电磁学电子教案 第一章静电场21六.高斯定理求场强的方法1.电荷分布有一定对称性（球、轴、面对称或组合）2.如何选取高斯面：1）高斯面为假想闭合面，一定要通过待求点，且面的形状简单2) 使所选的高斯面的部分面平行于 ，则其上通过的 =0，也可使 的另EeS一部分面垂直于 （即面

11、法线单位矢方向与 一致，且面上各点 的值大小相等，好提出E积分号外）3）对于有限大，有限长的带电体，不能用高斯定理求出 ，不是定理不成立，E而是应为 不是常数，不能提出积分号外，或因为面上 与 的夹角处处不同，不便运算。 n如下图三种情况，不具有对称性、有限大，不能用高斯定理求出结果，但可写出相应的= e内SiqdE01q4 电位及其梯度一. 静电场力做功与路径无关高斯定理说明了静电场是一个有源场。本节学习静电场又一基本性质静电场做功与路径无关1. 点电荷的场点电荷 位于 点，在 产生的场中将一试探电荷 沿任意路径 从 点移到qOq0qLP点，求电场力做功 =？QPQA电磁学电子教案 第一章静

12、电场22我们先研究元功 ，即在路径 上取一小段 （ ）所作的功，则dALdlMKErqFNFl 0cos1444020 20QPrQPrQPrprqdq d FNKrMdrQq由以上计算结果，我们可以看到在点电荷场中，静电场力做功只决定于始末两点位置，与路径无关。任何做功与路径无关的力场，称为保守力场，亦称有势场，静电力称为保守力，犹如重力场也是保守力场，重力为保守力（做功与路径无关，在实际计算中，为了方便常取径向）2. 点电荷系的场据场强叠加原理 iE rQPnrQPrQPQPnQPQP dEqdEqlllq ldFA02010 2100 )( 由于右边每一项都与路径无关，所以总电场力做功

13、也与路径无关PA二. 静电场的环路定理下面，我们研究 在静电场中沿某一闭合曲线 （ ）移动一周，静电0qLQ力所作的功：2PQ电磁学电子教案 第一章静电场231L000ldEql ldqAQPQP PQoL即 由于试探电荷 0,ldEqL 静电场的环流为零此式称为静电场的环路定理，是静电场力做功与路径无关的另一种表述形式。在前面我们指出电力线不能闭合，现在我们可以用环路定理给予证明。设电力线为闭合曲线，若沿电力线移动电荷，则有若 =10cos00 EdlqdlqlELlLq那么 ，与环路定理相矛盾。至此，我们学习了两个场方程，它们结合在一起，全面反映了静电场性质有源场0iqSdE有位场Ll三.

14、 电位及电位差1. 电位能引为静电场时有位场，可以引入电位（电势）及电位能的概念。电场力做功多少可以用能量的改变来描述。若在电场力的作用下， 从 ，它的位能 将减少，在此过程中，位能的0qPQW变化即电场力对它做的功PQAW2. 参考点但是， 在场中某一点到底有多大的电能，必须先选择参考点。在理0q论上，参考点为任意，在实际中，取无穷远处或大地为电位势能零点。点电位能即为： PPldE03. 电位定义：电场中某点的电位在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能电磁学电子教案 第一章静电场24PPP ldEqlWV00上市反映了场强与电位之间的关系。但是在实际应用时，工程技术人员更关心电位差4.

15、 电位差电位之差BABABldElldEVU注意：1） 为标量，是空间点函数),(zyx2）对一点谈电位，对两点谈电位差不同的概念3）对于某一点的电位，不许定了参考点之后才又确定的意义。而当电场确定时，两点的电压差就完全确定。四.电位的计算1.点电荷电位的计算PrrrPqq drqEdlldEVP PP00 20414 4cos 2.点电荷系的电位计算点电荷系电场中某点的电位，是每个点电荷单独存在时的电场在该点电位的代数和电位叠加原理3.电荷连续分布的电场的电位计算（有限大带电体）LLSSSVVrdlrqdUrdrqd0000445. 用场强与电位的关系计算（已知场的分布）lEP下面我们分别举

16、例例 1 CAqOqBD2 ll电磁学电子教案 第一章静电场25求：1）把单位正电荷从 点沿 移动到 点，电场力对它做功多少？OCD2）把单位负电荷从 点沿 延长线移至无穷远，电场力对它做多少功？AB解 据电位叠加： 0)(410lqVllD006)3(做功，位能发生变化，做功与路径无关)6(1)()1 00 lqVqWADODODOC )6(1)()200lVq例 2 求均匀带电圆环轴线上任意点 的电位PdlRrx解：在圆环上任取一线元 ，其上所带电荷为 ，在 点产生电位dldqP2/1200)(41RxlqrqdV整个圆环在 点的电位 PLdV例 3 求均匀带电球面电场中电位的分布解：设带

17、电总量为 ，球半径为 。QR我们已知带电球面在空间的电场分布，所以可用场强的线积分来求电位PldEV均匀带电球面 , =R204rQ 时，rR PrrP rQddEldVPP 0204外沿 径 向外外电磁学电子教案 第一章静电场26 ）,求两导线之间电位差？dR解：以左边的导线轴线上作为坐标原点， 轴垂直导线，两导线之间任意点x出的场强为两无限长直导线在该处产生场强的叠加x)(200xdxEVRddxln)1(201方向：沿 轴正方向x由以上的学习，我们知道了 1. 电荷在电场中移动时，电场力要做功，电场力做功的特点是取决于起终点位置，而与路径无关。这一特点说明了电场是有位场。当单位正电荷在静

18、电场中沿闭合曲线 移动一周时，环路积分值为零，也称环L流为零。即 0LldE有位性和环路定理是静电场同一性质的两种等价表述。2. 找到了电位和场强的积分关系电磁学电子教案 第一章静电场27PldEV说明了电位与积分路径上的场强有关。另外，利用电位差可以方便地计算电场力做的功)(0QpPQqA五.等位面1.引入目的：形象地描述电场中电位的分布2.定义：由电位相同的点组成的面3.等位面的性质1）等位面比喻电力线垂直由电场力做功来证明： )(0QpPQVqA在等位面上取 、 两点，将试探电荷 从 点移到 点沿任意路径。0P)(cos0QPPQdlEqdA式中 、 、 3 均不能为零，只有0 cos即

19、 ld:ld反证：如果 不垂直 ，则可分解为 对移动电荷 E使电荷移动从 到 ， ， ，与前提矛盾PQ0dAQPVE/P结论：要是的场强 与等位面上任一线元 垂直，那么电场强度（用电力线描绘）与等位Edl面就必须处处正交2）等位面密集处场强大，稀疏处场强小证：取一对相邻等位面，电位分别为 和 ，作一条电力线 与两等位线分别正VE交于 、 两点，由于两个面相距很近，因此其间距可用 、 的垂直距离 来表示PQPQn电磁学电子教案 第一章静电场28存在如下关系： nEldVQP即 当 一定时 VEnVPn为使等位面更直接地反映出电场的性质，可对等位面的画法作一附加规定：场中任意两个相邻的等位面的电位

20、差为常数（该厂属可预先指定，值越少，则等位面越密，对场的描述越精确）六.电位梯度梯度 数学上定义为空间坐标的微商物理学上含义为一个物理量在空间的变化率VnEPQn做如图等位面 、V1） 电位沿任意方向线段 的变化率PQllVll0im2） 电位沿法线方向 的变化率n0limcoscoslV即 反映了这两个眼不同方向的微商的关系ln说明了 沿 方向的微上最大，其余方向的微商等于它乘以V cos3） 电位梯度电磁学电子教案 第一章静电场29我们可以定义一个矢量，它沿着 方向，大小等于 ，这个矢量称为电位梯nnV度，记作 或gradV电位梯度是一个矢量 大小： n方向： 的方向，为电位增加方向沿其余

21、方向的微商 是电位梯度 在该方向上的投影lVcosn4） 与 的关系E在等位面的讨论中，我们已经得到 ，严格地说在这个结论轮的推导过程nVE中，只有 （ 0）的极限情况下成立PQn故应写成 nEn0lim由于 与 的方向相反，所以写作矢量式nV即空间谋点的场强应等于该电位梯度的负值，场强在任意方向 上的投影，为llEl在直角坐标系： zVEyxVzyx ,也可写作 )(kjixkjiEzyx必须指出：电位与场强的微分关系说明某点场强与该电的电位变化率有关，而与电位在某点取值无直接关系值很大，但不变化，该处 =0；V如果变化很慢，该处 值可以很小E尽管某点 值很小，若沿某方向变化很快，则该处场强可以很大。问题：1） 场强为零处，电位是否一定为零？R电磁学电子教案 第一章静电场30qPq0,PVE 0,QVE2） 电势为零处，场强是否一定为零？qq0,PEV3） 即 为常数，如等位区dnV=常数， 常数，变化率为常数，不能说该区域为等位区由电位和场强的微分关系， 可以方便地根据电位的分布求场强，nE只需作一微分运算。